2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 同步达标测试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 同步达标测试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 153.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-21 19:25:42 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆
B．三角形的外心是三个内角平分线的交点
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的圆心角相等
2．已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
3．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
4．下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝60°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．120° C．135° D．150°
6．下列关于三角形外心的说法中，正确的是（ ）
A．三角形的外心是三角形各角平分线的交点
B．三角形的外心是三角形三边中线的交点
C．三角形的外心是三角形三边高线的交点
D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
7．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A． B． C．10 D．12
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是90°；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）
A．1.5 B． C． D．2
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
12．直角三角形的两条直角边为6、8，则外接圆的半径为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 ．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，则cos∠OCB的值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，8），B（﹣6，0），以A为圆心，4为半径作⊙A，点P为⊙A上一动点，M为OP的中点，连接BM，设BM的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC上一动点，过点B作AE的垂线交AE于点F，连接DF，则DF的最小值是 ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求这个三角形外接圆的半径和面积．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CA＝CB，连接BO并延长交AC于点D．
（1）求证：∠C＝2∠CBD；
（2）若AB＝6，sinC＝，求⊙O的半径．
19．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点M为上一动点，探索MA，MB，MC的关系．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠B＝72°，求证：点E是的中点．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项的说法错误；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项的说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以选项C说法错误；
D、等弧所对的圆心角相等，所以D选项的说法正确；
故选：D．
2．解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8，
故选：A．
3．解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，
B、在同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，故正确，
C、错误，A、B、C三点共线时，不符合题意．
D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误，
故选：B．
4．解：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以①错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③正确；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以④正确；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以⑤正确．
故选：D．
5．解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°；
故选：B．
6．解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴A、B、C选项错误，D选项正确，
故选：D．
7．解：连接BG，
在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，
∴EF＝2BE＝4，BF＝BE＝2，
∵G是EF的中点，
∴BG＝EF＝2，
∴G在⊙B上，且半径为2，
∴当G在DB的延长线上时，DG最大，
∵BE＝2，BF＝2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB＝4，BC＝4，
∴BD＝＝8，
∴DG的最大值为8+2＝10，
故选：C．
8．解：如图，设AO与BC交于点D，
∵∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，CD＝AC cos30°＝2×＝，
∴BC＝2CD＝2，
故选：D．
9．解：①半径不是弦，本小题说法是假命题；
②任意三角形都有且只有一个外接圆，本小题说法是真命题；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，本小题说法是假命题；
④半圆所对的圆周角是90°，本小题说法是真命题；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本小题说法是假命题；
故选：A．
10．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝，BD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为：＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4．
故答案为4或5．
12．解：∵直角边长分别为6和8，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5，
故答案为：5．
13．解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝＝2，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤5+2＝7，
即BM的最大值是7．
故答案为7．
14．解：∵∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴cos∠OCB＝．
故答案为．
15．解：在x轴上取一点E（﹣12，0），连接PE．
∵B（﹣6，0），A（﹣6，8），
∴OB＝BE＝6，AE＝＝10，
∵OM＝PM，OB＝BE，
∴BM＝PE，
∵点P在⊙A上运动，
∴P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10+4＝14，最小值EP″＝10﹣4＝6，
∴m＝7，n＝3，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
16．解：取AB的中点T，连接FT，DT．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝4，AT＝TB＝1，
∴DT＝＝＝，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∵AT＝TB，
∴FT＝AB＝1，
∴DF≥DT﹣FT＝﹣1，
∴DF的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，
面积为π×52＝25π．
18．解：（1）如图1，连接CO，AO，
∵CA＝CB，OA＝OB，OC＝OC，
∴△COA≌△COB（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBD，
∴∠C＝2∠CBD；
（2）如图2，作⊙O的直径AK，连接BK，
则∠ABK＝90°，∠C＝∠K，
∵AB＝6，sinC＝，
∴sinK＝＝，
∴AK＝10，
∴⊙O的半径为5．
19．解：MB+MC＝MA．
理由如下：截取ME＝MC，
∵∠AMC＝∠ABC＝60°，
∴△MEC为等边三角形，
∴CE＝CM，∠MCE＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCM，
在△CAE和△CBM中，
，
∴△CAE≌△CBM，
∴AE＝MB，
∴MB+MC＝MA．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AED，
∴∠D＝∠AED，
∴AE＝AD；
（2）∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠AEC＝180°﹣∠B＝108°，
∴∠BAC＝180°﹣72°×2＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠ACE＝∠BAC＝36°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝36°，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴＝，即点E是的中点．
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．经过三点可以作一个圆
B．三角形的外心是三个内角平分线的交点
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．等弧所对的圆心角相等
