2021-2022学年高一下学期数学北师大版(2019)必修(第二册)1.4.1_1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义和基本性质(习题课)导学案

文档属性

名称 2021-2022学年高一下学期数学北师大版(2019)必修(第二册)1.4.1_1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义和基本性质(习题课)导学案
格式 zip
文件大小 955.6KB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-02-22 16:42:51

文档简介

《1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》
《1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》
习题课导学案(学生版)
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
聚焦知识目标
1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.
2.掌握任意角的正弦、余弦函数定义.
3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号.
数学素养
1.通过正弦、余弦函数定义的学习,培养数学抽象素养.
2.通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断,培养逻辑推理素养.
思维导图
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
正弦函数和余弦函数的定义
1.单位圆的定义:在直角坐标系中,以 为圆心,以 为半径的圆,称为单位圆.
如图所示,设α是任意角,其顶点与原点重合,始边与x轴 重合,终边与单位圆O交于点P.
2.定义:如图,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值,记作v=__ ____;点P的横坐标u是角α的余弦函数值,记作u=_ ____.
3.正弦函数、余弦函数定义的拓展
任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把定义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数.设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=>0),如图
那么, 比值 叫作α的正弦,记作sinα,即sinα= ;比值 叫作α的余弦,记作cosα,即cosα= .
题组一 求值
1.已知角α的终边与单位圆交于点 则cosα=()

答:B根据余弦函数的定义,得
2.已知角α的终边过点(-4a,3a)(a<0),求2sinα+cosα的值.
解析:因为角α的终边过点(-4a,3a),所以
又因为a<0,所以 所以2sin
题组二 求角
1.如图,在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆的交点为P(a,b),若 则角α的大小为___
解析:由三角函数的定义,可得 因为 所以
题组三 求参
1.已知角θ的终边经过点P(4,m),且 sin =3/5,则m等于()
A.-3 B.3 .16/3 D.±3
答:B 解得m=3
2.已知角α的终边过点(-8m、-6sin30°)、且 则m的值为()


答:C由已知得 解得
3.已知角α的终边过点M(x、-1)(x<0),且 则sinα=()
C.-
答:D设 由三角函数的定义,可得

整理可得 所以

故选D.
4.已知第二象限角θ的终边上有两点A(-1,a),B(b,2),且cosθ+3sinθ=0,则3a-b=()

A.-7 B.-5 C.5 D.7
答:D由已知可知
由cosθ+3sinθ=0,得得
解得 故选D.
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正余弦值符号
1.若sinθ cosθ>0、sinθ+cosθ<0、则θ的终边在()

A.第一象限 B.第二象限

C.韩三象限 D.第四象限
答:sinθcosθ>0,sinθ>0,cosθ>0或sinθ<0,cosθ<0.
又sinθ+cosθ<0,.∶sinθ<0,cosθ<0,θ为第三象限角.故选C.
2.是“ ”的()

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答:A由α=可得 由 可得 k∈Z或α= +2kπ,k∈Z,不能推出 故选A.
3.大数学家高斯在19岁时、解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题、这是他最得意的作品之一、设a是圆内接正十七边形的一个内角,则下列说法正确的是()
A. cos a>0 B. sin a<0
C. cos2α>0 D. sin2a>0
答:C正十七边形的内角和为(17-2)=15α,故 因为 即α是第二象限角,所以cos a<0,sinα>0,故A,B错误;因为 即2α是第四象限角,所以sin2α<0,cos2α>0,故C正确,D错误.故选C.
4.下列各三角函数值为负的是()

A. sin(-100°) B. cos(-220°) C. sin(-10) D. cos 0
答:AB因为-100°是第三象限角,所以sin(-100°) 因为-220°是第二象限角
所以cos(-220°)<0;因为 所以-10是第二象限角,所以sin(-10)>0;
cos 0=1>0.故选AB.
5.已知点P(sinα,cosα)在第三象限,则角α的终边在()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答:C.点P(sinα,cosα)在第三象限, sinα<0,且cosα<0,由sinα<0,知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上,由cosα<0,知角α的终边在第二、三象限或x轴的非正半轴上,角α的终边在第三象限.
()
答:B如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P.设点P(u,v),则 所以 故选B.
7.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cosa≤0,sin a>0,求实数a的取值范围.
解析. cosα≤0,sinα>0,角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上,
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基本性质
思考并填表
性质 正弦函数y=sin x
定义域
值域
最大值与 最小值 当x=2kπ+,k∈Z时,ymax=1; 当x=2kπ-,k∈Z时,ymin=-1 当x=2kπ,k∈Z时,ymax=1; 当x=π,k∈Z时,ymin=-1
周期性 周期函数,T= 2π
题组一解不等式
1.在[0,2π]上满足 的α的取值范围是()


