南宁外国语学校2012至2013学年度高二(上)数学单元素质测试题——双曲线

高二(上)数学单元素质测试题——双曲线
（考试时间90分钟，满分100分）姓名_______评价_______
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）
1.（11安徽）双曲线的实轴长是（ ）
A.2 B. C. 4 D. 4
2.（08北京）“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为x=”的（　　）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.（12福建）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4.（12湖南）已知双曲线C ：的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（　　）
A． B. C. D.
5.（09全国Ⅱ）双曲线的渐近线与圆相切，则r=（　　）
A. B.2 C.3 D.6
6.（09湖北）已知双曲线的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=（　　）
A.3 B. C. D.
7. (10全国Ⅰ)已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则（　　）
A.2 B.4 C. 6 D. 8
8. (10新课标)已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为，则的方程式为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分. 将你认为正确的答案填写在空格上）
9.（10江西）点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则 ．
10. （12辽宁）已知双曲线，点为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为___________________．
11.（12重庆）设P为直线与双曲线左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率 ．
三、解答题（本大题共4小题，共45分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）
12. (本题满分9分) 已知双曲线C与双曲线有共同的渐近线，且经过点.
（Ｉ）求双曲线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）若直线与双曲线C有唯一公共点，求的值.
13. (本题满分12分，09北京文19)已知双曲线的离心率为，右准线方程为.
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆 上，求m的值
14.（本题满分12分,06安徽22）如图，F为双曲线C：的右焦点.P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点.已知四边形为平行四边形，.
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；
（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程.
15. (本题满分12分，10全国Ⅱ文22，理21) 已知斜率为1的直线与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为.
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与轴相切.
高二(上)数学单元素质测试题——双曲线（参考答案）
一、选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
A
A
C
B
B
二、填空题
75. 2 ． 8. w． 9. ．
三、解答题
12. 解：（Ｉ）因为双曲线C的离心率为，所以双曲线C是等轴双曲线.
设双曲线C的方程为，根据题意得，
故双曲线C的方程为，即.
所以双曲线C的准线方程为
（Ⅱ）由得，
当，即时，分别有一解，从而方程组分别有一解，符合题意；
当，即时，
由得，
故的值为和
13.解：（Ⅰ）由题意，得，解得.∴，
∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）设线段AB的中点为，则………………①
由点差法公式得，即.………………②
由①和②解得
∵点在圆上，
∴，
解之得.
由得，
，不论取何值，都有，
即直线与双曲线C一定有两个交点.
所以m的值为
14. 解：（Ⅰ）∵四边形是平行四边形，∴.
作双曲线的右准线交PM于H，则.
又，
所以.
（Ⅱ）当时，，，，
双曲线为.即
设P，则，，
，
所以直线OP的斜率为.
故直线AB的方程为.
由得：，
设，则
又，由得：
，
解得，从而，
所以为所求的.
15. 解：（Ⅰ）由点差法公式得，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，C的方程为，,.
直线的方程为，由得.
设，则.
,
同理.
由得.
因为＞0，所以.
解得，或（舍去），
故，
连结MA，则由，知，从而，且轴，
因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与轴相切.
所以过A、B、D三点的圆与轴相切.