2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．如图，AC是⊙O直径，BC⊥AC于C，连接AB交⊙O于D，连接CD，AC＝8，tan∠BCD＝，则AB长为（　　）
A．8 B．7 C．10 D．6
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为直径，BD平分∠ABC，若∠ABC＝40°，则∠A的度数为（　　）
A．105° B．110° C．115° D．120°
3．如图，⊙O的半径为9cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB折叠交于OC的中点D，则AB的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝AC，∠ODC＝12°，则∠DBC的度数为（　　）
A．80° B．102° C．120° D．135°
5．如图，在⊙O中，，D、E分别是半径OA，OB的中点，连接OC，AC，BC，CD，CE，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．AC＝BC B．CD＝CE C．∠ACD＝∠BCE D．CD⊥OA
6．如图，AB、CD为⊙O的弦，BD为⊙O直径，AC、BD相交于点E，若∠A＝50°，∠ABC＝65°，则∠AEB＝（　　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
7．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，BC为半径的圆与AB相交于点D，则AD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（　　）
A． B． C．5 D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
10．如图，点A，B，C，D在⊙O上，C是弧BD的中点，AB＝CD．若∠ODC＝55°，则∠ABC的度数为 　 　．
11．在半径为2的⊙O中有一条弦AB＝2，则弦AB所对的圆周角度数为 　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．若AB＝10，AD＝5，则DE＝　 　．
13．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有 　 　．（填序号）
14．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交边AB，AC于点D，E，设∠A＝α，则的度数为 　 　（用含α的代数式表示）．
15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为 　 　度．
16．如图：已知⊙O的半径为2，OC⊥直径AB，点D是的一个三等分点，P为OC上一动点，则PA+PD的最小值是 　 　．
17．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠AOC＝57°，∠C＝　 　，∠E＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
18．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．
（1）求证：ED＝EC；
（2）若CD＝，EC＝2，求AB的长．
19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．
（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
20．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°．
（1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长；
（2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长．
21．如图，点O在△ABC的边AC上，⊙O过B、C两点，交AB与点D，交AC于点E，连接DE，且DE∥OB．
（1）求证：BC＝BD；
（2）若⊙O的半径为3，AE＝CE，求BC的长．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
23．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上任意一点，连接AD，AG，GD．
（1）求证：∠ADC＝∠AGD；
（2）若BE＝2，CD＝8，求圆O的半径．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分36分）
1．解：∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴tanA＝tan∠BCD＝，
∴＝，
∵AC＝8，
∴BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
故选：C．
2．解：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°，
∴∠DBC＝20°，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠DBC＝90°﹣20°＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
3．解：连接OA，
∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
∴OC＝r＝6（cm），OC⊥AB，
∴AC＝CB＝＝＝3（cm），
∴AB＝2AC＝6（cm），
故选：D．
4．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴∠BDC＝45°，
∴∠ODB＝∠ODC+∠CDB＝57°，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB＝57°，
∴∠DBC＝∠OBD+∠ABC＝57°+45°＝102°．
故选：B．
5．解：∵，
∴AC＝BC，
∴A选项正确，不符合题意．
∵，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，点D，E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD＝OE，
又∵OC＝OC，
∴△CDO≌△CEO（SAS），
∴∠DCO＝∠ECO，CD＝CE，
∴B选项正确，不符合题意．
∵OA＝OC＝OB，∠AOC＝∠BOC，
∴∠ACO＝∠BCO，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴C选项正确，不符合题意．
假设CD⊥OA，
∵CD⊥OA，点D是半径OA的中点
∴CD＝C0，
∴△AOC是等边三角形，
这题目条件矛盾．
∴D选项不正确，符合题意．
故选：D．
6．解：∵BD是直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠A＝∠D＝50°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CBD＝65°﹣40°＝25°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣50°﹣25°＝105°，
