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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.1 导数的概念及意义 （2）
一、单选题
1．已知函数f(x)=x3-x和点P(1，-1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，所以点 没有在函数的图象上，
设切点坐标为 ，则 ，则 ，
由导数的几何意义可知，过切点的斜率为 ，
过 和切点的斜率表示为 ，
所以 化简可得 ，
所以 或 ，所以切点有两个，因而有两条切线方程。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合代入法求出 的值 ，再利用代入法判断出点 没有在函数的图象上，设切点坐标为 ，再利用代入法，则 ，再利用导数的几何意义可知过切点的斜率为 ，再利用两点求斜率公式得出过 和切点的斜率表示为 ，所以 从而解方程组求出的值，进而求出切点有两个，从而得出过点P与该函数图象相切的直线条数。
2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s的关系可用函数 表示，则此物体在 时的瞬时速度(单位：m/s)为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．0
【答案】B
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由题意得，s'(t)=3t2，则此物体在 时的瞬时速度v=s'(1)=3×12=3.
故答案为：B
【分析】根据导数的运算，结合导数的意义求解即可.
3．曲线 在点 处的切线与直线 平行，则a等于（ ）
A．1 B． C． D．-1
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】 ，
故答案为：A
【分析】利用极限的方法结合导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。
二、多选题
4．曲线f(x)=x3＋x-2的一条切线平行于直线y=4x-1，则切点P0的坐标可能为（ ）
A．(1，0) B．(-1，-4) C．(0，-2) D．(2，8)
【答案】A,B
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】设 ，则 ，
所以 ，所以 或，
所以 的坐标为 或 。
故答案为：AB
【分析】利用导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而结合已知条件，从而求出切点的横坐标，再结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点可能的坐标。
5．在x=1附近，取Δx=0.3，则（ ）
A．y=x的平均变化率为1 B．y=x2的平均变化率为2.3
C．y=x3的平均变化率为3.99 D．y= 的平均变化率为
【答案】A,B,C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解： 在x=1附近，取△x=0.3，
对于A，y=x在x=1附近的平均变化率k1=1，故A正确；
对于B，y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+ x2.3，故B正确；
对于C，y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3 x+( x)2=3.99，故C正确；
对于D， y= 在x=1附近的平均变化率为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据平均变化率的计算公式求解即可.
6．若f(x)在x=x0处可导，则 可以为（ ）
A．△x可以为0 B．等于f'(x0)
C．与△x有关，而与x0无关 D．与x0有关，与△x无关
【答案】B,D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】表示的意义是求f'(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与
无关.
故答案为：BD
【分析】利用此题表示的意义是求f'(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与
无关。
7．下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若 不存在，则曲线 在点 ， 处无切线
D． 在点 处有切线， 不一定存在
【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，故A正确，B不正确； 不存在，曲线 在点 处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为 ，故C不正确；D选项正确。
故答案为：AD
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程，再结合切线与曲线的位置关系，从而求出曲线与切线的交点个数，再利用 不存在，曲线 在点 处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为 ，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
8．（2021高二上·朝阳期末）日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的 倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越 （填“快”或“慢”）.
【答案】25；快
【知识点】变化的快慢与变化率；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，
所以，，
所以，
所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的25倍；
因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快。
故答案为：25，快。
【分析】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，再利用代入法得出，的值，进而求出的值，从而得出净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的倍数；再利用，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快。
9．已知函数 ，其中实数α≠-1.若a=2，则曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 ，若曲线y=f(x)在点x=1处的切线与x轴平行，则a= .
【答案】7x-4y-2=0；-3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】
当 时， ，
而 ，因此曲线 在.点 处的切线方程为
，即 ，当 时， ，
解得 。
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用a的值结合代入法，从而结合导数的几何意义，进而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线的方程；再利用切点的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合两直线平行斜率相等，从而求出a的值。
10．已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线斜率为
【答案】3e
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以根据导数的几何意义可得 。
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义，从而求出函数 的图象在点 处的切线斜率。
11．设函数f(x)在x=1处存在导数2，则 = .
【答案】
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 。
【分析】利用已知条件结合极限求导数的方法，进而变形求出极限值。
12．曲线 在点 处的切线的斜率是 ，切线方程为 .
【答案】；x-ey=0
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，
，
切线方程为 ，即 。
【分析】利用导数的公式结合导数的几何意义，从而利用代入法求出曲线 在点 处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
13．一质点 按运动方程 做直线运动(位移单位： ，时间单位： ).若质点 在 时的瞬时速度为 ，则常数 的值为 .
【答案】2
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 ，当 趋于0时， 趋于4a，即 ，解得 。
【分析】利用已知条件结合极限的方法，再利用瞬时速度的求解方法，进而求出实数a的值。
四、解答题
14．已知A，B，C三点在曲线 上，其横坐标依次为 ，当 的面积最大时，求 的值.
