6.4.3余弦定理
组复习巩固
1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
【解析】∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝
＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.
2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，
AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcos C，可得：13＝9＋AC2＋3AC，
解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设三角形的底边长为a，则周长为5a.∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α＝＝.故选D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
【答案】C
【解析】由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，
因此△ABC一定是钝角三角形．故选C.
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
【答案】A
【解析】依题意两式相减得ab＝.故选A.
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
【答案】4
【解析】由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
【答案】0
【解析】∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°
＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
8．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
【答案】20°
【解析】∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，
∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.
∴cos A＝＝＝－.
∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.
9.（2022届汕头市高三期末质检）在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c.
已知；求；
【解析】，
由余弦定理：
得
因为，
10.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
【解析】在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝82－2×15－2×15×＝19.
∴b＝.
11.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．
【解析】由得
∴a＞b＞c，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°，
即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×，
即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.
当b＝10时，a＝14，c＝6.
组综合运用
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝2 ，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D.则CD＝( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据余弦定理cos ∠ACB＝＝－，又∵AC＝2，
BC＝2 代入公式得AB＝2 ，再由等积法可得×2 ·CD＝×2 ×2×，
解得CD＝.故选A.
2．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1
C.【答案】C
【解析】若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，
则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故3．在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】∵sin2＝＝，∴cos A＝＝，∴a2＋b2＝c2，
符合勾股定理．故选B.
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则· 的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．－5
【答案】D
【解析】由余弦定理得：cos∠ABC＝＝＝.
因为向量与的夹角为180°－∠ABC，
所以·＝||||·cos(180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.故选D.
在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长
是________．
【答案】
【解析】∵cos C＝＝，∴sin C＝，
∴AD＝ACsin C＝.
已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，c＝，且
cos C＝，则a＝________，△ABC的面积为________．
【答案】3
【解析】∵a＝3b，∴b＝a.又c＝，且cos C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，
即5＝a2＋a2－2a·a·，化简得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍)．又C∈(0，π)，
∴sin C＝ ＝，则S△ABC＝absin C＝.
在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
且2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长度．
【解析】(1)cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，又0°(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
所以
所以由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
＝b2＋a2－2abcos 120°
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2)2－2＝10.
所以AB＝.
组拓广探索
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．
【解析】(1)由余弦定理得
cos B＝，cos C＝，
∴原式化为·＝－，
整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cos B＝＝＝－，
又0(2)将b＝，a＋c＝4，B＝，
代入b2＝a2＋c2－2accos B得，
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cos ，
即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.6.4.3余弦定理
组复习巩固
1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
5．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A. B．8－4
C．1 D.
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
7．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
8．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
9.（2022届汕头市高三期末质检）在中，角A，B，C所对的边分别a，b，c.
已知，求.
10.在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
11.在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．
组综合运用
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝2 ，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D.则CD＝( )
A. B.
C. D.
2．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1C.3．在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则· 的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．－5
在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长
是________．
已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3b，c＝，且
cos C＝，则a＝________，△ABC的面积为________．
在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两个根，
且2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长度．
组拓广探索
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.
(1)求B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求a的值．