6.4.1-6.4.2平面向量的应用
组复习巩固
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
【答案】B
【解析】由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量．故选B.
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
【答案】D
【解析】由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．故选D.
3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
【答案】A
【解析】s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，∴s＞|a|.故选A.
4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．40 N
【答案】B
【解析】如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝|F1|＝20 N，∴|F1|＝|F2|＝10 N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10 N．故选B.
5．在△ABC中，若|＋|＝|－|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由|＋|＝|－|得|＋|2＝|－|2，
即·＝0，∴⊥. ∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．故选B.
6．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________．
【答案】1.5 min
【解析】合速度|v合|＝ ＝16(km/h)＝(m/min)，∴t＝400÷＝1.5(min)．
7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
【答案】－
【解析】由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，故·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.
8．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
【答案】1
【解析】由题意，得|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
所以⊥，||＝||.
由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，
所以|a|＝|b|，由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，
所以a·b＝0，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，
所以||＝||＝，所以S△OAB＝××＝1.
9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
【解析】证明：设＝a，＝b，＝e，
＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.因为＝＋＝d－c，所以·＝e·(d－c)＝0
所以⊥，即AD⊥BC.
10.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
【解析】由已知条件可知AG与垂直方向成45°角，BG与垂直方向成60°角，
设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，
∴
解得|Fa|＝150－50.
故A处受力的大小为(150－50)N.
组综合运用
1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
【答案】D
【解析】W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5,2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D.
2．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】由题意得，2＝·＋·＋·
＝·(＋)＋·＝2＋·，∴·＝0，∴⊥，∴△ABC是直角三角形．故选C.
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )
A. B．2
C．0 D．1
【答案】A
【解析】∵＝＋，·＝·(＋)
＝·＋·＝·＝||＝，∴||＝1，||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·
＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝.故选A.
4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设AB的中点是D，∵＋＝2＝－，∴＝－，
∴P为CD的五等分点，∴△ABP的面积为△ABC的面积的.故选A.
5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
【答案】
【解析】根据题意得|α||β|sin θ＝.
又|α|＝1，|β|≤1，∴≤sin θ≤1，∴≤θ≤.
6．四边形ABCD中，已知＝＝(1,1)且＋＝，则此四边形的面积等于________．
【答案】2
【解析】∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形．
对＋＝两边平方得1＋1＋＝2，∴·＝0，
∴BA⊥BC，且BA＝BC，∴四边形ABCD是正方形，且||＝，
∴四边形ABCD的面积为2.
7．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.
【解析】证明：法一：∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD.
法二：解答本题还可以用坐标法，解法如下．
如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，
则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.
∵＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，
＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，
∴·＝c2－a2－b2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD.
组拓广探索
1.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcos θ＝，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝
【解析】设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，
∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，
∴2＝(＋)2＝2＋2＋2·.
∴2＝2＋2－2||||cos(θ－45°)＝3002＋(20t)2－2×300×20t×
＝100(4t2－96t＋900)．
依题意得2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．6.4.1-6.4.2平面向量的应用
组复习巩固
1．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D.
2．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
3．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么( )
A．s＞|a| B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．40 N
5．在△ABC中，若|＋|＝|－|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
6．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________．
7．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.
8．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________．
9.如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
10.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
组综合运用
1．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
2．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，
若·＝，则·的值是( )
A. B．2
C．0 D．1
4.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶S△ABC＝( )
A. B.
C. D.
5．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
6．四边形ABCD中，已知＝＝(1,1)且＋＝，则此四边形的面积等于________．
7．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD.
组拓广探索
1.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θcos θ＝，θ∈(0°，90°)方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？注：cos(θ－45°)＝
