2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.3正方形的性质与判定 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步练习题（附答案）
1．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
2．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF＝2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（　　）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）
A．45° B．15° C．10° D．125°
4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，CH⊥AF于点H，那么CH的长是（　　）
A． B． C． D．
5．正方形面积为36，则对角线的长为（　　）
A．6 B． C．9 D．
6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，3），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，） C．（﹣，2） D．（﹣1，）
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　）
A．7 B．3+ C．8 D．3+
9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．12.5°
10．将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（　　）
A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2
11．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
12．如图，已知正方形ABCD的对角线交于O，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的值是（　　）
A．7 B．5 C．4 D．3
13．正方形、矩形、菱形都具有的特征是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
14．下列说法正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
15．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC，其中正确的是（　　）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形
17．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，则这个四边形最可能是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
18．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
20．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝　 　°时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝　 　°时，四边形ABDF为菱形．
21．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．
22．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF．
（1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由．
参考答案
1．解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，BC＝EC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠BCE）＝15°
∵∠BCM＝∠BCD＝45°，
∴∠BMC＝180°﹣（∠BCM+∠EBC）＝120°，
∴∠AMB＝180°﹣∠BMC＝60°
∵AC是线段BD的垂直平分线，M在AC上，
∴∠AMD＝∠AMB＝60°
故选：B．
2．解：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE＝EB，
∴FA＝FB，
∵AF＝2AE，
∴AF＝AB＝FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF＝AD＝AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB＝∠FAB＝30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠DBC＝45°，
∴∠FAD＝∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF＝∠FCB＝15°，
∴∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝60°．
解法二：连接BF．易知∠FCB＝15°，∠DOC＝∠OBC+∠FCB＝45°+15°＝60°
故选：A．
3．解：∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AD＝AB
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AE＝AB
∴∠AEB＝30°÷2＝15°，
∴∠BED＝60°﹣15°＝45°，
故选：A．
4．解：∵CD＝BC＝1，
∴GD＝3﹣1＝2，
∴DK＝DG，
∴DK＝2×＝，GK＝2×＝，
∴KF＝，
∴CH＝．
方法二：连接AC、CF，利用面积法：CH＝；
故选：A．
5．解：设对角线长是x．则有
x2＝36，
解得：x＝6．
故选：B．
6．解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；
综上所述，错误的有③．
故选：B．
7．解：作CD⊥x轴于D，作BE⊥CD于E，交y轴于F，如图，
∵B（1，3），
∴DE＝3，BF＝1，
设C（m，n），则OD＝EF＝﹣m，CD＝n，
∵四边形ABCO为正方形，
∴∠BCO＝90°，CB＝CO，
∵∠BCE+∠OCD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠OCD＝∠CBE，
在△OCD和△CBE中
，
∴△OCD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，OD＝CE，
即n＝1﹣m，﹣m＝3﹣n，
∴m＝﹣1，n＝2，
∴C点坐标为（﹣1，2）．
故选：A．
8．解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b＝，即BG+CG＝，
∴△BCG的周长＝+3，
故选：D．
9．解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
故选：B．
10．解：如图，
在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，
两边相交于M和N，
∠A1EN＝∠A1MF＝90°，
∠EA1N+∠ENA1＝90°，
∠EA1N+∠FA1M＝90°，
∴∠ENA1＝∠FA1M，A1E＝A1F，
∴△A1EN≌△A1MF（ASA），
∴四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1FA2的面积＝正方形ABCD的面积，
同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于正方形ABCD的面积，
∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD的面积＝4cm2，
故选：C．
11．解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意；
B、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；
C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故本选项符合题意．
D、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项不符合题意；
故选：C．
12．解：∵OB＝OC，
∵OE⊥OF
∴∠EOB+∠FOB＝90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠COF+∠BOF＝90°
∴∠EOB＝∠FOC
而∠OBE＝∠OCF＝45°
在△OFC和△OEB中，
∴△OFC≌△OEB（ASA），
∴OE＝OF，CF＝BE＝3cm，则AE＝BF＝4，
根据勾股定理得到EF＝＝5cm．
故选：B．
13．解：A、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确；
故选：A．
14．解：（A）对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A错误．
（B）对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误．
（C）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故C错误．
故选：D．
15．解：过P作PG⊥AB于点G，如图，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP＝EP，
在△GPB中，∠GBP＝45°，
∴∠GPB＝45°，
∴GB＝GP，
同理，得
PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP＝EF，
∴结论①正确；
∵△AGP≌△FPE，
∴∠PFE＝∠GAP
∴∠PFE＝∠BAP，
∴结论③正确；
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，
即AP⊥EF；
∴结论②正确；
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴PD＝EC，
∴结论④正确；
故选：D．
16．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
17．解：如图，∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH，EF⊥EH，
∵BD＝2EF，AC＝2EH，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
即四边形ABCD满足对角线相等且垂直，
选项D满足题意．
故选：D．
18．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，
∴CE+CG＝8是定值．
19．（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD＝∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE＝∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE＝（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
＝AB，AD＝CD，
即AD＝2，
AD＝2，
正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8．
20．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①∵AF∥CD，AF＝CD，AD＝AF，
∴四边形ADCF是菱形，
当四边形ADCF为正方形时，∠DCF＝90°，
∴∠ACB＝∠ACF＝45°；
②∴CD＝CF，
当四边形ABCF为菱形时，BD＝DF，则DC＝DF，
∴CD＝CF＝DF，
∴△DCF为等边三角形，
∴∠DCF＝60°，
∴∠ACB＝∠ACF＝30°．
故答案为：45，30．
21．证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，
∴四边形OCED是正方形．
22．解：（1）AF＝DE．
∵ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF，
∴AF＝DE．
（2）四边形HIJK是正方形．
如下图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点，
∴HI＝KJ＝AF，HK＝IJ＝ED，
∵AF＝DE，
∴HI＝KJ＝HK＝IJ，
∴四边形HIJK是菱形，
∵△DAE≌△ABF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAF+∠AED＝90°，
∴∠AOE＝90°
∴∠KHI＝90°，
∴四边形HIJK是正方形．