2021-2022学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明单元综合测试题（word解析版）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列条件：（1）∠A+∠B＝∠C，（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3，（3）∠A＝90°﹣∠B，（4）∠A＝∠B＝∠C中，其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（　　）
①∠CFE＝∠CEF；②∠FCB＝∠FBC，③∠A＝∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
4．在下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．一个锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．一条斜边和另外一条直角边对应相等
5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC＝124°，则∠DAE的度数为（　　）
A．68° B．62° C．66° D．56°
6．如图所示，线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PB与PC的关系是（　　）
A．PB＞PC B．PB＝PC C．PB＜PC D．PB＝2PC
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
8．等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为（　　）
A．16 B．27 C．16或27 D．21或27
9．点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，则AD是（　　）
A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线
10．若（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A．14 B．16 C．13 D．14或16
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B＝　 　．
12．如图，在△ABC中，∠A＝70°，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC＝　 　°．
13．如图，DE是△ABC的BC边上的中垂线，AC＝BC，∠A＝25°，则∠AEC＝　 　．
14．如图，AB∥CD，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，若EF＝13，PE＝12，PF＝5．点P到EF的距离为　 　．
15．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为　 　．
16．如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE．若BC＝7，AC＝4，则△ACE的周长为　 　．
17．在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，AB＝6cm，则BC＝　 　cm．
18．如果直角三角形两条直角边分别是9，12，那么斜边上中线是　 　．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为　 　．
20．如图，在三角形中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，三角形BCE的周长为50，则BC＝　 　．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，DE⊥AC．
（1）求证：AE＝EC；
（2）若DE＝2，求BC的长．
22．如图，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠BCD＝114°，求∠BAD的度数．
23．已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点．
（1）求证：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．
24．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
25．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．
（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；
（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；
（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
26．已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝＝72°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝∠EDB＝∠A，
∴AD＝BD，EB＝ED，
即△ABD和△EBD是等腰三角形，
∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即△BCD是等腰三角形，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
即△AED是等腰三角形．
∴图中共有5个等腰三角形．
故选：C．
2．解：A是，因为根据三角形内角和定理可求出∠C＝90°，所以是直角三角形；
B是，因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30°，60°，90°，所以是直角三角形；
C是，因为由题意得∠C＝90°，所以是直角三角形；
D是，因为根据三角形内角和定理可求出∠C＝90°，所以是直角三角形．
故选：D．
3．解：如图所示，
①∵BE平分∠ABC，
∴∠5＝∠6，
∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
∵∠1＝∠A+∠6，∠2＝∠4+∠5，
∠1＝∠2，
故∠CFE＝∠CEF，所以①正确；
②若∠FCB＝∠FBC，即∠4＝∠5，
由（1）可知：∠A＝∠4，
∴∠A＝∠5＝∠6，
∵∠A+∠5+∠6＝90°，
∴∠A＝30°，
即只有当∠A＝30°时，∠FCB＝∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；
③∵∠3+∠4＝90°，∠A+∠3＝90°，
∴∠A＝∠4，
即∠A＝∠DCB，故③正确；
④∵∠1＝∠2，∠1+∠5＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．
故选：A．
4．解：A、一个锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、两锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、一条边对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一条斜边和另外一条直角边对应相等能判定两直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
5．解：∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝56°，
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
∵AC的中垂线交BC于E，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝124°﹣56°＝68°，
故选：A．
6．解：连接AP，
∵线段AB，AC的垂直平分线相交于点P，
∴AP＝PB，AP＝PC，
∴PB＝PC，
故选：B．
7．解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝5，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45，
故选：C．
8．解：①11是腰长时，
三角形的三边分别为11、11、5，能组成三角形，
周长＝11+11+5＝27；
②11是底边时，
三角形的三边分别为11、5、5，
∵5+5＝10＜11，
∴不能组成三角形，
综上所述，三角形的周长为27．
故选：B．
9．解：∵点D在△ABC的边BC上，△ABD和△ACD的面积相等，
∴AD是△ABC的中线，
故选：A．