【答案】如图，
在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.
，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大，再利用导数的公式结合代入法，从而求出点A，C的坐标，再利用两点求斜率公式和导数的几何意义，从而求出实数m的值。
15．如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数 的图象，试根据图象，描述、比较曲线 分别在 附近的变化情况，并求出 时的切线方程.
【答案】解：用曲线 分别在 ， 附近的切线，刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况.
①当 时，曲线 在 处的切线 平行于 轴，所以在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
②当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减；
③当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减.
由图象可以看出，直线 的倾斜程度小于直线 的倾钭程度，说明曲线 在 附近比在 附近下降得缓慢.
当 时， .
当 时，切线的
所以切线方程为 ，即
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，从而结合求导的方法判断函数的单调性，再利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合切线的斜率与倾斜角的关系式，从而利用极限与导函数的关系式，进而利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
16．（2021高二下·长春期末）已知曲线 ： 与 ： 在第一象限内的交点为P．
（1）求曲线 在点P处的切线方程；
（2）若直线 将两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）分割成左、右面积之比为 的两部分，求实数 的值．
【答案】（1）由题可知，曲线 ： 与 ： 在第一象限内的交点为 ．
的导函数 ，则 ，又切点的坐标为 ，
所以曲线 在点P处的切线方程为 ，即 ．
（2）曲线 ： 与 ： ，两曲线的交点坐标为 和 ，
所以两条曲线所围图形的面积：
．
又直线 将两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）分割成左、右面积之比为 的两部分，
令 ，因为 ，则 ，则上式可化为 ，
解得 ，又 ，∴ ，即 。
【知识点】导数的几何意义；利用定积分求封闭图形的面积；利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据定积分的几何意义与计算，结合换元法以及一元二次方程的解法直接求解即可.
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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.1 导数的概念及意义 （2）
一、单选题
1．已知函数f(x)=x3-x和点P(1，-1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s的关系可用函数 表示，则此物体在 时的瞬时速度(单位：m/s)为（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．0
3．曲线 在点 处的切线与直线 平行，则a等于（ ）
A．1 B． C． D．-1
二、多选题
4．曲线f(x)=x3＋x-2的一条切线平行于直线y=4x-1，则切点P0的坐标可能为（ ）
A．(1，0) B．(-1，-4) C．(0，-2) D．(2，8)
5．在x=1附近，取Δx=0.3，则（ ）
A．y=x的平均变化率为1 B．y=x2的平均变化率为2.3
C．y=x3的平均变化率为3.99 D．y= 的平均变化率为
6．若f(x)在x=x0处可导，则 可以为（ ）
A．△x可以为0 B．等于f'(x0)
C．与△x有关，而与x0无关 D．与x0有关，与△x无关
7．下列说法正确的是（ ）
A．曲线的切线和曲线可能有两个交点
B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
C．若 不存在，则曲线 在点 ， 处无切线
D． 在点 处有切线， 不一定存在
三、填空题
8．（2021高二上·朝阳期末）日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的 倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越 （填“快”或“慢”）.
9．已知函数 ，其中实数α≠-1.若a=2，则曲线y= f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 ，若曲线y=f(x)在点x=1处的切线与x轴平行，则a= .
10．已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线斜率为
11．设函数f(x)在x=1处存在导数2，则 = .
12．曲线 在点 处的切线的斜率是 ，切线方程为 .
13．一质点 按运动方程 做直线运动(位移单位： ，时间单位： ).若质点 在 时的瞬时速度为 ，则常数 的值为 .
四、解答题
14．已知A，B，C三点在曲线 上，其横坐标依次为 ，当 的面积最大时，求 的值.
15．如图，它表示物体运动的路程随时间变化的函数 的图象，试根据图象，描述、比较曲线 分别在 附近的变化情况，并求出 时的切线方程.
16．（2021高二下·长春期末）已知曲线 ： 与 ： 在第一象限内的交点为P．
（1）求曲线 在点P处的切线方程；
（2）若直线 将两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）分割成左、右面积之比为 的两部分，求实数 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为 ，所以点 没有在函数的图象上，
设切点坐标为 ，则 ，则 ，
由导数的几何意义可知，过切点的斜率为 ，
过 和切点的斜率表示为 ，
所以 化简可得 ，
所以 或 ，所以切点有两个，因而有两条切线方程。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合代入法求出 的值 ，再利用代入法判断出点 没有在函数的图象上，设切点坐标为 ，再利用代入法，则 ，再利用导数的几何意义可知过切点的斜率为 ，再利用两点求斜率公式得出过 和切点的斜率表示为 ，所以 从而解方程组求出的值，进而求出切点有两个，从而得出过点P与该函数图象相切的直线条数。
2．【答案】B
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由题意得，s'(t)=3t2，则此物体在 时的瞬时速度v=s'(1)=3×12=3.
