2021-2022学年度高一下 第一次摸底考试数学试卷（Word含解析）

2021-2022学年度高一下 第一次摸底考试数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B．MN C． D．
2．下列函数在定义域上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．命题“，使.”的否定形式是（ ）
A．“，使” B．“，使”
C．“，使” D．“，使”
4．若为第四象限角，则可化简为（ ）
A． B． C． D．
5．若直角坐标系内A，B两点满足：（1）点A，B都在图象上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知函数则的“和谐点对”有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知函数的定义域为[0，2]，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
9．已知实数，，满足，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数在区间上有个零点，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知狄利克雷函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的值域为 B．定义域为
C． D．的图象经过点
12．(多选)由，，组成一个集合，且集合中含有个元素，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．函数的定义域是____________.
14．若，，则________.
15．如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是____.
16．已知，则_______．
四、解答题
17．已知集合，集合.
（1）求；
（2）设集合，且，求实数的取值范围.
18．已知函数且点在函数的图象上．
（1）求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
（2）求不等式的解集；
（3）若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
19．已知函数的最小正周期为，且当时，取最大值．
（1）求，的值；
（2）若， ，求的值．
20．已知函数.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若，，求的值.
21． 已知集合，，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
22．已知函数.
（1）若，求的值.
（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
将集合M、N中表达式化为、，再由此判断表达式中分子所表示集合的关系，即可确定M、N的包含关系
【详解】
对于集合M：，k∈Z，
对于集合N：，k∈Z，
∵2k+1是奇数集，k+2是整数集
∴MN
故选：B
【点睛】
本题考查了集合的包含关系，由集合中元素的描述确定包含关系
2．D
【解析】
【分析】
根据初等函数单调性依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
对于A，在，上单调递减，A错误；
对于B，在上单调递减，B错误；
对于C，在上单调递减，C错误；
对于D，在上单调递增，D正确.
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式．
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“，使”的否定形式为：，使．
故选：D．
4．D
【解析】
利用同角三角函数的平方关系化简即可.
【详解】
为第四象限角，则，且，，
因此，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用同角三角函数的平方关系化简，在去绝对值时，要考查代数式的符号，考查计算能力，属于中等题.
5．B
【解析】
问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论.
【详解】
设是关于原点对称函数图象上的点，
则点P关于原点的对称点为在上，
，设，
“和谐点对”的个数即为与在交点的个数，
于是，化为，
令，下面证明方程有两解，
由于，所以，解得，
∴只要考虑即可，
，在区间上单调递增，
而，，
∴存在使得，
当单调递减，
单调递增，
而，，，
∴函数在区间，分别各有一个零点，
即的“和谐点对”有2个.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
6．C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域为[0，2]，可知道使有意义的满足,再结合分母不为0，即可解出答案.
【详解】
函数的定义域是[0，2]，要使函数有意义,需使有意义且 .所以 解得
故答案为：C.
【点睛】
本题考查函数的定义域，属于基础题.
隐函数的定义域问题需掌握两点：
①定义域都是的取值范围.②同一个对应法则下，括号内的取值范围是一样的.
7．D
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质逐一计算各选项即可得出答案.
【详解】
解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
8．A
【解析】
利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定为“，”.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题考查了全称命题的否定，正确解题的关键是清楚全称命题的否定是特称命题，以及其形式.
9．ABC
【解析】
【分析】
根据，且，得到，然后利用不等式的基本性质，逐项判断.
【详解】
因为实数，，满足，且，
所以，
由，得，故A正确；
由，得，故B正确；
由，得，故C正确；
由，得，当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC
10．BD
【解析】
令，可得，作出函数与在区间上的图象，可知两个函数在区间上的图象有两个交点，进而求出实数的取值范围，从而可得出合适的选项.
【详解】
令，可得， 可知两个函数在区间上的图象有两个交点，
作出函数与在区间上的图象，如下图所示：
则或，解得或.
故选：BD.
