第五章一次函数的导数及其应用 达标测试卷-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）

第五章一次函数的导数及其应用达标测试卷
(时间：90分钟，满分：100分)
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．曲线y＝2－在点(0，0)处的切线的倾斜角为( )．
A．1 B．－1 C． D．
2．如图，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．若圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )．
A B C D
3．设函数f '(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf '(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )．
A．(－∞，－1)(0，1) B．(－1，0)(1，＋∞)
C．(－∞，－1)(－1，0) D．(0，1)(1，＋∞)
4．已知对于任意的xR，有－ax＋a－1≥0恒成立，则实数a的范围是( )．
A．{1} B．(－1，1) C．(0，1) D．{－1，1}
5．已知f(x)＝，其中e为自然对数的底数，则( )．
A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(e)＞f(3)＞f(2)
C．f(3)＞f(e)＞f(2) D．f(e)＞f(2)＞f(3)
6．已知f(x)＝alnx＋x2，若方程f(x)＝(a＋1)x恰有两个不同的解，则实数a的取值范围是( )．
A．(，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)
二、多项选择题：本题共2小题，每小题4分，共8分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
7．已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是( )．
A．f(x)在R上单调递增
B．f(log5 2)＜＜f(ln π)
C．方程f(x)＝－1有实数解
D．存在实数，使得方程f(x)＝x有4个实数解
8．设f(x)＝xa·cos x，x的最大值为M，则( )．
A．当a＝－1时，M＜ B．当a＝1时，M＞
C．当a＝2时，M＜ D．当a＝3时，M＜
三、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在题后的横线上．
9．设f(x)＝cos(2x＋φ)，若y＝2f(x)＋f '(x)为奇函数，则常数φ的一个取值为_______
_____．
10．函数f(x)＝cos3x＋sin2x－cosx的最大值等于__________．
11．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，且轮船的最大速度为每小时m海里．已知速度为每小时10海里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元．要使轮船每海里的总费用最少，则轮船的速度为__________．
12．已知函数f(x)＝－x3＋9x2－26x＋27，f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)处导数相等，则x1＋x2＝__________．
13．已知函数f(x)＝x3－ax，对于任意的x[－1，1]，有|f(x)|≤恒成立，则a的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．(8分)已知函数f(x)＝aex－2x2．
(1)当a＝1时，求函数f(x)在x＝2处的切线方程；
(2)若不等式f '(x)≥0在R上恒成立，试求a的取值范围．
15．(10分)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx－2的图象在与x轴交点处的切线方程是y＝5x－10．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围，并求函数g(x)的极值点．
16．(10分)已知f(x)＝x2＋lnx．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当x[t，t＋1]时(t为大于0的常数)，求f(x)的最大值；
(3)若当≤x2＜x1≤1时，不等式f(x1)－f(x2)＜(x1－x2)恒成立，求的取值范围．
17．(10分)设函数f(x)＝ex－ax＋3(aR)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值是4，求a的值．
18．(10分)数据显示，公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，mR)，其中x为每天的时刻．若凌晨6时，测得空气质量指数为29.6．
(1)求实数m的值；
(2)求近期每天空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)
参考答案
一、单项选择题．
1．D．
2．B．
3．A．
提示：由导数的运算法则可得，因此当x(0，＋∞)时，＜0，单调递减．又f(－1)＝0，f(x)(xR)是奇函数，所以当x(－∞，－1)或x(0，1)时，f(x)＞0．
4．A．
5．B．
6．A．
二、多项选择题．
7．BCD．
提示：f(x)＝ex·x3，则f '(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，
故函数在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，A错误；
0＜log52＜，＜＜1，ln π＞1，根据单调性知f(log52)＜＜f(ln π)，B正确；
f(0)＝0，f(－3)＝－＜－1，故方程f(x)＝－1有实数解，C正确；
f(x)＝x，易知当x＝0时成立，当x≠0时，＝＝exx2，设g(x)＝exx2，