答:且v=sinα 在 上单调递增,在 上
单调递减,所以,在[0,2π]上满足 的 α的取值范围是
2.函数 的定义域为_____
解: 所以x∈(0,3],即函数的定义域为(0,3].
3.已知点P(sin a-cosa, 在第一象限,在[0,2π)内,求α的取值范围.
解析:点 在第一象限, 即α的终边在第一象限或第三象限,且sinα>cosα,如图,由三角函数的定义知
值域
1.函数 的最大值为__
解析:-1≤cosx≤1,.·当cosx=1时,函数 取得最大值
2.函数 的值域是_

解析:函数y=2sinx在 上单调递增,在 上单调递减,且
故 即1<2sinx≤2,因此值域是(1,2].
3.若对于任意实数x,都有2-sin x>a,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(-1,1) D.[-1,1]
答:A因为 -1≤sinx≤1,所以1≤2-sinx≤3,又因为2-sinx>a恒成立,所以a<1.
单调性
1.函数y=2-3cosx的单调递减区间是__.
答案:[2kπ-π,2kπ](k∈Z)解析函数y=2-3cosx的单调递减区间即函数y=-cosx的单调递减区间,也即函数y=cosx的单调递增区间,即[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
2.比较大小

解析:(1)因为 且y=sin x在区间 上是增函数.
所以
(2)因为 且y=c 在 上单调递减,所以
3.下列命题正确的是()
A.若α,β都是第二象限角,且sinα>sinβ,则cosαB.若α,β都是第三象限角,且cosα>cosβ,则sinα>sinβ
C.若α,β都是第四象限角,且sinα>sinβ,则cosα>cosβ
D.若α,β都是第一象限角,且cosα>cosβ,则sinα>sinβ
答:C设角α,β的终边与单位圆分别交于点A(u,v),点B(m,n).若α,β都是第二象限角,且sinα>sinβ,即υ>n,如图1,则u>m,即cosα>cosβ,故A错误;若α,β都是第三象限角,且cosα>cosβ,即u>m,如图2,则vsinβ,即υ>n,如图3,则u>m,即cosα>cosβ,故C正确;若α,β都是第一象限角,且cosα>cosβ,即u>m,如图4,则v《1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》
习题课导学案(教师版)
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聚焦知识目标
1.了解单位圆与正弦、余弦函数的关系.
2.掌握任意角的正弦、余弦函数定义.
3.掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号.
数学素养
1.通过正弦、余弦函数定义的学习,培养数学抽象素养.
2.通过正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号判断,培养逻辑推理素养.
思维导图
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正弦函数和余弦函数的定义
1.单位圆的定义:在直角坐标系中,以原点为圆心,以 单位长为半径的圆,称为单位圆.
如图所示,设α是任意角,其顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆O交于点P.
2.定义:如图,在直角坐标系中,给定单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值,记作v=__sin ____;点P的横坐标u是角α的余弦函数值,记作u=_cos _____.
3.正弦函数、余弦函数定义的拓展
任意角的正弦、余弦函数的定义,实际上,我们可以把定义进一步拓展,通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数.设α是一个任意角,α的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离是r(r=>0),如图
那么, 比值 叫作α的正弦,记作sinα,即sinα= ;比值 叫作α的余弦,记作cosα,即cosα= .
题组一 求值
1.已知角α的终边与单位圆交于点 则cosα=()

答:B根据余弦函数的定义,得
2.已知角α的终边过点(-4a,3a)(a<0),求2sinα+cosα的值.
解析:因为角α的终边过点(-4a,3a),所以
又因为a<0,所以 所以2sin
题组二 求角
1.如图,在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆的交点为P(a,b),若 则角α的大小为___
解析:由三角函数的定义,可得 因为 所以
题组三 求参
1.已知角θ的终边经过点P(4,m),且 sin =3/5,则m等于()
A.-3 B.3 .16/3D.±3
答:B 解得m=3
2.已知角α的终边过点(-8m、-6sin30°)、且 则m的值为()


答:C由已知得 解得
3.已知角α的终边过点M(x、-1)(x<0),且 则sinα=()
C.-
答:D设 由三角函数的定义,可得

整理可得 所以

故选D.
4.已知第二象限角θ的终边上有两点A(-1,a),B(b,2),且cosθ+3sinθ=0,则3a-b=()

A.-7 B.-5 C.5 D.7
答:D由已知可知
由cosθ+3sinθ=0,得得
解得 故选D.
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正余弦值符号
1.若sinθ cosθ>0、sinθ+cosθ<0、则θ的终边在()

