2021-2022学年度高一下（数学）必修第二册第七章复数单元测试卷（Word含解析）

高一下（数学）必修第二册第七章复数单元测试卷
一、单选题
1．若复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知，且，其中是虚数单位，则等于（ ）
A．5 B． C． D．1
3．设，则z的虚部为（ ）
A．1 B．i C．－1 D．－i
4．设（i为虚数单位），则a＝（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．1或－1
5．若复数z满足（ 是虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
7．若复数，其中i为虚数单位，则z=（　　）
A． B． C． D．
8．已知复数z满足且，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若互为共轭复数，则为实数
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．复数（为虚数单位，为实数）为纯虚数，则
D．若为实数，为虚数单位，则“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件
10．若，则n可以是（ ）
A．102 B．104 C．106 D．108
11．设，，为复数，.下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
12．设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
13．复数的实部为______.
14．已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______.
15．设，复数，，若 是纯虚数，则a=______
16．当实数______时，复数为纯虚数.
四、解答题
17．在复数范围内分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
19．设，求的取值范围．
20．设a为实数，若，，且为纯虚数，求a的值．
21．求复数，，，的辐角主值．
22．已知关于x的二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
化简求得，由此判断出对应点所在象限.
【详解】
，
解得，故z在复平面内所对应的点位于第二象限．
故选：B
2．B
【解析】
【分析】
利用复数计算法则进行计算，得到，再使用模长公式求解.
【详解】
由得：，即，从而，解得：，从而
故选：B
3．A
【解析】
【分析】
设复数,通过复数相等即可得到答案.
【详解】
法一：设复数，化简得，
，所以，所以；
法二：设复数，，所以.
故选：A.
4．C
【解析】
【分析】
根据复数相等，即可求得a的值.
【详解】
因为，
所以有 ，即 ，
故选：C.
5．A
【解析】
【分析】
利用复数的化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论.
【详解】
由，所以，
所以，在复平面内对应的点是，位于第一象限．
故选：A．
6．C
【解析】
【分析】
根据复数得除法运算及复数虚部的定义即可的解.
【详解】
解：因为，所以，
所以的虚部为．
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.
【详解】
故选：B.
8．D
【解析】
【分析】
设复数，根据题意得到和，联立方程组，即可求解.
【详解】
设复数，
因为，可得，即，
又由，可得，即，
两式相减可得，解得，
即复数z的虚部为.
故选：D
9．ACD
【解析】
【分析】
根据共轭复数、复数运算、纯虚数、复数对应象限、充要条件等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项，互为共轭复数，则，即为实数，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，为纯虚数，所以，C正确.
D选项，在第四象限，所以，所以D选项正确.
故选：ACD
10．BD
【解析】
【分析】
，，故将次数n拆为进行求解即可.
【详解】
∵，，
∴，，
要使，则，则为偶数.
故选：BD.
11．BC
【解析】
【分析】
对于A：取特殊值判断A不成立；
对于B、C、D：直接利用复数的四则运算计算可得.
【详解】
对于A：取，满足，但是不成立，故A错误；
对于B：当时,有，又，所以,故B正确;
对于C：当时,则,所以,故C正确;
对于D：当时,则,可得.
因为，所以.故D错误
故选：BC
12．ABC
【解析】
【分析】
对于A，B，利用复数模和共轭复数的意义即可判断；对于C，设出复数和的代数形式，根据给定条件计算判断；对于D，举特例说明并判断作答.
【详解】
对于A，因，则，即，则为真，A正确；
对于B，因，则和互为共轭复数，则为真，B正确；
对于C，设，因，则，即，
于是得，则为真，C正确；
对于D，当，有，而，即为假，D不正确.
故选：ABC
13．0
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：
所以复数的实部为；
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
结合复数的几何意义，特殊角的三角函数值，即可得解．
【详解】
解：在复平面内对应的点为，所以，且与轴正方向的夹角为，
将其逆时针旋转后落在第三象限，且与轴负半轴的夹角为，所以对应的点为，
所以．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算化简求出，再根据纯虚数的定义即可求出.
【详解】
因为，，
则，
因为 是纯虚数，所以，解得.
故答案为：.
16．4
【解析】
【分析】
由纯虚数的概念可得，求解即可.
【详解】
由为纯虚数，
∴，解得.
故答案为：4
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
注意,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复数范围内分解因式.
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)
18．(1)1＋7i
(2)1－34i
(3)－1
(4)5＋i
【解析】
【分析】
应用复数的加减乘除、乘方等四则运算及复数乘除的几何性质化简复数即可.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
19．
【解析】
【分析】
设，则，，根据复数的几何意义计算辐角主值最大值和最小值，得到答案.
【详解】
设，则，，
如图所示：表示圆心为，半径为的圆面，
当分别与圆相切时对应的辐角主值最大最小，易知，
故的最大值为，最小值为.
故的取值范围为.
20．.
【解析】
【分析】
先求出，进而根据为纯虚数求得答案.
【详解】
，因为为纯虚数，
所以.
21．，，0，
【解析】
【分析】
计算，根据结合，得到辐角主值，同理可得其他答案．
【详解】
设这4个复数的模分别为，，，，辐角主值分别为，，，．
因为，所以，又，故．
同理，可以求得：
，
，
，
故4个复数的辐角主值分别为，，0，．
22．.
【解析】
【分析】
首先设二次方程的实数根为，代入方程求的，再利用复数模的公式，结合基本不等式，即可求得模的最小值.
【详解】
设为方程的实根，则
，
当即时，.
答案第1页，共2页
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