2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.1菱形的性质与判定 知识点分类训练 （Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-1菱形的性质与判定》知识点分类训练（附答案）
一．菱形的性质
1．若菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长为（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．菱形的周长为52，一条对角线长为10，则此菱形的面积为 　 　．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，DE⊥BC，垂足为点E，则DE＝　 　．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB于点H，则OH的长为 　 　．
7．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．
二．菱形的判定
8．在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（　　）
A．两条对角线相等
B．两条对角线相等且互相垂直
C．两条对角线互相垂直
D．两条对角线互相垂直平分
9．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
10．如图，要使平行四边形ABCD变为菱形，需要添加的条件是（　　）
A．AC＝BD B．AD＝BC C．AB＝CD D．AB＝BC
11．从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝CD
12．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件　 　使平行四边形ABCD是菱形．
13．要使 ABCD是菱形，你添加的条件是　 　．（写出一种即可）
14．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　 　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
15．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD．
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：四边形ABCD是菱形．
16．已知：如图，在 ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
17．如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）当∠ADB＝90°时，求证：四边形DEBF是菱形．
三．菱形的判定与性质
18．如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB
（1）求证：△DAF≌△BCE；
（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．
19．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．
20．如图，在菱形ABCD中∠ABC＝60°，E为对角线AC上一点，F是BC延长线上一点，连接BE，DE，AF，DF，∠EDF＝60°．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若点G为BE的中点，连接AG，求证：AF＝2AG．
21．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O．已知BC＝2OC，BF＝EF，G为CE中点，连接FG，AG
（1）若CE＝8，∠ACE＝∠ACB，求AB；
（2）求证：FG＝AG．
参考答案
一．菱形的性质
1．解：如图所示，
根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝＝＝5，
∴此菱形的周长为：5×4＝20．
故选：A．
2．解：设另一条对角线长为xcm，
则×6 x＝12，
解得x＝4．
故选：B．
3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵AC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
故选：C．
4．解：如图所示
∵菱形的周长为52，
即4AB＝52，
∴AB＝13，
∵AC＝10，
∴AO＝AC＝5，
∵AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
由勾股定理得BO＝12，
∴BD＝2BO＝24，
∴菱形的面积＝×10×24＝120．
故答案为：120．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13，
∴BC＝13，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝BC×DE，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
6．解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴BO＝3，AO＝4，AO⊥BO，
∴AB＝＝＝5．
∵OH⊥AB，
∴AO BO＝AB OH，
∴OH＝，
故答案为：．
7．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE＝AF．
二．菱形的判定
8．解：菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选D．
9．解：需要添加的条件是AB＝BC；
理由如下：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故选：D．
10．解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
那么可添加的条件是：AB＝BC．
故选：D．
11．解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形．不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形．符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形．不符合题意；
D、邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意；
故选：B．
12．解：当AB＝BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．
故答案为AB＝BC或AC⊥BD．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：AD＝AB（答案不唯一）．
14．解：OA＝OC，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
15．解：（1）∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∵AE∥BF，
∴∠DAB+∠CBA，＝180°，
∴∠BAC+∠ABD＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AOD＝90°；
（2）证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，
∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，
∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝BC，AB＝AD
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴EB＝DF，EB∥DF，
∴四边形DEBF为平行四边形；
（2）证明：∵∠ADB＝90°，E为边AB的中点，
∴DE＝AB＝EB，
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF为菱形．
三．菱形的判定与性质
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAF＝∠BCE，
∵DF∥EB，
∴∠DFA＝∠BEC，
在△DAF和△BCE中，
，
∴△DAF≌△BCE（AAS）；
（2）证明：连接BD，如图所示：
由（1）得：△DAF≌△BCE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形．
19．证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF∥AB，
∴∠ABC＝∠DFC＝60°，
∵DH⊥BC，
∴∠FDH＝30°，
∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠C＝∠HDC＝45°，
∴DC＝DH＝DF＝6，
∴DF＝2，
∴菱形BEDF的边长为2．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC＝AB＝BC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∵∠ADC＝∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∵∠EDF+∠ECF+∠DEC+∠DFC＝360°，
∴∠DEC+∠DFC＝180°，
∵∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠DFC，
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）如图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H，
∵BH∥AC，
∴∠H＝∠GAE，∠ABH+∠BAC＝180°，
∴∠ABH＝120°＝∠ACF，
∵点G为BE的中点，
∴BG＝GE，
在△AGE和△HGB中，
，
∴△AGE≌△HGB（AAS），
∴AE＝BH＝CF，AG＝GH＝AH，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF（SAS），
∴AF＝AH，
∴AF＝2AG．
21．（1）解：延长EF与BC交于点K
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∵BC＝2OC
∠OBC＝30°，
∴∠EBF＝30°，
∴∠BEF＝30°，∠ABC＝60°，∠EKB＝90°，∠ACB＝60°
∠ACE＝∠ACB＝×60°＝15°，∠ECK＝45°，
在Rt△CKE中，EK＝CK＝CE＝，
在Rt△EKB中，BK＝
∴BC＝，
即AB＝；
（2）证明：延长FG至点H，使GH＝FG，连接CH，AH．
∵G为CE中点，
∴EG＝GC，
在△EFG与△CHG中，
，
△EFG≌△CHG（SAS），
∴EF＝CH，∠CHG＝∠EFG，
∴CH＝BF，CH∥EF，
由（1）可知∠EBC＝60°，∠EKB＝90°，∠BCD＝120°，
∴∠HCB＝90°，∠ACH＝∠BCD﹣∠HCB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠ABF＝∠ACH，
在△AFB与△AHC中，
△AFB≌△AHC（SAS），
∴AF＝AH，∠BAF＝∠CAH
∵FG＝GH，
∴AG⊥FG，∴∠FAG＝∠HAG
∵∠BAC＝∠BAF+∠FAC＝60°，
∴∠CAH+∠FAC＝60°，
即∠FAH＝60°，
∴∠FAG＝∠HAG＝30°，
∴