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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.1 导数的概念及意义
一、单选题
1．若物体运动的方程为s= t4-3，则t=5时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
2．若函数f(x)=excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为（ ）
A．0 B．锐角 C． D．钝角
3．曲线y= 在(1，0)处的切线与直线l：y =ax垂直，则a=（ ）
A．-3 B．3 C． D．-
4．已知函数y= f(x)的图象如图所示，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是（ ）
A．f'(xA)>f'(xB) B．f'(xA)C．f'(xA)=f'(xB) D．不能确定
5．f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于（ ）
A．12 B．24 C．2 D．-12
6．如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s 的单位为m，t的单位为s)，那么它在1.2 s末的瞬时速度为（ ）
A．-4.8 m/s B．-0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s
7．已知曲线 在点 处切线的斜率为8，则 （ ）
A．9 B．6 C．-9 D．-6
8．函数 在下列区间上的平均变化率最大的是（ ）
A．[1，1.5] B．[1，2] C．[1，3] D．[1，1.05]
9．一个物体的运动满足曲线方程s =4t2＋2t-3，且s'(5)=42 m/s，其实际意义是（ ）
A．物体5s内共走过42m
B．物体每5s运动42m
C．物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42 m/s
D．物体以t=5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42 m
10．已知直线 经过 两点，且与曲线 相切于点 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
11．若可导函数 的图象过原点，且满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
12．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．60°
13．曲线 在 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．（2021高三上·白山期末）函数的图象在点处的切线的斜率为 ．
15．（2021高二上·广东期末）曲线 在点 处的切线方程为 .
16．已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y= x+2，则f(1)+f'(1)的值等于 .
17．如图，函数y=f(x)的图象在点Р处的切线是l，则f(2)+ f'(2)= .
18．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第 年增长较快.
三、解答题
19．如果一个质点从固定点A开始运动，运动方程为y=f(t)=t3+3，求t=4时， 的值.
20．求曲线y=x2在点(2，4)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.
21．求 的导数，并求曲线在点 处切线的倾斜角.
22．航天飞机升空后一段时间内，第 时的高度为 ，其中h的单位为m，t的单位为s.
（1）h(0)、h(1)、h(2)分别表示什么
（2）求第 内的平均速度.
（3）求第 末的瞬时速度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】因为 ，所以 时的瞬时速度为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，从而结合瞬时速度求解方法，进而利用代入法求出t=5时的瞬时速度。
2．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】因为 ，所以切线的斜率为 ，所以倾斜角为钝角.
故答案为：D
【分析】利用求导的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合三角函数值在各象限的符号，进而判断出函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为钝角。
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】∵，
：. ，
∴函数在(1，0)处的切线的斜率是 ，
∴与此切线垂直的直线的斜率是一3，∴a=-3。
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而结合已知条件，进而求出a的值。
4．【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA故答案为：B
【分析】由图象结合切线的图形与倾斜角和斜率的关系易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA5．【答案】A
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由题意得f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于.
故答案为：A
【分析】根据平均变化率的计算公式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 ，当 趋于0时， 趋于-4t，故物体在t=1.2s末的瞬时速度为-4.8m/s.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合平均速度和瞬时速度的关系，再利用极限的方法求出物体在t=1.2s末的瞬时速度。
7．【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ，由导数的几何意义知在点 处的切线的斜率为 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合已知条件曲线 在点 处切线的斜率为8，从而求出实数a的值。
8．【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】平均变化率为 ，把数据代入可知选C。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合平均变化率求解方法，进而求出函数 的平均变化率最大的区间。
9．【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由导数的物理意义知，s'(5)=42 m/s表示物体在t=5s时的瞬时速度.
故答案为：D
【分析】由导数的物理意义知其实际意义。
10．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；直线的两点式方程
【解析】【解答】 直线 经过 两点， ，
直线 与曲线 相切于点 ，可得曲线在 处的导数为 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件直线 经过 两点，再结合两点式求出直线的方程，再转化为直线的斜截式方程，再利用导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用导函数与极限的关系式，从而求出导函数，再利用代入法求出 的值 。
11．【答案】B
【知识点】函数的值；导数的几何意义
【解析】【解答】 的图象过原点， ，
故答案为：B
【分析】利用函数图象过原点结合代入法，从而结合导数与极限的关系式，进而求出导函数的值。
12．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】 ，∴切线的斜率为1，倾斜角为45°。
故答案为：B
【分析】利用极限的方法结合导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出切线的倾斜角的值。
13．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】 ，故切线的倾斜角为 。
故答案为：B
【分析】利用导数的运算法则结合导数的几何意义，从而结合代入法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，从而求出曲线在切点处的切线的倾斜角。
14．【答案】-3
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为，所以，即，故函数在点处的切线的斜率为-3。
故答案为：-3。
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率。
15．【答案】2x+y-π=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得y'=cosx-2sinx
∴
∴所求切线方程为
即 2x+y-π=0
故答案为： 2x+y-π=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
16．【答案】3
【知识点】函数的值；导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由已知得， 。
【分析】利用已知条件结合切点的横坐标和代入法求出切点的纵坐标，从而求出f(1)的值，再结合已知条件和导数的几何意义，从而求出函数在切点处的切线的斜率，即 f'(1) 的值，从而求出 f(1)+f'(1)的值 。
17．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题图可知，
直线l的方程为9x+8y-36=0，当x=2时， ，即f(2)= ，
又因为切线斜率为 ，即f′(2)= ，
所以f(2)+f'(2)= 。
【分析】利用函数的图象求出函数值，即f(2)的值，再利用导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，进而求出f'(2)的值，从而求出f(2)+f'(2)的值。
18．【答案】一
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】
，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快。
【分析】利用已知条件结合体重变化图，再结合平均变化率的求解方法，从而结合比较法得出第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快。
19．【答案】解：因为Δy=(Δt＋4)3-(43+3)=( Δt)3+12(Δt)2+48Δt ，
所以
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【分析】利用平均变化率结合极限的方法，从而求出当t=4时的 的值。
20．【答案】解：因为f'(2)=
，
所以曲线在点(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(1，0)，(0，-4).