故答案为：B
【分析】根据导数的运算，结合导数的意义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】 ，
故答案为：A
【分析】利用极限的方法结合导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。
4．【答案】A,B
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】设 ，则 ，
所以 ，所以 或，
所以 的坐标为 或 。
故答案为：AB
【分析】利用导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线平行斜率相等，从而结合已知条件，从而求出切点的横坐标，再结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点可能的坐标。
5．【答案】A,B,C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解： 在x=1附近，取△x=0.3，
对于A，y=x在x=1附近的平均变化率k1=1，故A正确；
对于B，y=x2在x=1附近的平均变化率k2=2+ x2.3，故B正确；
对于C，y=x3在x=1附近的平均变化率k3=3+3 x+( x)2=3.99，故C正确；
对于D， y= 在x=1附近的平均变化率为，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据平均变化率的计算公式求解即可.
6．【答案】B,D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】表示的意义是求f'(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与
无关.
故答案为：BD
【分析】利用此题表示的意义是求f'(x0)，即求f(x)在x0处的导数，它仅与x0有关，与
无关。
7．【答案】A,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，故A正确，B不正确； 不存在，曲线 在点 处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为 ，故C不正确；D选项正确。
故答案为：AD
【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线的方程，再结合切线与曲线的位置关系，从而求出曲线与切线的交点个数，再利用 不存在，曲线 在点 处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为 ，从而找出说法正确的选项。
8．【答案】25；快
【知识点】变化的快慢与变化率；函数模型的选择与应用
【解析】【解答】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，
所以，，
所以，
所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的25倍；
因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快。
故答案为：25，快。
【分析】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，再利用代入法得出，的值，进而求出的值，从而得出净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的倍数；再利用，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快。
9．【答案】7x-4y-2=0；-3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】【解答】
当 时， ，
而 ，因此曲线 在.点 处的切线方程为
，即 ，当 时， ，
解得 。
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用a的值结合代入法，从而结合导数的几何意义，进而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再结合点斜式求出曲线在切点处的切线的方程；再利用切点的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合两直线平行斜率相等，从而求出a的值。
10．【答案】3e
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以根据导数的几何意义可得 。
【分析】利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义，从而求出函数 的图象在点 处的切线斜率。
11．【答案】
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 。
【分析】利用已知条件结合极限求导数的方法，进而变形求出极限值。
12．【答案】；x-ey=0
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】 ，
，
切线方程为 ，即 。
【分析】利用导数的公式结合导数的几何意义，从而利用代入法求出曲线 在点 处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程。
13．【答案】2
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 ，当 趋于0时， 趋于4a，即 ，解得 。
【分析】利用已知条件结合极限的方法，再利用瞬时速度的求解方法，进而求出实数a的值。
14．【答案】如图，
在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.
，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
【知识点】导数的几何意义；斜率的计算公式；用斜率判定两直线平行；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大，再利用导数的公式结合代入法，从而求出点A，C的坐标，再利用两点求斜率公式和导数的几何意义，从而求出实数m的值。
15．【答案】解：用曲线 分别在 ， 附近的切线，刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况.
①当 时，曲线 在 处的切线 平行于 轴，所以在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降；
②当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减；
③当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减.
由图象可以看出，直线 的倾斜程度小于直线 的倾钭程度，说明曲线 在 附近比在 附近下降得缓慢.
当 时， .
当 时，切线的
所以切线方程为 ，即
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】利用分类讨论的方法结合已知条件，从而结合求导的方法判断函数的单调性，再利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合切线的斜率与倾斜角的关系式，从而利用极限与导函数的关系式，进而利用点斜式求出曲线在切点处的切线方程，再转化为切线的一般式方程。
16．【答案】（1）由题可知，曲线 ： 与 ： 在第一象限内的交点为 ．
的导函数 ，则 ，又切点的坐标为 ，
所以曲线 在点P处的切线方程为 ，即 ．
（2）曲线 ： 与 ： ，两曲线的交点坐标为 和 ，
所以两条曲线所围图形的面积：
．
又直线 将两条曲线所围图形（如图所示阴影部分）分割成左、右面积之比为 的两部分，
令 ，因为 ，则 ，则上式可化为 ，
解得 ，又 ，∴ ，即 。
【知识点】导数的几何意义；利用定积分求封闭图形的面积；利用导数研究曲线上某点切线方程；一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）根据定积分的几何意义与计算，结合换元法以及一元二次方程的解法直接求解即可.
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