6.2.2 向量的减法运算
组复习巩固
1．化简()-()的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，故选A.
2.在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，又，故选D.
3.在平行四边形中，，则必有（ ）.
A． B．或
C．是矩形 D．是正方形
【答案】C
【解析】在平行四边形中，因为，
所以，即对角线相等，因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以是矩形.
4.（多选题）四式能化简为的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】，，，故B、C、D都能化简为，只有A项，化简结果不是，故选BCD.
5.若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：①，②，③．其中正确的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【解析】①式的等价式是=-，左边=+，右边=+，不一定相等；
②的等价式是：-=-，左边=右边=，故正确；
③的等价式是：=+，左边=右边=，故正确；
6.边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2 C. D.
【答案】D
【解析】如图延长AB到D.使AB＝BD.∴＝
∴|－|＝|－|＝||
因△ABC为边长为1的正三角形．
∴∠ABC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴△ABD为直角三角形，
∴||＝ ＝，∴|－|＝.故选D.
7.已知＋＝，且＝a，＝b，则＝( )
A.(a－b) B.(a＋b) C.(b－a) D.a－b
【答案】A
【解析】根据条件∴＝(a－b)．
8．（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．，则⊥
D．若与单位向量，则| |=||
【答案】AB
【解析】 长度为1的所有向量都称之为单位向量，方向可能不同，故A错误;
因为零向量与任何向量都共线，当，与可以为任意向量，故B错误;
，设与起点相同，利用平行四边形法则做出，如图所示，根据向量加法和减法的几何意义可知此平行四边形对角线相等，故为矩形，所以邻边垂直，即⊥
若与单位向量，则， |=||
9.梯形中，，与交于点，则__________．
【答案】
【解析】．
10.设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
【答案】0
【解析】将ai顺时针旋转30°后得ai′，则a1′－a2′＋a3′＝0.又∵bi与ai′同向，且|bi|＝2|ai|，
∴b1－b2＋b3＝0.
组综合运用
1.(2021山东济宁高三上期末,)已知A,B,C为不共线的三点,则“”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】必要性:如图,在△ABC中,令=a,=b,=c,满足a,b,c互不共线,且|a|,|b|,|c|为三角形的三边长,但a+b+c=++=+≠0,∴必要性不成立
充分性:互不共线且,则|a|,|b|,|c|可以作为一个三角形的三边边长,即充分性成立.故选A.
2.若,则的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)
【答案】C
【解析】=-,
当,同向共线时,||=||-||=3;
当,反向共线时,||=||+||=13;
当,不共线时,由|||-|||<|-|<||+||,可得3<||<13.
综上,||的取值范围是[3,13].
3.如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点.求证:
【解析】证明:由题意知,=+,=+,=+.连接EF.
由平面几何知识可知,=,=.
∴++=(+)+(+)+(+)=(+++)+(+)
=++=++=0.
组拓广探索
1.(2021保定期末)已知△ABC外接圆半径为1，圆心为O，若2＋＋＝0，则△ABC面积的最大值为( )
A．2 B. C. D．1
【答案】D
【解析】根据向量的减法运算，化简2＋＋＝0可得2＋－＋－＝0，则＋＝0，即O为|BC|的中点．又∵O为△ABC外接圆圆心，该外接圆的半径为1. ∴|BC|＝2，由圆的性质可知∠BAC＝90°，设AB＝a，AC＝b，则a2＋b2＝4，由不等式性质可知4＝a2＋b2≥2ab，则ab≤2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴S△ABC＝ab≤×2＝1，即△ABC面积的最大值为1，故选D.
2.三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
【解析】由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b.如图，作平行四边形APCD为菱形．
＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.
同理∠APB＝∠BPC＝120°.又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形．6.2.2 向量的减法运算
组复习巩固
1．化简()-()的结果是( )
A． B． C． D．
2.在平行四边形中，等于（ ）
A． B． C． D．
3.在平行四边形中，，则必有（ ）.
A． B．或
C．是矩形 D．是正方形
4.（多选题）四式能化简为的是 （ ）
A． B．
C． D．
5.若、、、是平面内任意四点，给出下列式子：①，②，③．其中正确的有（ ）．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6.边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2 C. D.
7.已知＋＝，且＝a，＝b，则＝( )
A.(a－b) B.(a＋b) C.(b－a) D.a－b
8．（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量
C．，则⊥
D．若与单位向量，则| |=||
9.梯形中，，与交于点，则__________．
10.设平面向量a1，a2，a3满足a1－a2＋a3＝0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，则b1－b2＋b3＝________.
组综合运用
1.(2021山东济宁高三上期末,)已知A,B,C为不共线的三点,则“”是“△ABC为直角三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若,则的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13)
3.如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点.求证:
组拓广探索
1.(2021保定期末)已知△ABC外接圆半径为1，圆心为O，若2＋＋＝0，则△ABC面积的最大值为( )
A．2 B. C. D．1
2.三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设＝a，＝b，＝c，判断△ABC的形状．