10．解：∵（a﹣4）2+|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
∴a＝4，b＝6，
①当腰是4，底边是3时，三边长是4，4，6，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是4+4+6＝14；
②当腰是6，底边是4时，三边长是6，6，4，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是6+6+4＝16．
故选：D．
填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED．
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠ADC＝∠ADE（全等三角形的对应角相等）．
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．
∴∠B+∠EDB＝90°，
∴∠B＝30°．
12．解：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝110°＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
故答案为：125．
13．解：∵AC＝BC，∠A＝25°，
∴∠B＝25°，
∵DE是△ABC的BC边上的中垂线，
∴∠BCE＝25°，
∴∠AEC＝25°+25°＝50°．
故答案为：50°．
14．解：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，
∴∠1＝∠BEF，∠2＝∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，即∠P＝90°，
∴△PEF为直角三角形，
∵EF＝13，PE＝12，PF＝5，
设P到EF的距离为d，根据面积法得：PE PF＝EF d，
∴d＝＝，故答案为：．
15．解：作PE⊥OA于E，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠AOP＝∠BOP＝15°，
∵PC∥OB，
∴∠POD＝∠OPC，
∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°，
∴PE＝PC＝4，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝4，
故答案为：4．
16．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∴△ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝11，
故答案为：11．
17．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠C＝90°，
∵AB＝6cm，
∴BC＝AB＝3cm，
故答案为：3．
18．解：∵直角三角形两条直角边分别是9，12，
∴斜边长为：＝15，
∴×15＝7.5，
故答案为：7.5．
19．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE＝CD，
∵BC＝5cm，BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝2cm，
∴DE＝2cm．
∴点D到AB的距离为2cm．
故答案为：2cm．
20．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴AE+EC＝BE+EC＝AC＝27，
∵三角形BCE的周长为50，
∴BE+EC+BC＝50，
∴BC＝23．
故答案为：23．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．（1）证明：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴DA＝DC，
∵DE⊥AC，
∴AE＝EC；
（2）∵∠C＝30°，DE⊥AC，
∴DC＝2DE＝4，
∵AB⊥AD，∠B＝30°，
∴BD＝2DC＝8，
∴BC＝12．
22．解：（1）连接AC，
∵点E是边BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC（垂直平分线的性质）
同理AD＝AC，
∴AB＝AD；
（2）∵AB＝AC，AD＝AC，
∴∠B＝∠1，∠D＝∠2，
∴∠B+∠D＝∠1+∠2，
即∠B+∠D＝∠BCD，
∵∠BAD+（∠B+∠D）+∠BCD＝（4﹣2） 180°＝360°，∠BCD＝114°，
∴∠BAD＝360°﹣114°﹣114°＝132°．
23．证明：（1）∵EF∥BC，交AB、AC于E、F．
∴∠BOE＝∠CBO，∠COF＝∠BCO，
∵∠B的平分线交EF于O点，
∴∠EBO＝∠CBO，
∴∠EBO＝∠BOE，
∴EO＝BE．
（2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF，
∴OE+OF＝BE+CF，
∵EO＝BE，
∴OF＝CF，
∴∠COF＝∠FCO，
∵∠COF＝∠BCO，
∴∠BCO＝∠FCO，
∴OC平分∠ACB．
24．证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
25．解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°，
∵∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；
（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，
∴∠E＝75°﹣18°＝57°，
∴∠ADE＝∠AED＝57°，
∴∠ADC＝39°，
∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，
∴∠BAD＝36°；
（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β
①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β；
②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，
∴，
（2）﹣（1）得α＝β﹣α，
∴2α＝β；
③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，
∴，
（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，
∴2α＝β．
综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．
26．解：（1）结论：BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD．
理由：∵BM、DM分别是Rt△DEC、Rt△EBC的斜边上的中线，
∴BM＝DM＝CE；
又∵BM＝MC，∴∠MCB＝∠MBC，即∠BME＝2∠BCM；
同理可得∠DME＝2∠DCM；
∴∠BME+∠DME＝2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD＝2∠BCD．
（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD
证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM＝EC＝MC，
又点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴DM＝EC＝MC，
∴BM＝DM；
∵BM＝MC，DM＝MC，
∴∠CBM＝∠BCM，∠DCM＝∠CDM，
∴∠BMD＝∠EMB﹣∠EMD＝2∠BCM﹣2∠DCM
＝2（∠BCM﹣∠DCM）＝2∠BCD，
即∠BMD＝2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM＝EC＝ME；
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM＝EC＝MC，
∴BM＝DM；
∵BM＝ME，DM＝MC，
∴∠BEC＝∠EBM，∠MCD＝∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD＝∠BAC＝90°﹣∠BCD，
∴∠BMD＝180°﹣（∠BMC+∠DME），
＝180°﹣2（∠BEM+∠MCD）＝180°﹣2（90°﹣∠BCD）＝2∠BCD，
即∠BMD＝2∠BCD．
（3）所画图形如图所示：
图1中有BM＝DM，∠BMD＝2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM＝DM；
图3中有BM＝DM，∠BMD＝360°﹣2∠BCD．
解法同（2）．