《§1.5.1专题：利用正弦函数的图象解不等式》
（导学案 教师版）
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
聚焦知识目标
1.能用“五点法”画正弦函数的图象．
2。了解图象的拓展画法
3.能用图象解不等式
4.应用解不等式求函数定义域
数学素养
1.通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
五点法简化正弦曲线作图
描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“五点法”．
画法要领
1．令x分别取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
例1. 用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图象.
[解] (1)列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
(2)描点、连线，图象如图．
2．函数y＝的图象是( )
A B
C D
化简 -----------------画绝对值内图-------------------------------下翻上
解：C 由y＝＝|sin x|，知该函数为偶函数，
当sin x≥0时，y＝sin x，当sin x＜0时，y＝－sin x，
作x≥0时y＝sin x的图象，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，
再关于y 轴对称即作出y＝|sin x|的图象．
3.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是 ( )
A.y=|sin x| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|
外绝对值下翻上--------------内绝对值右翻左----------y=f(x)与y=-f(x)图象关于x轴对称
【解析】选C.注意图象所对应的函数值的正负,可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin|x|>0,而图中显然小于零,因此排除选项B.
4.已知函数f(x)= ·cos x 图象
先化简---------------------------------化成分段函数
解：因为函数f(x)= ·cos x=
画出函数f(x)的图象,如图所示
5.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象
先化简-----------------------------------化成分段函数
6.已知函数f(x)=(x-1) sin(πx)则函数在[-1，3]上的大致图象为()
看对称性-------------------------------看正负性
解析：由f(x)=(x-1) sin πx可得y=f(x)的图象关于直线x=1对称，排除BC，
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
类型一 限制角的范围,结果不含K
【例1】 利用y＝sin x 的图象，在[0,2π]内求满足sin x ≥－的x的取值范围
[思路点拨] 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象， 作出直线y＝－的图象，直线上方图象符合题意．
[解] 列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
描点，连线如图，同时作出直线y＝-的图象．
【例2】 用五点法作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间①y>1;②y<1.
【思路导引】用五点法作图.再根据函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图解题.
由图象可知函数y=1-2sin x在y=1上方的部分y>1,在y=1下方的部分y<1,
所以当x∈(-π,0)时,y>1,当x∈(0,π)时,y<1.
类型二 不限范围结果含k
例3利用正弦函数的图象,求满足由于没有范围限制，先在[0,2 ]内解，然后，利用周期性，推广.注意解集的写法。
作出直线y=,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为, 作出直线y=,可知该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的图象的交点横坐标为.
由正弦函数的周期性可知,不等式例4 求满足下列条件的角的范围.
(1)sin x≥;(2)sin x≤-.
解如图,作直线y=,y=-及y=sin x的图象.
例5.求下列函数的定义域
(1)y=;
(2)y=lg(2sin x-1).
根据函数结构特点，列出正弦函数不等式，用图象解。
解(1)要使函数y=有意义,需使sin x≥0,
得函数的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}.
(2)要使函数y=lg(2sin x-1)有意义,
则2sin x-1>0,即sin x>,
解得2kπ+即函数的定义域为
.
解(1)要使函数式有意义,需1-2sin x≠0,即sin x≠,而在[0,2π]上有sin,sin,故该函数的定义域为
xx≠+2kπ,且x≠+2kπ,k∈Z.
(2)由题意知2sin x+1≥0,sin x≥-.因为在一个周期上符合条件的角的范围为,所以函数的定义域为(k∈Z).
解后心得
用三角函数图象解三角不等式的方法.
1 作出相应正弦函数在[0，2π]上的图象；
2 写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
3 根据所给条件写出不等式的解集.《§1.5.1专题：利用正弦函数的图象解不等式》
（导学案 学生版）
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
聚焦知识目标
1.能用“五点法”画正弦函数的图象．
2。了解图象的拓展画法
3.能用图象解不等式
4.应用解不等式求函数定义域
数学素养
1.通过画正弦函数的图象，培养直观想象素养．
2．通过正弦函数性质的应用，培养数学运算素养.
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
五点法简化正弦曲线作图
描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到正弦函数的简图．我们称这种作正弦曲线的方法为“ ”．
画法要领
1．令x分别取 ， ， ， ， ，然后求出相应的y值，便得到决定图象特征的五个关键点．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
例1. 用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图象.
解：
例2．函数y＝的图象是( )
A B
C D
化简 -----------------画绝对值内图-------------------------------下翻上
解：
例3.与图中曲线(部分)对应的函数解析式是 ( )
A.y=|sin x| B.y=sin|x|
C.y=-sin|x| D.y=-|sin x|
外绝对值下翻上--------------内绝对值右翻左----------y=f(x)与y=-f(x)图象关于x轴对称
解：
例4.已知函数f(x)= ·cos x 图象
先化简---------------------------------化成分段函数
解：
例5.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象
先化简-----------------------------------化成分段函数
解：
例6.已知函数f(x)=(x-1) sin(πx)则函数在[-1，3]上的大致图象为()
看对称性-------------------------------看正负性
解：
※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※
类型一 限制角的范围,结果不含K
【例1】 利用y＝sin x 的图象，在[0,2π]内求满足sin x ≥－的x的取值范围
[思路点拨] 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象， 作出直线y＝－的图象，直线上方图象符合题意．
解：
【例2】 用五点法作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间①y>1;②y<1.
【思路导引】用五点法作图.再根据函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图解题.
解：
类型二 不限范围结果含k
例3利用正弦函数的图象,求满足解：
例4 求满足下列条件的角的范围.
(1)sin x≥;(2)sin x≤-.
解：
例5.求下列函数的定义域
(1)y=;
(2)y=lg(2sin x-1).
根据函数结构特点，列出正弦函数不等式，用图象解。
解：（1）
（2）
解：
解后心得
用三角函数图象解三角不等式的方法.
1 作出相应正弦函数在[0，2π]上的图象；
2 写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；
3 根据所给条件写出不等式的解集.
