6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
组复习巩固
1．若O(0,0)，A(1,2)，且＝2，则A′点坐标为( )
A．(1,4) B．(2,2)
C．(2,4) D．(4,2)
【答案】C
【解析】设A′(x，y)，＝(x，y)，＝(1,2)，∴(x，y)＝(2,4)．故选C.
2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等
C．方向相同 D．方向相反
【答案】D
【解析】∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
【答案】A
【解析】b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A.
4．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
【答案】D
【解析】法一：∵a＋2b＝(，－3)，
∴×－(－1)×(－3)＝0.∴(－1，)与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(，－3)＝－(－1，)，
∴向量a＋2b与(－1，)是共线向量．故选D.
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝( )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
【答案】A
【解析】在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3，5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)．故选A.
6．(2021·西安一模)已知a＝，b＝(k,1)．若a∥b，则k＝________.
【答案】2
【解析】∵a＝，b＝(k,1)，a∥b，
∴2sin π－kcos π＝0，即＝0，∴k＝2.
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
【答案】(－4,9)
【解析】∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴＝(2,3)，＝(－3,3)．∴＋2＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
8.已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为_______．
【答案】(8，－15)
【解析】设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即解得
∴点P的坐标为(8，－15)．
9.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，
＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
∴解得
(3)设O(0,0)，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．∴λ＋μ＝6.
10．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
【解析】∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a＝(－7,10)＝.
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴解得
∴A点坐标为(8，－10)．
组综合运用
1.(2021·北京东城区一模)已知向量a＝(m,1)，b＝(1，－2)，c＝(2,3)，若a－b与c共线，则实数m＝________.
【分析】求出向量a－b的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于m的等式，进而可求得m的值．
【答案】3
【解析】∵向量a＝(m,1)，b＝(1，－2)，c＝(2,3)，∴a－b＝(m－1,3)，
∵a－b与c共线，∴＝，解得实数m＝3.
【点睛】本题考查利用向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题．
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
【答案】C
【解析】∵与是相反向量，∴＝－. 又＝(1,1)，∴＝(－1，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.
3.(2021·北京西城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1,1)，b＝＝(6,2)，c＝＝(－1，－3)．
∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，
即
解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.
4.（多选）已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
【答案】BCD
【解析】由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．故选B、C、D.
5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.
【答案】－
【解析】由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)，
所以解得所以λ＋x＝－.
6.已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
【答案】(3,3)
【解析】解法一 由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，∴＝＝(3,3)，∴点P的坐标为(3,3)．
解法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，
∵＝(4,4)，且与共线，∴＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
∴(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
∴点P的坐标为(3,3)．
7.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
【解析】(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由＝(3，－4)，＝(6，－3)，
＝(5－x，－3－y)得＝(3,1)，＝(2－x,1－y)，所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)由＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)，得＝(－x－1，－y)，
由＝2得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以解得
8.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.
若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
【解析】以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(1,0)，B，C(3，)．
由＝λ＋μ，
得解得
组拓广探索
1..若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
【答案】D
【解析】∵a在基底p，q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴即
∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．
2.已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，为一组基底来表示＋＋.
【解析】∵＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，
＝(－4,2)，＝(－5,1)，
∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12，8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得
＋＋＝m＋n，∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，
即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，
∴解得
∴＋＋＝32－22.6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
组复习巩固
1．若O(0,0)，A(1,2)，且＝2，则A′点坐标为( )
A．(1,4) B．(2,2)
C．(2,4) D．(4,2)
2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等
C．方向相同 D．方向相反
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
4．若向量a＝(，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(，－1) B．(－1，－)
C．(－，－1) D．(－1，)
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝( )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
6．(2021·西安一模)已知a＝，b＝(k,1)．若a∥b，则k＝________.
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则＋2＝________.
8.已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为_______．
9.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，
＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
10．已知a＝，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
组综合运用
1.(2021·北京东城区一模)已知向量a＝(m,1)，b＝(1，－2)，c＝(2,3)，若a－b与c共线，则实数m＝________.
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
3.(2021·北京西城区模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4.（多选）已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.
6.已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
7.已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；
(2)若＝2，求x，y的值．
8.如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.
若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
组拓广探索
1..若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0) B．(0，－2)
C．(－2,0) D．(0,2)
2.已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，为一组基底来表示＋＋.
