《1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》
导学案（教师版）
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聚焦知识目标
1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义
2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值
3.能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质
4.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号
数学素养
1.通过正余弦函数定义的形成学习，培养学生数学抽象素养
2.应用定义，培养学生的数学运算素养
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提出问题
如图，摩天轮的半径为r，中心O离地面30m，现在小明坐上摩天轮，并以P点开始以1°/s的角速度逆时气计转动，求相对地面的高度h与时间t的函数关系式
答：当点P在如图所示位置时，只要在直角三角形OPM中求出MP，就能求出点P相对于地面的高
如何求MP的长度呢？初中学过的三角函数知识。
复习
锐角的正弦、余弦函数的定义：
特殊角的三角函数
，tan45°=1
初步解决问题
r sin∠POA=MP，20s后：h=30+r sin20°，50s后：h=30+r sin50°，70s后：h=30+r sin70°，
一般地，过了t秒呢
想法：“h(t)=30+r sint”这样想合理吗
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正余弦三角函数定义
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角 α 的正弦函数、余弦函数，当点P(u,v) 就是α的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？
答：以原点为O圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆。
任意角的正弦函数、余弦函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，那么：
（1）v叫做α的正弦，记作sinα， 即sinα=v； （2）u叫做α的余弦，记作 cosα，即cosα=u。
【解读】
都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。
角(弧度数) 一一对应实数，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。
探究正弦函数、余弦函数的定义域和值域
利用坐标平面内点的坐标的特征我们还可得到定义域和值域。在给定的单位圆中，对于任意角 可以是正角负角或是零角，故正弦函数 sin 和余弦函数cos 的定义域是全体实数R，值域是[-1,1]。
正余弦函数符号
利用几何画板(1)探究当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦、余弦函数值的正负号的情况。将自己的思考探究结果先填入下表，然后再填入直角坐标系的各个象限中，以便于加强记忆，灵活运用。
答：
正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于u,v 的符号。
当点P在第一、二象限时，纵坐标 y ＞0；
当点P在第三、四象限时，纵坐标 y＜0。
所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的。同样地，余弦函数值在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的。
问题
利用几何画板， (2)探究当角取特殊值 0, 时，角的正弦、余弦函数值情况。
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题组一 在单位圆上求值
例1 在直角坐标系的单位圆中，（1）画出角 ；（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角 的正弦、余弦函数值。
解：（1）如图，以原点为角的顶点，以x 轴正半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P， 即为所求作的角。
2）由于 α= ,点P在第四象限，所以点P的坐标为（3）根据任意角的三角函数定义，易得
题组二 非单位圆上求值
思考：对于确定的角α，正弦函数、余弦函数值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
答：依据：（1）无论 为任意角，恒有：
比值一样，只需要考虑正负号。
例2 已知角 的终边经过P(-2,-3),求 的正弦函数值余弦函数值。
解：
题组三 定号
例3 确定下列各三角函数值的符号：⑴ cos250°; ⑵ sin
解：（1）易知250°为第三象限角，所以cos250°的符号为负；
【归纳】
确定正、余弦函数值中角所在象限是基础，记忆三角函数在各象限的符号是解决问题的关键。
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1.判断下列正弦函数值与余弦函数值的符号:
3.如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4. 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦.《1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》
导学案（学生版）
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聚焦知识目标
1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义
2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值
3.能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质
4.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号
数学素养
1.通过正余弦函数定义的形成学习，培养学生数学抽象素养
2.应用定义，培养学生的数学运算素养
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提出问题
如图，摩天轮的半径为r，中心O离地面30m，现在小明坐上摩天轮，并以P点开始以1°/s的角速度逆时气计转动，求相对地面的高度h与时间t的函数关系式
分析：当点P在如图所示位置时，只要在直角三角形OPM中求出MP，就能求出点P相对于地面的高
复习初中学过的特殊角的三角函数
，
an45°=
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正余弦三角函数定义
1.下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角 α 的正弦函数、余弦函数，当点P(u,v) 就是α的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？意角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(u，v)，那么：
（1）v叫做α的正弦，记作sinα， 即sinα= ； （2）u叫做α的余弦，记作 cosα，即cosα= 。
【解读】
都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。
角(弧度数) 实数，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。
探究正弦函数、余弦函数的定义域和值域
利用坐标平面内点的坐标的特征我们还可得到定义域和值域。在给定的单位圆中，对于任意角 可以是正角负角或是零角，故正弦函数 sin 和余弦函数cos 的定义域是 ，值域是 。
正余弦函数符号
利用几何画板(1)探究当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦、余弦函数值的正负号的情况。将自己的思考探究结果先填入下表，然后再填入直角坐标系的各个象限中，以便于加强记忆，灵活运用。
答：
问题
答：利用几何画板， (2)探究当角取特殊值 0, 时，角的正弦、余弦函数值情况。
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题组一 在单位圆上求值
例1 在直角坐标系的单位圆中，（1）画出角 ；（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；（3）求出角 的正弦、余弦函数值。
解：（1）（1）如图，以原点为角的顶点，以x 轴正半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P， 即为所求作的角。
（2）由于 α= ,点P在第四象限，所以点P的坐标为（3）根据任意角的三角函数定义，易得
题组二 非单位圆上求值
思考：对于确定的角α，正弦函数、余弦函数值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
答：
例2 已知角 的终边经过P(-2,-3),求 的正弦函数值余弦函数值。
解：
题组三 定号
例3 确定下列各三角函数值的符号：⑴ cos250°; ⑵ sin
解：（1）易知250°为第三象限角，所以cos250°的符号为负；
【归纳】
确定正、余弦函数值中角所在象限是基础，记忆三角函数在各象限的符号是解决问题的关键。
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1.判断下列正弦函数值与余弦函数值的符号:
3.如果点P(sin θ+cos θ,sin θcos θ)位于第二象限,那么角θ的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4. 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、余弦.
