2021-2022学年北师大版八年级数学下册1.3线段的垂直平分线同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-3线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，点F，G在BC上．若∠GAF＝46°，则∠M的度数为（　　）
A．67° B．65° C．55° D．45°
2．如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为点E，若∠B＝70°且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数是（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝7，AC＝6，则△ACE的周长为（　　）
A．8 B．11 C．13 D．15
4．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD，AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5．下列各点中，到三角形各顶点的距离相等的是（　　）
A．三个内角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
6．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．16
7．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，AB＞BC，分别以顶点A、B为圆心，大于AB长为半径作圆弧，两条圆弧交于点M、N，作直线MN交边CB于点D．若AD＝5，CD＝3，则BC长是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
8．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝55°，则∠B的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
9．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A＝75°，∠ACP＝12°，则∠ABP的度数为（　　）
A．12° B．31° C．53° D．75°
10．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：
（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B＝∠CAE．恒成立的结论有（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3）（4）
C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4）
11．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
（1）求∠PAQ的度数．
（2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
12．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数．
13．如图，C，D是AB的垂直平分线上两点，延长AC，DB交于点E，AF∥BC交DE于点F．
求证：（1）AB是∠CAF的角平分线；
（2）∠FAD＝∠E．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝　 　度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝　 　度；
（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝　 　度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
15．如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上一点，求证：BE＝CE．
16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF
（1）∠B＝70°，求∠CAD的大小；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
17．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F，那么∠B与∠CAF相等吗？为什么？
18．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数；
（2）若△ABC周长为20cm，AC＝8cm，求DC长．
20．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．
（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；
（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．
21．在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M、N．
（1）如图1，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
参考答案
1．解：∵AB，AC的垂直平分线DF，EG交于点M，
∴AF＝BF，AG＝CG，
∴∠BAF＝∠B，∠CAG＝∠C，
又∵∠GAF＝46°，
∴∠BAF+∠CAG＝＝67°，
∴∠BAC＝67°+46°＝113°，
又∵∠ADM+∠AEM＝180°，
∴∠M＝180°﹣113°＝67°，
故选：A．
2．解：连接AD，
∵DE垂直平分AC边，
∴AD＝CD，
∵BC＝BD+CD＝AB+BD，
∴AB＝CD，
∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠C＝ADB＝35°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，
故选：C．
3．解：∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝7+6
＝13．
故选：C．
4．解：∵DE垂直平分边AC，AE＝4cm，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC，
∴△ABC的周长与△ABD的周长差AC＝8cm．
故选：D．
5．解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴到三角形各顶点的距离相等的是三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
6．解：∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
7．解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB＝5，
又∵CD＝3，
∴BC＝CD+BD＝3+5＝8，
故选：B．
8．解：∵EF垂直平分AD，
∴AF＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∴∠FAC+∠CAD＝∠B+∠DAB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴∠FAC＝∠B＝55°，
故选：C．
9．解：∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵PE是线段BC的垂直平分线，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠PCB，
∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°＝180°，
解得，∠ABP＝31°，
故选：B．
10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，FA＝FD，
又∵EF＝EF，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠AEF＝∠DEF，
又∵AD⊥EF，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵FD与BE不一定互相垂直，
∴∠FDE＝90°不成立；
（4）由（1）（2）得：∠EAD＝∠EDA，∠FAD＝∠CAD，
又∵∠EDA＝∠B+∠FAD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，
∴∠B＝∠CAE．
故选：C．
11．解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
12．解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△CDO（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°．
13．证明：（1）∵点C是AB的垂直平分线上的点，
∴CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵AF∥BC交DE于点F，
∴∠BAF＝∠CBA，
∴∠BAF＝∠CAB．
即 AB是∠CAF的角平分线．
（2）∵点D是AB的垂直平分线上的点，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵∠DBA＝∠E+∠CAB，∠DAB＝∠FAD+∠BAF，∠CAB＝∠BAF，
∴∠E＝∠FAD．
14．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝20°，
故答案为20．
（2）如图2中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣70°）＝55°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝35°，
故答案为35．
（3）如图3中，
如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣120°）＝30°，
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝60°，
故答案为60．
（4）结论：∠NMB＝∠A．
理由：如图1中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠A）
∵MN⊥AB，
∴∠MNB＝90°，
∴∠NMB＝90°﹣（90°﹣∠A）＝∠A．
15．证明：连接BC，
∵AB＝AC，DB＝DC
∴A在线段BC的垂直平分线上，D在线段BC的垂直平分线上，
即AD是线段BC的垂直平分线，
∵E在直线AD上，
∴BE＝CE．
16．（1）解：∵D是BC的中点，
∴DB＝DC，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴DE＝DF，∠C＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝40°，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°；
（2）证明：∵∠C＝∠B，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴AE＝AF，又DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
17．解：∠B＝∠CAF，
理由如下：∵FE垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠CAF．
18．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．
19．解：
（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB＝AE＝EC，
∴∠C＝∠CAE，
∵∠BAE＝40°，
∴∠AED＝70°，
∴∠C＝∠AED＝35°；
（2）∵△ABC周长20cm，AC＝8cm，
∴AB+BE+EC＝12cm，
即2DE+2EC＝12cm，
∴DE+EC＝DC＝6cm．
20．解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴EA＝EB，GA＝GC，
∵△AEG的周长为10，
∴AE+EG+AG＝10，
∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；
（2）∵∠BAC＝104°，
∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，
∵EA＝EB，GA＝GC，
∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，
∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．
21．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝68°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝98°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°；
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；
当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．