《§1.4.4 诱导公式与旋转》
导学案.教师版
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聚焦知识目标
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．
2．理解诱导公式的推导过程
3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简问题．
数学素养
1.通过诱导公式的推导过程，培养逻辑推理素养．
2.通过诱导公式的应用，提升数学运算素养.
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同学们，上一节我们学习了哪些诱导公式？
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z):
sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
sin(α+π)=sin(π+α)=-sin α,cos(α+π)=cos(π+α)=-cos α.
sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α. sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
【微练】
已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
提示：sin(α－3π)=2cos(α－4π)，其中sin(α－3π)=- sin α ，cos(α－4π)=cos
即sin α＝－2cos α. 那么，，
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角α与 / ±α的正弦函数、余弦函数关系
观察图，
设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转，得到点P'，即 α+π/2的终边与圆交于点P'，由平面几何知识可知：点P'的坐标为(一v，u).所以点P的横坐标与点P'纵坐标 相等，cosα
点P的纵坐标与点P'的横坐标的绝对值相等且符号相反,
诱导公式的拓展
例1.证明：
证明：
设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，由图可知，点P的横坐标cos a与点P'的纵坐标 的绝对值相等且符号相反，即
点P的纵坐标sinα与点P'的横坐标 相等，即
已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
续解：sin[π+]=-sin=-cosα，-sinα，
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诱导公式汇总
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z):
sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
sin(α+π)=sin(π+α)=-sin α,cos(α+π)=cos(π+α)=-cos α.
sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
诱导后：名称不变，符号根据把 看成锐角时原角所在象限确定
对任意角α，有下列关系式成立：
sin（＋α）＝cos α，cos （＋α）＝－sin α.
sin （-α） ＝cos α，cos （-α） ＝sin α.
诱导后：名称改变，符号根据把 看成锐角时原角所在象限确定
用旋转的整数倍来分析诱导公式
我们在平面直角坐标系中，对角α的终边经过对称或旋转得到了诱导公式.我们发现，是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π，2kπ(k?Z)又都是的整数倍；还有，中心对称也可以用旋转π表示.于是，我们试图用旋转的整数倍来分析诱导公式.
可以看作角a的终边旋转了
(2)α+π可以看作角a的终边旋转了β的2倍；
(3)α-κ与α+π的终边重合，其三角函数值均相等；
(4)a+2kπ可以看作角a的终边旋转了的4k(k∈Z)倍.
再分析和π-a (1)显然，一a也就是 与a+的终边重合，其三角函数值均相等，即求 的三角函数时，可以将a-看作角a的终边旋转了的3倍；
(2)α-π也就是-(a-π).
综上所述，除了关于-a的诱导公式sin(-a)=-sin a和 对于其他诱导公式中的角，都可以看作a+等，其中n=1，2，3，4k(k∈z)，只需注意，关于―a和π-a的诱导公式，在做了 和α―π的公式变化之后，还要借助于－α的诱导公式.
诱导公式使用策略
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论：当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或k(k∈z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定.
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题组一 给角求值
例1.求下列函数值：
解
=+π）
题组二 给值求值
【例2】（1） 已知sin(α－75°)＝－，求sin(105°＋α)的值．
题组三 化简
例3.化简：
原式 =
=1
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1.已知角α的终边经过点 P(1,- )分别求角α,α+π/2,α-π/2 的正弦函数值、余弦函数值.
2.已知sin( /2 )= 0.3 求下列各三角函数值：
(1)cosα;(2) cos( +a);(3) cos(一a)；(4) cos(2 -a);
3.已知 sin( + )=1/3,求sin(-3 +a)的值.
4.已知 cos( + )= 1/3,求 sin(3 /2 )和 sin(3 /2+ )的值.