2．已知点P在半径为8的⊙O外，则（ ）
A．OP＞8 B．OP＝8 C．OP＜8 D．OP≠8
3．下列说法正确的是（ ）
A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点
B．同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在一条直线上
C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点
D．过四点A、B、C、D的圆不存在
4．下列语句中，一定正确的是（ ）
①过三点有且只有一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④同弧或等弧所对的圆周角相等；⑤圆内接平行四边形是矩形．
A．①②③ B．①②④ C．②③⑤ D．③④⑤
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝60°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．120° C．135° D．150°
6．下列关于三角形外心的说法中，正确的是（ ）
A．三角形的外心是三角形各角平分线的交点
B．三角形的外心是三角形三边中线的交点
C．三角形的外心是三角形三边高线的交点
D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
7．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（ ）
A． B． C．10 D．12
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
9．有下列说法：①半径是弦；②任意一个三角形有且只有一个外接圆；③平分弦的直径垂直于弦；④半圆所对的圆周角是90°；⑤相等的圆周角所对的弧相等，其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（ ）
A．1.5 B． C． D．2
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
12．直角三角形的两条直角边为6、8，则外接圆的半径为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是 ．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，则cos∠OCB的值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣6，8），B（﹣6，0），以A为圆心，4为半径作⊙A，点P为⊙A上一动点，M为OP的中点，连接BM，设BM的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC上一动点，过点B作AE的垂线交AE于点F，连接DF，则DF的最小值是 ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求这个三角形外接圆的半径和面积．
18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，CA＝CB，连接BO并延长交AC于点D．
（1）求证：∠C＝2∠CBD；
（2）若AB＝6，sinC＝，求⊙O的半径．
19．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点M为上一动点，探索MA，MB，MC的关系．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，四边形ABCD是平行四边形，边CD与⊙O交于点E，连接AE．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠B＝72°，求证：点E是的中点．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项的说法错误；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，所以B选项的说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以选项C说法错误；
D、等弧所对的圆心角相等，所以D选项的说法正确；
故选：D．
2．解：∵点P在圆O的外部，
∴点P到圆心O的距离大于8，
故选：A．
3．解：A、过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点（A点外），故本选项错误，
B、在同一平面内，过两点A、B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，故正确，
C、错误，A、B、C三点共线时，不符合题意．
D、过四点A、B、C、D的圆可以存在，故本选项错误，
故选：B．
4．解：过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，所以①错误；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以③正确；
同弧或等弧所对的圆周角相等，所以④正确；
圆内接平行四边形的对角相等且互补，此时四边形是矩形，所以⑤正确．
故选：D．
5．解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°；
故选：B．
6．解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴A、B、C选项错误，D选项正确，
故选：D．
7．解：连接BG，
在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，
∴EF＝2BE＝4，BF＝BE＝2，
∵G是EF的中点，
∴BG＝EF＝2，
∴G在⊙B上，且半径为2，
∴当G在DB的延长线上时，DG最大，
∵BE＝2，BF＝2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴AB＝4，BC＝4，
∴BD＝＝8，
∴DG的最大值为8+2＝10，
故选：C．
8．解：如图，设AO与BC交于点D，
∵∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，CD＝AC cos30°＝2×＝，
∴BC＝2CD＝2，
故选：D．
9．解：①半径不是弦，本小题说法是假命题；
②任意三角形都有且只有一个外接圆，本小题说法是真命题；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，本小题说法是假命题；
④半圆所对的圆周角是90°，本小题说法是真命题；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本小题说法是假命题；
故选：A．
10．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠PAB＝∠ACP，
∴∠PAC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时PA＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，
∴PD＝，BD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为：＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4．
故答案为4或5．
12．解：∵直角边长分别为6和8，
∴斜边是10，
∴这个直角三角形的外接圆的半径为5，
故答案为：5．
13．解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．
∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
∵AN＝NC，
∴BN＝AC＝5，
∵AN＝NC，DM＝MC，
∴MN＝＝2，
∴BM≤BN+NM，
∴BM≤5+2＝7，
即BM的最大值是7．
故答案为7．
14．解：∵∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴cos∠OCB＝．
故答案为．
15．解：在x轴上取一点E（﹣12，0），连接PE．
∵B（﹣6，0），A（﹣6，8），
∴OB＝BE＝6，AE＝＝10，
∵OM＝PM，OB＝BE，
∴BM＝PE，
∵点P在⊙A上运动，
∴P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10+4＝14，最小值EP″＝10﹣4＝6，
∴m＝7，n＝3，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
16．解：取AB的中点T，连接FT，DT．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝4，AT＝TB＝1，
∴DT＝＝＝，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∵AT＝TB，
∴FT＝AB＝1，
∴DF≥DT﹣FT＝﹣1，
∴DF的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，
面积为π×52＝25π．
18．解：（1）如图1，连接CO，AO，
∵CA＝CB，OA＝OB，OC＝OC，
∴△COA≌△COB（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠CBD，
∴∠C＝2∠CBD；
（2）如图2，作⊙O的直径AK，连接BK，
则∠ABK＝90°，∠C＝∠K，
∵AB＝6，sinC＝，
∴sinK＝＝，
∴AK＝10，
∴⊙O的半径为5．
19．解：MB+MC＝MA．
理由如下：截取ME＝MC，
∵∠AMC＝∠ABC＝60°，
∴△MEC为等边三角形，
∴CE＝CM，∠MCE＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCM，
在△CAE和△CBM中，
，
∴△CAE≌△CBM，
∴AE＝MB，
∴MB+MC＝MA．
20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AED，
∴∠D＝∠AED，
∴AE＝AD；
（2）∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∠AEC＝180°﹣∠B＝108°，
∴∠BAC＝180°﹣72°×2＝36°，
∵AB∥CD，
∴∠ACE＝∠BAC＝36°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝36°，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴＝，即点E是的中点．