则g '(x)＝exx(x＋2)，故函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－2，－0)内单调递减，在(－∞，－2)上单调递增，且g(－2)＝．
画出函数图象如图所示，当0＜＜时有3个交点．
综上所述：存在实数，使得方程f(x)＝x有4个实数解，D正确．故选BCD．
8．AC．
提示：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝在区间上单调递减，
所以M＝，故A正确．
对于选项B，当a＝1时，当x时，恒成立，
所以当x时，f(x)＝xcos x＜tan x cos x＝sin x≤，所以M＜，故B错误．
对于选项C，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f '(x)＝xcos x(2－xtan x)＞0，
所以f(x)在区间上单调递增，即M＝，故C正确．
对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f '(x)＝x2 cos x(3－xtan x)＞0，
所以f(x)在区间上单调递增，所以M＝·＞，故D错误．故选AC．
三、填空题．
9．(答案不唯一，满足φ＝π＋(Z)的任意一个值均可)．
10．．
11．v＝
12．6．
13．．
四、解答题．
14．解：(1)因为f(x)＝aex－2x2，所以f '(x)＝aex－4x．
当a＝1时，f(2)＝e2－8，f '(2)＝e2－8，所以f(x)在x＝2处的切线方程为y－(e2－8)＝(e2－8)(x－2)，即y＝(e2－8)(x－1)．
(2)根据题意，若函数f(x)为R上的单调递增函数，则f '(x)＝aex－4x≥0恒成立，即a≥恒成立，则有a≥g(x)max．
令g(x)＝，则g'(x)＝．
当x＞１时，g'(x)＜0；当x＜１时，g'(x)＞0，所以g(x)max＝g(1)＝．
所以a的取值范围是a≥．
15．解：(1)由已知，切点为(2，0)，故有f(2)＝0，即4b＋c＋3＝0． ①
又f '(x)＝3x2＋4bx＋c，由已知f '(2)＝12＋8b＋c＝5得8b＋c＋7＝0． ②
联立①②，解得b＝－1，c＝1．所以函数的解析式为f(x)＝x3－2x2＋x－2．
(2)因为g(x)＝x3－2x2＋x－2＋mx，则g'(x)＝3x2－4x＋1＋m＝0．
当函数有极值时，则≥0，方程3x2－4x＋1＋m＝0有实数解．
由＝4(1－m)≥0，得m≤1．
当m＝1时，g'(x)＝0有实数x＝，在x＝左右两侧均有g'(x)＞0，
此时函数g(x)无极值；
当m＜1时，g'(x)＝0有两个实数根x1＝，x2＝，列表讨论如下：
x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
g'(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 极大值 极小值
所以在m(－∞，1)时，函数g(x)有极值，且g(x)的极大值点是x＝；极小值点是x＝．
16．解：(1)由f(x)＝x2＋lnx，可知x(0，＋∞)，f '(x)＝－x＋＝．
由f '(x)＝＞0，x＞0，得0＜x＜1；由f '(x)＝＜0，x＞0，得x＞1．
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)①当0＜t≤1时，1[t，t＋1]，所以f(x)max＝f(1)＝．
②当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]为减函数，所以f(x)max＝f(t)＝t2＋lnt．
(3)当≤x2＜x1≤1时，不等式f(x1)－f(x2)＜(x1－x2)，即f(x1)－x1＜f(x2)－x2恒成立．令g(x)＝f(x)－x，则g(x1)＜g(x2)，则g(x)在[，1]为是减函数，所以g '(x)＝f '(x)－＝－x＋－≤0，即≥－x恒成立．
所以≥(－x)max＝．
17．解：(1)f '(x)＝ex－a，当a≤0时，f '(x)＞0，f(x)在R上单调递增；
当a＞0时，f '(x)＞0解得x＞lna，由f '(x)＜0解得x＜lna．
综上所述：当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增；
当a＞0时，函数f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，lna)上单调递减．
(2)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，
所以函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝e－a＋3＝4，即a＝e－1＞0，矛盾．
当a＞0时，x＝lna是函数f(x)在R上的极小值点．
①当lna≤1即0＜a＜e时，函数f(x)在[1，2]上单调递增，
则函数f(x)的最小值为f(1)＝e－a＋3＝4，即a＝e－1＞0，符合条件．
②当lna≥2即a≥e2时，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
则函数f(x)的最小值为f(2)＝e2－2a＋3＝4即a＝＜e2，矛盾．
③当1＜lna＜2即e＜lna＜e2时，函数f(x)在[1，lna]上单调递减，函数f(x)在[lna，2]上单调递增，则函数f(x)的最小值为f(lna)＝elna－alna＋3＝4，即a－alna－1＝0．
令h(a)＝a－alna－1(e＜a＜e2)，则h'(a)＝－lna＜0，
所以h(a)在(e，e2)上单调递减，而h(e)＝－1，所以h(a)在(e，e2)上没有零点，
即当e＜a＜e2时，a－alna－1＝0无解．
综上，实数a的值为e－1．
18．解：(1)由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6，解得m＝,12．
(2)由已知函数求导，得f '(x)＝，令f '(x)＝0，得x＝12．
列表，得
x [4，12) 12 (12，22]
f '(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以函数在x＝12时，取极大值，也是最大值，
即每天时段空气质量指数最高时刻为12时．
答：(1)实数m的值为12；(2)空气质量指数最高的时刻为12时．