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用导数求切点处切线方程的方法，从而求出曲线在点(2，4)处的切线方程，再利用已知条件结合赋值法，从而求出此切线与x轴、y轴的交点，再利用三角形的面积公式，从而求出曲线y=x2在点(2，4)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积。
21．【答案】解：令 ，
则 .
当 时， ，即在 处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；直线的倾斜角
【解析】【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数求导方法，进而求出函数的导数，再利用导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，从而求出曲线在切点处的切线的倾斜角。
22．【答案】（1）解：h(0)表示航天飞机发射前的高度；
h(1)表示航天飞机升空后第1s时的高度；
h(2)表示航天飞机升空后第2s时的高度.
（2）解： ，
，
航天飞机升空后第 内的平均速度为
（3）解：第 末的瞬时速度为
【知识点】函数的值；变化的快慢与变化率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合实际问题，从而得出 h(0)、h(1)、h(2)分别表示的意义。
（2）利用已知条件结合平均速度求解方法，进而求出第2s内的平均速度。
（3）利用已知条件结合极限的方法，再结合瞬时速度求解方法，进而求出第2s末的瞬时速度。
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高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.1 导数的概念及意义
一、单选题
1．若物体运动的方程为s= t4-3，则t=5时的瞬时速度为（ ）
A．5 B．25 C．125 D．625
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】因为 ，所以 时的瞬时速度为 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则，从而结合瞬时速度求解方法，进而利用代入法求出t=5时的瞬时速度。
2．若函数f(x)=excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为（ ）
A．0 B．锐角 C． D．钝角
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】因为 ，所以切线的斜率为 ，所以倾斜角为钝角.
故答案为：D
【分析】利用求导的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，再利用直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，从而结合三角函数值在各象限的符号，进而判断出函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为钝角。
3．曲线y= 在(1，0)处的切线与直线l：y =ax垂直，则a=（ ）
A．-3 B．3 C． D．-
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】∵，
：. ，
∴函数在(1，0)处的切线的斜率是 ，
∴与此切线垂直的直线的斜率是一3，∴a=-3。
故答案为：A.
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而结合已知条件，进而求出a的值。
4．已知函数y= f(x)的图象如图所示，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是（ ）
A．f'(xA)>f'(xB) B．f'(xA)C．f'(xA)=f'(xB) D．不能确定
【答案】B
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】由图象易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA故答案为：B
【分析】由图象结合切线的图形与倾斜角和斜率的关系易知，点A，B处的切线斜率kA，kB满足kA5．f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于（ ）
A．12 B．24 C．2 D．-12
【答案】A
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】解：由题意得f(x)=3x在x从1变到3时的平均变化率等于.
故答案为：A
【分析】根据平均变化率的计算公式求解即可.
6．如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s 的单位为m，t的单位为s)，那么它在1.2 s末的瞬时速度为（ ）
A．-4.8 m/s B．-0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s
【答案】A
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】 ，当 趋于0时， 趋于-4t，故物体在t=1.2s末的瞬时速度为-4.8m/s.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合平均速度和瞬时速度的关系，再利用极限的方法求出物体在t=1.2s末的瞬时速度。
7．已知曲线 在点 处切线的斜率为8，则 （ ）
A．9 B．6 C．-9 D．-6
【答案】D
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】 ，由导数的几何意义知在点 处的切线的斜率为 ，解得 。
故答案为：D
【分析】利用导数的几何意义求出曲线在切点处的切线的斜率，再结合已知条件曲线 在点 处切线的斜率为8，从而求出实数a的值。
8．函数 在下列区间上的平均变化率最大的是（ ）
A．[1，1.5] B．[1，2] C．[1，3] D．[1，1.05]
【答案】C
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】平均变化率为 ，把数据代入可知选C。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合平均变化率求解方法，进而求出函数 的平均变化率最大的区间。
9．一个物体的运动满足曲线方程s =4t2＋2t-3，且s'(5)=42 m/s，其实际意义是（ ）
A．物体5s内共走过42m
B．物体每5s运动42m
C．物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42 m/s
D．物体以t=5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42 m
【答案】D
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】由导数的物理意义知，s'(5)=42 m/s表示物体在t=5s时的瞬时速度.
