6.3.1 平面向量基本定理
组复习巩固
1．（厦门双十中学2021高一下期中）已知，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】
【解析】因为，所以与共线，所以不能作为基底，故选.
2.若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
【答案】B
【解析】由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.故选B.
3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝( )
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
【答案】A
【解析】∵＝2，∴－＝2(－)，∴－c＝2(b－)
∴＝c＋b.
4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1 C．3,0 D．3,4
【答案】D
【解析】∵向量e1与e2不共线，∴解得
5.如图所示，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设＝x＋y，则( )
A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1
【答案】B
【解析】过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略)．由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt△ODC中，可得OD＝2CD＝2，则＝＋＝－2＋.故选B.
6.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.
【答案】b＋a
【解析】＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
【答案】0
【解析】∵e1，e2不共线，∴解得∴x＋y＝0.
8.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.
【答案】a＋b
【解析】＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b＋b－a＝a＋b.
9.已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
【解析】(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
∵＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
∴(2－λ)a－b＝x.
∵a与b不共线，由平面向量基本定理，
得解得故λ＝.
【点睛】应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
(3)强化共线向量定理的应用
组综合运用
1.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵E为DC的中点，∴＝(＋)，
∴＝2－，即＝－＋2，
∴λ＝－1，μ＝2，∴λ－μ＝－3.故选A.
2．(2021·枣庄训练)如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为( )
A. B．2 C. D.
【分析】根据题意求出x，y满足的等式，然后利用基本不等式中“1”的代换，求解最小值．
【答案】D
【解析】如图可知x，y均为正，设＝m＋n，AE＝λ＋μ，
∵B，D，E，C共线， ∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，
∵＋＝x＋y＝(m＋λ)＋(n＋μ)，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，∴＋＝(x＋y)＝≥＝，则＋的最小值为，故选D.
【点睛】平面向量与基本不等式的综合题目，考察基本不等式中“1”的代换，求解代数式最值问题．
3.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分， 则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
【答案】B
【解析】如图，过点P作PA∥OP2交直线OP1于点A，过点P作PB∥OP1交直线OP2于点B，则＝＋，又＝a＋b，所以＝a，＝b.又与方向相同，与方向相反，所以a>0，b<0.故选B.
4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为________．
【答案】－
【解析】因为＝λ＝－λ＝－(＋)，所以＝－. 又E，F，K三点共线，所以－＝1，解得λ＝－.
5.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
【答案】a－b
【解析】解析：设e1＋e2＝m a＋n b(m，n∈R)，∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.∵e1与e2不共线，
∴解得∴e1＋e2＝a－b.
组拓广探索
1.已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．
【解析】(1)根据角平分线定理：＝＝2，∴＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴2＝2＋·＋2＝－＋＝，∴AD＝.
(2)∵＝x，＝y，∴＝＋＝＋，
∵E，D，F三点共线，∴＋＝1，∴＋＝3.
2.如图，在△ABC中，F是BC中点，直线l分别交AB，AF，AC于点D，G，E.如果＝λ，＝μ，λ，μ∈R.
求证：G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.
【解析】证明：充分性：若G为△ABC重心，则＝＝×(＋)＝，
又因点D，G，E共线，所以＝t＋(1－t)＝，
因，不共线，所以＝t且＝1－t，两式相加即得＋＝3.
必要性：若＋＝3，则＝x＝(＋)＝＝t＋(1－t)，
所以＝t且＝1－t，相加即得x＝，即G为△ABC重心．
故G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.6.3.1 平面向量基本定理
组复习巩固
1．（厦门双十中学2021高一下期中）已知，是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是（ ）
A．B． C．D．
2.若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直 D．a与b中至少一个为0
3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝( )
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
4．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为( )
A．0,0 B．1,1 C．3,0 D．3,4
5.如图所示，||＝||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设＝x＋y，则( )
A．x＝－2，y＝－1 B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1 D．x＝2，y＝1
6.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量＝________.
7．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x＋y)e1＋(3x＋2y)e2＝0，则x＋y＝________.
8.如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝________.
9.已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
组综合运用
1.如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．3
2．(2021·枣庄训练)如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋＝x＋y，则＋的最小值为( )
A. B．2 C. D.
3.如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将平面分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)四个部分，若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分， 则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,7＝5，＝4，EF交AC于点K，＝λ，则实数λ的值为________．
5.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
组拓广探索
1.已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．
(1)求AD的长度；
(2)过点D作直线交AB，AC延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．
2.如图，在△ABC中，F是BC中点，直线l分别交AB，AF，AC于点D，G，E.如果＝λ，＝μ，λ，μ∈R.
求证：G为△ABC重心的充要条件是＋＝3.