5.化简：
sin( 2 )sin( + ) 2cos( /2)sin( ) cos^2 ( /2+ )
(来自教材课后练习，请老师们参考教参)
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※谢谢欣赏※※※※※※※※※※※※※※《§1.4.4 诱导公式与旋转》
导学案.学生版
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聚焦知识目标
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．
2．理解诱导公式的推导过程
3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简问题．
数学素养
1.通过诱导公式的推导过程，培养逻辑推理素养．
2.通过诱导公式的应用，提升数学运算素养.
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同学们，上一节我们学习了哪些诱导公式？
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z):
sin(α+2kπ)= ,cos(α+2kπ)= .
sin(-α)= ,cos(-α)= .
sin(α+π)=sin(π+α)= ,cos(α+π)=cos(π+α)= .
sin(α-π)= ,cos(α-π)= sin(π-α)= cos(π-α)=
【微练】
已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
提示：sin(α－3π)=2cos(α－4π)，其中sin(α－3π)= ，cos(α－4π)=
即sin α＝－2cos α. 那么，，
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角α与 / ±α的正弦函数、余弦函数关系
观察图，
设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转，得到点P'，即 α+π/2的终边与圆交于点P'，由平面几何知识可知：点P'的坐标为(一v，u).所以点P的横坐标与点P 相等， 点P的纵坐标与点P'的横坐标的绝对值 且符号 ,
诱导公式的拓展
例1.证明：
证明：
已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
续解：sin[π+]=-sin=-cosα，-sinα，
解：
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诱导公式汇总
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z):
sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
sin(α+π)=sin(π+α)=-sin α,cos(α+π)=cos(π+α)=-cos α.
sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
诱导后：名称 ，符号根据把 看成 时 所在象限确定
对任意角α，有下列关系式成立：
sin（＋α）＝cos α，cos （＋α）＝－sin α.
sin （-α） ＝cos α，cos （-α） ＝sin α.
诱导后：名称 ，符号根据把 看成 时 所在象限确定
用旋转的整数倍来分析诱导公式
我们在平面直角坐标系中，对角α的终边经过对称或旋转得到了诱导公式.我们发现，是这些诱导公式中旋转的最小角度，而π，2kπ(k?Z)又都是的整数倍；还有，中心对称也可以用旋转π表示.于是，我们试图用旋转的整数倍来分析诱导公式.
可以看作角a的终边旋转了
(2)α+π可以看作角a的终边旋转了β的2倍；
(3)α-κ与α+π的终边重合，其三角函数值均相等；
(4)a+2kπ可以看作角a的终边旋转了的4k(k∈Z)倍.
再分析和π-a (1)显然，一a也就是 与a+的终边重合，其三角函数值均相等，即求 的三角函数时，可以将a-看作角a的终边旋转了的3倍；
(2)α-π也就是-(a-π).
综上所述，除了关于-a的诱导公式sin(-a)=-sin a和 对于其他诱导公式中的角，都可以看作a+等，其中n=1，2，3，4k(k∈z)，只需注意，关于―a和π-a的诱导公式，在做了 和α―π的公式变化之后，还要借助于－α的诱导公式.
诱导公式使用策略
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论：当n取奇数1或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦函数；当n取偶数2或k(k∈z)时，公式的等号两边都是正弦函数或都是余弦函数，其符号由角所在的象限决定.
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题组一 给角求值
例1.求下列函数值：
解：
题组二 给值求值
【例2】（1） 已知sin(α－75°)＝－，求sin(105°＋α)的值．
解：
解：
题组三 化简
例3.化简：
解：
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1.已知角α的终边经过点 P(1,- )分别求角α,α+π/2,α-π/2 的正弦函数值、余弦函数值.
2.已知sin( /2 )= 0.3 求下列各三角函数值：
(1)cosα;(2) cos( +a);(3) cos(一a)；(4) cos(2 -a);
3.已知 sin( + )=1/3,求sin(-3 +a)的值.
4.已知 cos( + )= 1/3,求 sin(3 /2 )和 sin(3 /2+ )的值.
5.化简：
sin( 2 )sin( + ) 2cos( /2)sin( ) cos^2 ( /2+ )
(来自教材课后练习，请老师们参考教参)
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