6.2.4向量的数量积
组复习巩固
1.（多选）下列说法正确的是( )
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·b＝0，则a⊥b
【答案】AB
【解析】对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.
2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3 C．－3 D．3
【答案】B
【解析】由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.
3.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【解析】a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
4.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是( )
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
【答案】C
【解析】由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，
因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立．
对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；
选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直．
5．(多选题)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
【答案】ABD
【解析】对于A，若|a＋b|＝|a|－|b|，则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，得a·b＝－|a||b|≠0，a与b不垂直，∴A不正确；
对于B，由A解析可知，|a＋b|≠|a|－|b|，∴B不正确；
对于C，若|a＋b|＝|a|－|b|，则|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，得a·b＝－|a||b|，则cos θ＝－1，则a与b反向，因此存在实数λ，使得b＝λa，∴C正确．
对于D，若存在实数λ，使得b＝λa，则a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立，∴D不正确，故选A，B，D.
6．（厦门双十中学2021高一期中）已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】
7.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为________．
【答案】 N
【解析】根据物理中力的平衡原理有F3＋F1＋F2＝0，
∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝12＋()2＋2×1××cos 45°＝5.
∴|F3|＝ N.
8.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
【答案】－1
【解析】如图，由AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝∠EAB＝30°.又AB＝2，
∴AE＝BE＝2.∵＝－，
∴·＝·(－)＝·－·
＝2×5×cos 60°－2×2×cos 30°＝－1.
9.(2021·潍坊开学考)如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若＋＝，且点D在圆C上，则·＝________.
【答案】
【解析】∵＋＝，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AC＝CD＝CB＝r，∴∠CAB＝60°，∴·＝r×r×cos 60°＝.
组综合运用
1.(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－ C. D.
【答案】D
【解析】∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19.
|a＋b|＝＝＝＝7，
因此cos〈a，a＋b〉＝＝＝.
【小结】若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ＝(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．
2.(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
【答案】
【解析】由题意可得a·b＝1×1×cos 45°＝，
由向量垂直的充分必要条件可得：(ka－b)·a＝0，即ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.
【小结】解决向量垂直问题，一般利用向量垂直的充要条件a·b＝0求解．
3.(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
【答案】
【解析】∵a，b为单位向量，∴|a|＝|b|＝1，
∴|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1，
∴|a－b|＝＝.
【小结】若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
4.已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
【解析】(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
组拓广探索
1.（2022届汕头市期末质检）如图，平行四边形中，，为的中点，与交于，则
A．在方向上的投影为0. B．
C．. D．
【答案】AB
【解析】平行四边形中，，
所以,所以，为的中点，与交于，所以在方向上的投影为0，所以正确；
，，．所以正确；
，所以不正确；
2.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
【解析】(1)由已知可得＝，＝－，
易得OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－(＋)＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为6.2.4向量的数量积
组复习巩固
1.（多选）下列说法正确的是( )
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·b＝0，则a⊥b
2．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3 C．－3 D．3
3.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
4.设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是( )
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
5．(多选题)设a，b是两个非零向量，则下列命题为假命题的是( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
6．（厦门双十中学2021高一期中）已知中，，，，为所在平面内一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7.平面上三个力F1，F2，F3作用于一点且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，则F3的大小为________．
8.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________.
9.(2021·潍坊开学考)如图，在半径为r的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若＋＝，且点D在圆C上，则·＝________.
组综合运用
1.(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－ C. D.
2.(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________.
3.(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
4.已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
组拓广探索
1.（2022届汕头市期末质检）如图，平行四边形中，，为的中点，与交于，则
A．在方向上的投影为0. B．
C．. D．
2.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