【点睛】
本题考查利用三角函数的零点个数求参数，一般转化为两个函数的交点个数问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
11．BC
【解析】
由函数的解析式逐项判断即可得解.
【详解】
对于A, 的值域为，故A错误；
对于B, 定义域为，故B正确；
对于C，当是有理数时，也为有理数，当是无理数时，也为无理数，
故成立，故C正确；
对于D，因为，所以的图象经过点，故D错误.
故选：BC.
【点睛】
本题考查了由新定义函数解析式确定函数的性质，属于基础题.
12．AC
【解析】
根据题中条件，得到求出的范围，即可根据选项确定结果.
【详解】
因为由，，组成一个集合，且集合中含有个元素，
所以只需，解得且，
因此排除B D，可选AC.
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查由集合中元素个数求参数，属于基础题型.
13．
【解析】
【分析】
利用对数函数的定义域列出不等式组即可求解.
【详解】
由题意可得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．1
【解析】
先由得到，再由换底公式，计算所求式子，即可得出结果.
【详解】
由可得，
又，
所以.
故答案为：.
15．①②
【解析】
写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.
【详解】
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
，
由图象可得，方程最多有个实数根
故正确的是①②.
故答案为：①②
【点睛】
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.
16．
【解析】
首先利用诱导公式对已知条件化简可得再利用化弦为切可得的值，再利用两角和的正切公式将展开即可求解.
【详解】
即，可得，解得，
所以，
故答案为：
17．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可
（2）根据并集的定义得出关于的不等式组，求出解集即可
【详解】
（1）集合.
则
集合，
则
(2)集合，且
,解得
故实数的取值范围为
【点睛】
本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解．
18．（1），图像见解析（2）（3）
【解析】
【分析】
（1）将点代入中,即可求解的值,进而求得函数的解析式,画出函数f（x）的图象.
（2）分为两种情况分别求解不等式,再取并集即可得不等式的解集.
（3）欲求满足方程有两个不相等的实数根的取值范围,可使函数与有两个不同的交点,画出二者的图象即可判断出实数的取值范围.
【详解】
解：（1）由的图象经过点,
可得,即,解得,
则,
函数的图象如下图：
（2）即为或,
即或,
则解集为；
（3）有两个不相等的实数根,
即有的图象和直线有两个交点,
由图象可得,即,
可得的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查函数的概念与图象、对数与对数函数、函数与方程以及一次函数和二次函数.
19．（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数周期的公式，求得的值，再结合题设，得到，即可求解；
（2）由，求得，结合同角三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数的最小正周期为，可得，
又当时，取最大值，可得，即，
即，所以，
因为，所以．
（2）由（1）可得函数，
因为，即，所以，
又，可得，
又由，，
所以．
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质，三角函数的基本关系式，以及和角公式、二倍角公式的综合应用，着重考查了推理与运算能力.
20．（1）递增区间为，，递减区间为；（2）.
【解析】
（1）化简函数的解析式为，根据，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由，结合，得到，利用三角函数的基本关系式，即可求解.
【详解】
（1）由题意得
，
因为，所以，
令，解得；
令，解得，
令，得.
所以函数在上的单调递增区间为，，
单调递减区间为.
（2）由（1）知.
因为，所以，
又因为，所以，
所以.
【点睛】
三角函数的化简求值的规律总结：
1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；
2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；
3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求解指数不等式，解得集合；根据集合交运算即可容易求得结果；
（2）分集合是否为空集，根据题意，列出不等式，即可容易求得参数范围.
【详解】
（1），时，，
∴
（2）∵，
∴当时，，即，符合题意；
当时，即时，只需或即可.
解得或，
综上，的取值范围为.
【点睛】
本题考查集合的交运算，以及由集合交集得结果求参数范围，涉及指数不等式的求解，属综合基础题.
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值；
（2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解.
【详解】
（1）
由可得：.
.
（2）由余弦定理得：，整理可得：，
，，
又，，，
，则，
，即的取值范围为.
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型.
答案第1页，共2页
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