A.第一象限 B.第二象限

C.韩三象限 D.第四象限
答:sinθcosθ>0,sinθ>0,cosθ>0或sinθ<0,cosθ<0.
又sinθ+cosθ<0,.∶sinθ<0,cosθ<0,θ为第三象限角.故选C.
2.是“ ”的()

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答:A由α=可得 由 可得 k∈Z或α= +2kπ,k∈Z,不能推出 故选A.
3.大数学家高斯在19岁时、解决了困扰数学界达千年之久的圆内接正十七边形的尺规作图问题、这是他最得意的作品之一、设a是圆内接正十七边形的一个内角,则下列说法正确的是()
A. cos a>0 B. sin a<0
C. cos2α>0 D. sin2a>0
答:C正十七边形的内角和为(17-2)=15α,故 因为 即α是第二象限角,所以cos a<0,sinα>0,故A,B错误;因为 即2α是第四象限角,所以sin2α<0,cos2α>0,故C正确,D错误.故选C.
4.下列各三角函数值为负的是()

A. sin(-100°) B. cos(-220°) C. sin(-10) D. cos 0
答:AB因为-100°是第三象限角,所以sin(-100°) 因为-220°是第二象限角
所以cos(-220°)<0;因为 所以-10是第二象限角,所以sin(-10)>0;
cos 0=1>0.故选AB.
5.已知点P(sinα,cosα)在第三象限,则角α的终边在()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答:C.点P(sinα,cosα)在第三象限, sinα<0,且cosα<0,由sinα<0,知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上,由cosα<0,知角α的终边在第二、三象限或x轴的非正半轴上,角α的终边在第三象限.
()
答:B如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边,逆时针旋转,与单位圆交于点P.设点P(u,v),则 所以 故选B.
7.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cosa≤0,sin a>0,求实数a的取值范围.
解析. cosα≤0,sinα>0,角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上,
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
基本性质
性质 正弦函数y=sin x
定义域 R
值域 [-1,1]
最大值与 最小值 当x=2kπ+,k∈Z时,ymax=1; 当x=2kπ-,k∈Z时,ymin=-1 当x=2kπ,k∈Z时,ymax=1; 当x=π,k∈Z时,ymin=-1
周期性 周期函数,T= 2π
题组一解不等式
1.在[0,2π]上满足 的α的取值范围是()


答:且v=sinα 在 上单调递增,在 上
单调递减,所以,在[0,2π]上满足 的 α的取值范围是
2.函数 的定义域为_____
解: 所以x∈(0,3],即函数的定义域为(0,3].
3.已知点P(sin a-cosa, 在第一象限,在[0,2π)内,求α的取值范围.
解析:点 在第一象限, 即α的终边在第一象限或第三象限,且sinα>cosα,如图,由三角函数的定义知
值域
1.函数 的最大值为__
解析:-1≤cosx≤1,.·当cosx=1时,函数 取得最大值
2.函数 的值域是_

解析:函数y=2sinx在 上单调递增,在 上单调递减,且
故 即1<2sinx≤2,因此值域是(1,2].
3.若对于任意实数x,都有2-sin x>a,则实数a的取值范围是()
A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(-1,1) D.[-1,1]
答:A因为 -1≤sinx≤1,所以1≤2-sinx≤3,又因为2-sinx>a恒成立,所以a<1.
单调性
1.函数y=2-3cosx的单调递减区间是__.
答案:[2kπ-π,2kπ](k∈Z)解析函数y=2-3cosx的单调递减区间即函数y=-cosx的单调递减区间,也即函数y=cosx的单调递增区间,即[2kπ-π,2kπ](k∈Z).
2.比较大小

解析:(1)因为 且y=sin x在区间 上是增函数.
所以
(2)因为 且y=c 在 上单调递减,所以
3.下列命题正确的是()
A.若α,β都是第二象限角,且sinα>sinβ,则cosαB.若α,β都是第三象限角,且cosα>cosβ,则sinα>sinβ
C.若α,β都是第四象限角,且sinα>sinβ,则cosα>cosβ
D.若α,β都是第一象限角,且cosα>cosβ,则sinα>sinβ
答:C设角α,β的终边与单位圆分别交于点A(u,v),点B(m,n).若α,β都是第二象限角,且sinα>sinβ,即υ>n,如图1,则u>m,即cosα>cosβ,故A错误;若α,β都是第三象限角,且cosα>cosβ,即u>m,如图2,则vsinβ,即υ>n,如图3,则u>m,即cosα>cosβ,故C正确;若α,β都是第一象限角,且cosα>cosβ,即u>m,如图4,则v