6.2.3向量的数乘运算
组复习巩固
1.如图， ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为( )
A.a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
【答案】D
【解析】＝＝(b－a)＝－a＋b，故选D.
2.若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是( )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
【答案】A
【解析】∵＝，∴∥，且||＝||，
∴四边形ABCD为以AD为上底，BC为下底的梯形．
又||＝||，∴梯形ABCD的两腰相等．因此四边形ABCD是等腰梯形．
3.（厦门双十中学2021高一期中）在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
解：.
故选.
4.(多选题)给出下列四个命题，正确的有( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
【答案】BC
【解析】A不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，
则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.
C正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，
∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，故选BC.
5．(2021·赣州模拟)在△ABC中，D为BC的中点，＝，则＝( )
A.－ B.－
C.－ D.－
【答案】D
【解析】根据题意，如图，
＝＋＝－＋，又＝(＋)，
∴＝－＋×(＋)＝－.故选D.
6.已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为( )
A．5 B．3 C. D．2
【答案】C
【解析】∵向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，
∴存在实数t∈R，使得m＝tn，即4a＋5b＝t(2a＋λb)，
又向量a，b互相垂直，∴a，b不共线，∴解得
【小结】两个向量共线是指两个向量的方向相同或相反，因此共线包含两种情况：同向共线或反向共线．一般地，若a＝λb(a≠0)，则a与b共线：
(1)当λ＞0时，a与b同向；
(2)当λ＜0时，a与b反向．
7．(2021·菏泽一模)已知a，b是两个不共线的向量，＝3a－2b，＝ka＋b，若A，B，C三点共线，则k＝________.
【答案】－
【解析】∵A，B，C三点共线，∴向量与共线，
即存在实数λ，使＝λ，即3a－2b＝kλa＋λb.
∴解得λ＝－2，k＝－.
8.给出下列说法：
①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；
②若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误说法的序号是________．
【答案】④
【解析】根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误．
9．(2021·抚州七校联考)在△OAB中，点C满足＝－4，＝x＋y，则y－x＝________.
【答案】
【解析】根据向量加法的三角形法则得到，＝＋＝＋＝＋(－)，
化简得到＝－＋，∴x＝－，y＝，则y－x＝＋＝.
10.已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
【解析】(1)∵2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，∴k＝－3.
(2)由题得＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，
又A，B，C三点共线，∴＝λ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，
∴解得
组综合运用
1.设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．
【答案】4
【解析】如图所示，∵D为AB的中点，则＝(＋)，
又＋＋2＝0，∴＝－，∴O为CD的中点．
又∵D为AB的中点，∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC，则＝4.
2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
【答案】C
【解析】设F为AB的中点，连接DF，∵AB∥CD，AB＝2CD，
∴BF∥CD，且BF＝CD，
∴四边形BFDC为平行四边形，∴＝，
∴＝＋＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋＝＋
3．(一题多解)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.
【解析】解法一 由D，O，C三点共线，可设＝k1＝k1(－
＝k1＝－k1a＋k1b(k1为实数)，
同理，可设＝k2＝k2(－)＝k2＝－k2a＋k2b(k2为实数)，①
又＝＋＝－a＋＝－(1＋k1)a＋k1b，②
∴由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，即(1＋k1－2k2)a＋b＝0.
又a，b不共线，所以解得
∴＝－a＋b. ∴＝＋＝a＋＝(a＋b)．
解法二 延长AO交BC于点E，O为△ABC的重心，则E为BC的中点，
∴＝＝×(＋)＝(a＋b)．
组拓广探索（三点共线定理的应用）
1.已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设E为BC的中点，则(＋)＝.由题意得＝，
∴＝＝(＋)＝＋，
∵B，O，D三点共线，∴＋＝1，解得t＝.
【小结】三点共线问题可转化用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为＝λ，再利用对应系数相等列出方程组，解出系数.
2.(2021·淮北模拟)如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：＝，点M，N在过点P的直线上，若＝λ，＝μ，(λ，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( )
A．2 B. C．3 D.
【答案】B
【解析】＝＋＝＋，∵M，N，P三点共线，∴＋＝1，
因此λ＋2μ＝(λ＋2μ)＝＋＋≥＋2＝
3.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
【答案】2
【解析】＝(＋)＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2.
4.经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，
m，n∈R，求＋的值．
【解析】设＝a，＝b，则＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，
＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b.
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得＝λ，
即nb－ma＝λa＋λb，则消去λ，得＋＝3.6.2.3向量的数乘运算
组复习巩固
1.如图， ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为( )
A.a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
2.若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是( )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
3.（厦门双十中学2021高一期中）在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
4.(多选题)给出下列四个命题，正确的有( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若a＝b，b＝c，则a＝c
D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
5．(2021·赣州模拟)在△ABC中，D为BC的中点，＝，则＝( )
A.－ B.－
C.－ D.－
6.已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为( )
A．5 B．3 C. D．2
7．(2021·菏泽一模)已知a，b是两个不共线的向量，＝3a－2b，＝ka＋b，若A，B，C三点共线，则k＝________.
8.给出下列说法：
①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；
②若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误说法的序号是________．
9．(2021·抚州七校联考)在△OAB中，点C满足＝－4，＝x＋y，则y－x＝________.
10.已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
组综合运用
1.设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且＋＋2＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．
2.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
3．(一题多解)如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.
组拓广探索（三点共线定理的应用）
1.已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为( )
A. B. C. D.
2.(2021·淮北模拟)如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足：＝，点M，N在过点P的直线上，若＝λ，＝μ，(λ，μ>0)，则λ＋2μ的最小值为( )
A．2 B. C．3 D.
3.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
4.经过△OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值．
