6.3.5平面向量数量积的坐标表示
组复习巩固
1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57
C．63 D．83
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
3．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为( )
A．(3,2)
B.
C.或
D．以上都不对
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B.
C．2 D．4
5.向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(k, 2)，若(a－b)⊥c，则k＝( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
6．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
7.已知向量a＝(0,2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x＝
8.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__________；·的最大值为__________．
9．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
(1)试求向量2＋的模；
(2)若向量与的夹角为θ，求cos θ.
组综合运用
1．设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( )
A．－4 B．4
C. D．－
2．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3．(2021·宁德质检)已知向量a＝(0,1)，b＝(1，)，则a在b上的投影为( )
A. B.
C. D.
4.若＝(1，m)，＝(－3,1)，若·＝2，则m＝( )
A．3 B．－
C．－7 D.
5.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
6.（广东执信中学2021-2022上学期高二期中考试，13）平面向量与的夹角为，，，则_______．
7．(2021·九江十校联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，(c－a)∥b，(a＋b)⊥c，则c与a夹角的余弦值为________．
8.（深圳实验学校2021高一月考）设向量，，
（1）若向量与向量平行，求的值；
（2）若向量与向量互相垂直，求的值.
组拓广探索
1.（东莞市2021年高一期末）如图，斜坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对在斜坐标系xOy中完成下列问题：
(1)若向量的坐标为，计算的大小;
(2)若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①若，则命题②若，则6.3.5平面向量数量积的坐标表示
组复习巩固
1．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于( )
A．23 B．57
C．63 D．83
【答案】D
【解析】3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D.
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
【答案】B
【解析】cos A＝＝＝0，则A＝.故选B.
3．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为( )
A．(3,2)
B.
C.或
D．以上都不对
【答案】C
【解析】设与a垂直的向量为单位向量(x，y)，
∵(x，y)是单位向量，∴＝1，即x2＋y2＝1，①
而且(x，y)表示的向量垂直于a.∴2x－3y＝0，②
由①②得或故选C.
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B.
C．2 D．4
【答案】C
【解析】由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0.
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.所以，|a|＝ ＝＝2.故选C.
5.向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(k, 2)，若(a－b)⊥c，则k＝( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
【答案】B
【分析】运用向量的坐标运算公式和向量垂直的坐标表示，可直接求出k的值．
【解析】(a－b)·c＝(1,2)·(k,2)＝k＋4＝0 k＝－4，故选B.
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示，考查了运算能力．
6．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
【答案】2
【解析】因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2.
7.已知向量a＝(0,2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x＝
【答案】2
【解析】由题意cos＝＝＝，
∴x>0，且2x＝，解得x＝2.
【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．
8.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为__________；·的最大值为__________．
【答案】1 1
【解析】以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1)，
＝(0，－1)，∴·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.
∵＝(1,0)，∴·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，
故·的最大值为1.
【点睛】向量数量积的运算问题可从三个方面考虑：
(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解；
(2)把两个向量各自用已知的向量表示，再按照法则计算；
(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再按照坐标法计算．
9．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
【解析】(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，
所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．
所以cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，
所以3k－3＋6k＋3＝0. 所以k＝0.
10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
(1)试求向量2＋的模；
(2)若向量与的夹角为θ，求cos θ.
【解析】(1)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
所以＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
所以2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．
所以|2＋|＝ ＝5.
(2)由(1)知＝(－1,1)，＝(1,5)，
所以cos θ＝＝.
组综合运用
1．设a＝(5，－7)，b＝(－6，t)，若a·b＝－2，则t的值为( )
A．－4 B．4
C. D．－
【答案】A
【解析】由a·b＝－2，得5×(－6)＋(－7)t＝－2，
即－7t＝28，∴t＝－4，故选A.
2．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞，且x≠－，∴x＞.
3．(2021·宁德质检)已知向量a＝(0,1)，b＝(1，)，则a在b上的投影为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】由向量的数量积公式得出a与b的夹角的余弦值，再由|a|cos θ得出a在b上的
投影．
【解析】设a与b的夹角为θ，|a|＝＝1，|b|＝＝2，
a·b＝1×0＋×1＝，
∴cos θ＝＝，
则a在b上的投影为|a|cos θ＝1×＝.
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的几何意义，属于中档题．
4.若＝(1，m)，＝(－3,1)，若·＝2，则m＝( )
A．3 B．－
C．－7 D.
【答案】A
【分析】先由题意，得到·＝0，根据向量数量积的坐标表示，列出方程组求解，即可得出结果．
【解析】∵·＝·(＋)＝2＋·＝2，可得·＝0，
又＝(1，m)，＝(－3,1)，∴1×(－3)＋m×1＝0，解得m＝3.故选A.
【点睛】本题主要考查由向量数量积求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型．
5.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
【答案】B
【解析】以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原
点建立坐标，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，
∴＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)．
∴＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋2－≥－，当点P的坐标为时，·(＋)取得最小值为－，故选B.
6.（广东执信中学2021-2022上学期高二期中考试，13）平面向量与的夹角为，，，则_______．
【答案】
【解析】因为平面向量与的夹角为，所以，由可得，所以，
所以
7．(2021·九江十校联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，(c－a)∥b，(a＋b)⊥c，则c与a夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】设c＝(x，y)，则c－a＝(x－1，y－2)．
∵(c－a)∥b，b＝(1，－1)，
∴y－2＝－(x－1)，即x＋y＝3.
又∵a＋b＝(2,1)，(a＋b)⊥c，
∴(a＋b)·c＝2x＋y＝0，
由解得
∴c＝(－3,6)．
设c与a的夹角为θ，则cos θ＝＝，
即c与a夹角的余弦值为.
8.（深圳实验学校2021高一月考）设向量，，
（1）若向量与向量平行，求的值；
（2）若向量与向量互相垂直，求的值.
【解析】（1）,
向量与向量平行,
（2）因为 ， ，
因为与互相垂直，所以 ，
即，
，解得或.
组拓广探索
1.（东莞市2021年高一期末）如图，斜坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对在斜坐标系xOy中完成下列问题：
(1)若向量的坐标为，计算的大小;
(2)若向量的坐标为，向量的坐标为，判断下列两个命题的真假，并说明理由.
命题①若，则命题②若，则
【解析】（1）由题知，
故
（2）由题知，
命题①是真命题.
a. 当时，即，显然
b. 当时，即至少一个不为，不妨设,
若，则存在，使得，故
即，
因为不共线，所以，
由，带入得，即.
综上所述，命题“若，则”是真命题
命题②是假命题.
解法1：若，
则
，
当时，结论不成立，
所以，命题“若，则”是假命题.
解法2：令的坐标为，的坐标为，则，
因为，所以，
此时
所以，命题“若，则”是假命题.