故选：C．
7．解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN＝40°，
∴∠AON＝80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB＝∠BON＝40°，
根据垂径定理得＝，
∴∠CON＝∠BON＝40°，
∴∠AOC＝120°，
∵MN＝2，
∴OA＝OC＝1，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴AC＝．
故选：B．
8．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，
∵CB＝CD，
∴△CBD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
故选：A．
9．解：EC＝AC﹣AE＝，
由相交弦定理得，AE EC＝DE BE，
则DE＝＝，
∴BD＝DE+BE＝，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
10．解：∵C是弧BD的中点，AB＝CD．
∴，
∵∠ODC＝55°，
∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣55°×2）＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣35°×2＝110°．
故答案为：110°．
11．解：连接OA，做OD⊥AB，
∵OA＝2，AB＝2
∴AD＝BD＝
∴AD：OA＝，
∴∠AOD＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AMB＝45°，
∴∠ANB＝135°．
∴弦AB所对的圆周角度数为45°或135°．
故答案为45°或135°．．
12．解：连接AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴点D为BC中点，
在Rt△ABD中，AD＝5，AB＝10，
∴BD＝CD＝＝5
∴sinB＝＝，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴＝，
∴DE＝CD＝．
故答案为：．
13．解：∵∠1＝∠2，
∴，∠DOB＝∠AOC，
∴，
∴AC＝BD，
∴①②③④正确，
故答案为：①②③④．
14．解：连接CD，如图，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∴∠ADC＝90°．
∵∠A＝α，
∴∠ACD＝90°﹣α．
∴的度数为：2（90°﹣α）＝180°﹣2α．
故答案为：180﹣2α．
15．解：∵＝，∠BAC＝30°，
∴∠DCF＝∠BAC＝30°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝75°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCF＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45．
16．解：连接PB，与CO相交于P，连接AD，BD．
∵AB为直径，
∴∠D＝90°，
∵点D是的一个三等分点，
∴弧AD的度数为60°，
∴∠B＝30°，
∴cos30°＝，
∴DB＝ABcos30°＝4×＝2，
∵PA+PD＝PB+PD≥BD＝2，
∴PA+PD的最小值是2．
故答案为：2．
17．解：连接OD，
设∠E＝x°，
∵AB＝2DE，OA＝OB＝OD，
∴OD＝DE，
∴∠E＝∠DOE＝x°，
∴∠CDO＝∠E+∠DOE＝2x°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠CDO＝2x°，
∵∠AOC＝57°，∠AOC＝∠E+∠C，
∴57＝x+2x，
解得：x＝19，
即∠E＝19°，∠C＝38°，
故答案为：38°，19°．
三．解答题（共6小题，满分52分）
18．（1）证明：∵∠EDC+∠EDA＝180°、∠B+∠EDA＝180°，
∴∠B＝∠EDC，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC；
（2）解：连接AE，
∵AB是直径，
∴AE⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BC＝2EC＝4，
∵∠B＝∠EDC、∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴AB：EC＝BC：CD，
又∵EC＝2，BC＝4，CD＝，
∴AB＝．
19．证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，
∴∠ADC＝∠ABC，
（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（2）解：连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，
即∠A＝90°﹣（α+β）．
20．解：（1）∵AD＝AB，
∴AD＝AB，
∵∠DAB＝90°
∴BD是直径，
∴BD＝12，
∴2AB2＝144，
∴AB＝；
（2）连接BD，
∵∠DAB＝90°，
∵AD＝5，AB＝3，
∴BD＝，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴DC＝CB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴BC＝，
作BH⊥AC，
∵∠CAB＝45°，
∴AH＝BH＝，CH＝，
∴AC＝．
21．（1）证明：如图1，连接CD，
∵CE为⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°，
∴ED⊥CD，
∵ED∥OB，
∴OB⊥CD，
∴，
∴BC＝BD；
（2）解：如图2，连接CD交OB于点F，连接EF，
由（1）可知：OB⊥CD，
∴CF＝FD，
∵OC＝OE，AE＝CE，
∴OF是△ECD的中位线，EF是△ACD的中位线，
∴OF＝DE，EF∥AB，
∵DE∥OB，
∴四边形EDBF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴OF＝BF，
∵OF+BF＝OB＝3，
∴OF＝1，BF＝2，
∴CF＝＝＝2，
∴BC＝＝＝2．
22．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°，
∵AO＝6，OH⊥AC，
∴OH＝AO＝3，
由勾股定理得：AH＝＝＝3，
∵OH⊥AC，OH过圆心O，
∴AH＝CH＝3，
∴AC＝AH+CH＝6．
23．（1）证明：连接AC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，
∴＝，
∴∠ACD＝∠ADC，
由圆周角定理得：∠AGD＝∠ACD，
∴∠ADC＝∠AGD；
（2）解：连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CE＝DE＝4，
设⊙O的半径为R，则OC＝OB＝R，
由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，
∴R2＝42+（R﹣2）2，
解得：R＝5，
即⊙O的半径是5．