故答案为：D
【分析】由导数的物理意义知其实际意义。
10．已知直线 经过 两点，且与曲线 相切于点 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】导数的几何意义；直线的两点式方程
【解析】【解答】 直线 经过 两点， ，
直线 与曲线 相切于点 ，可得曲线在 处的导数为 ，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件直线 经过 两点，再结合两点式求出直线的方程，再转化为直线的斜截式方程，再利用导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用导函数与极限的关系式，从而求出导函数，再利用代入法求出 的值 。
11．若可导函数 的图象过原点，且满足 ，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】函数的值；导数的几何意义
【解析】【解答】 的图象过原点， ，
故答案为：B
【分析】利用函数图象过原点结合代入法，从而结合导数与极限的关系式，进而求出导函数的值。
12．曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．135° D．60°
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】 ，∴切线的斜率为1，倾斜角为45°。
故答案为：B
【分析】利用极限的方法结合导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出切线的倾斜角的值。
13．曲线 在 处的切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；直线的倾斜角
【解析】【解答】 ，故切线的倾斜角为 。
故答案为：B
【分析】利用导数的运算法则结合导数的几何意义，从而结合代入法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，从而求出曲线在切点处的切线的倾斜角。
二、填空题
14．（2021高三上·白山期末）函数的图象在点处的切线的斜率为 ．
【答案】-3
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】因为，所以，即，故函数在点处的切线的斜率为-3。
故答案为：-3。
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率。
15．（2021高二上·广东期末）曲线 在点 处的切线方程为 .
【答案】2x+y-π=0
【知识点】导数的几何意义；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：由题意得y'=cosx-2sinx
∴
∴所求切线方程为
即 2x+y-π=0
故答案为： 2x+y-π=0
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.
16．已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y= x+2，则f(1)+f'(1)的值等于 .
【答案】3
【知识点】函数的值；导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由已知得， 。
【分析】利用已知条件结合切点的横坐标和代入法求出切点的纵坐标，从而求出f(1)的值，再结合已知条件和导数的几何意义，从而求出函数在切点处的切线的斜率，即 f'(1) 的值，从而求出 f(1)+f'(1)的值 。
17．如图，函数y=f(x)的图象在点Р处的切线是l，则f(2)+ f'(2)= .
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】由题图可知，
直线l的方程为9x+8y-36=0，当x=2时， ，即f(2)= ，
又因为切线斜率为 ，即f′(2)= ，
所以f(2)+f'(2)= 。
【分析】利用函数的图象求出函数值，即f(2)的值，再利用导数的几何意义求出函数在切点处的切线的斜率，进而求出f'(2)的值，从而求出f(2)+f'(2)的值。
18．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第 年增长较快.
【答案】一
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【解答】
，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快。
【分析】利用已知条件结合体重变化图，再结合平均变化率的求解方法，从而结合比较法得出第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快。
三、解答题
19．如果一个质点从固定点A开始运动，运动方程为y=f(t)=t3+3，求t=4时， 的值.
【答案】解：因为Δy=(Δt＋4)3-(43+3)=( Δt)3+12(Δt)2+48Δt ，
所以
【知识点】变化的快慢与变化率
【解析】【分析】利用平均变化率结合极限的方法，从而求出当t=4时的 的值。
20．求曲线y=x2在点(2，4)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【答案】解：因为f'(2)=
，
所以曲线在点(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(1，0)，(0，-4).
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用导数求切点处切线方程的方法，从而求出曲线在点(2，4)处的切线方程，再利用已知条件结合赋值法，从而求出此切线与x轴、y轴的交点，再利用三角形的面积公式，从而求出曲线y=x2在点(2，4)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积。
21．求 的导数，并求曲线在点 处切线的倾斜角.
【答案】解：令 ，
则 .
当 时， ，即在 处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；直线的倾斜角
【解析】【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数求导方法，进而求出函数的导数，再利用导数的几何意义，从而求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用切线的斜率与切线的倾斜角的关系式，从而求出曲线在切点处的切线的倾斜角。
22．航天飞机升空后一段时间内，第 时的高度为 ，其中h的单位为m，t的单位为s.
（1）h(0)、h(1)、h(2)分别表示什么
（2）求第 内的平均速度.
（3）求第 末的瞬时速度.
【答案】（1）解：h(0)表示航天飞机发射前的高度；
h(1)表示航天飞机升空后第1s时的高度；
h(2)表示航天飞机升空后第2s时的高度.
（2）解： ，
，
航天飞机升空后第 内的平均速度为
（3）解：第 末的瞬时速度为
【知识点】函数的值；变化的快慢与变化率
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合实际问题，从而得出 h(0)、h(1)、h(2)分别表示的意义。
（2）利用已知条件结合平均速度求解方法，进而求出第2s内的平均速度。
（3）利用已知条件结合极限的方法，再结合瞬时速度求解方法，进而求出第2s末的瞬时速度。
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