2021-2022学年度高二下数学选择性必修第二册一元函数的导数及其应用单元测试卷（Word含解析）

选择性必修第二册一元函数的导数及其应用单元测试卷
第I卷（选择题）
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一、单选题
1．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若不同两点、均在函数的图象上，且点、关于原点对称，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则不等式的解为（ ）
A． B． C． D．
5．若对任意的，x1，x2∈(0，e2]，且，不等式恒成立，则的最大值为（ ）
A．－e2 B．－e C．－2 D．－1
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，，，则它们的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在R上的函数与函数在上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．若直线是曲线的切线，则曲线可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号而获得广泛应用已知某个声音信号的波形可表示为，则下列叙述不正确的是（ ）
A．在内有5个零点
B．的最大值为3
C．是的一个对称中心
D．当时，单调递增
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的周期为 B．的图象关于对称
C．的最大值为 D．在区间上单调递增
12．若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．已知函数，则不等式的解集为___________.
14．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
15．已知函数，若函数在区间上不单调，则的取值范围为_____________.
16．已知函数，若，则实数的取值范围是__．
四、解答题
17．已知函数.
(1)若在处的切线方程为，求a的值；
(2)对于任意，，且，都有，求实数a的取值范围.
18．已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式对一切恒成立，求实数k的最大值．
19．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值.
20．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)当时，有最小值2，求的值.
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．
22．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性即可
【详解】
因为，
所以为奇函数，所以其图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，由，得，
令，则，
所以在上为增函数，
所以，
所以，
所以在上为增函数，
所以排除BD，
故选：C
2．B
【解析】
【分析】
分析可知，对任意的恒成立，由参变量分离法可得出，求出在时的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】
因为，则，
由题意可知对任意的恒成立，则对任意的恒成立，
当时，，.
故选：B.
3．B
【解析】
【分析】
函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，再将问题转化为函数与函数有两个交点，再数形结合可得答案.
【详解】
函数的图象关于原点对称的图象所对应的函数为，
的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数与函数有两个交点，
即方程有两个不等式的正实数根，
即有两个不等式的正实数根，
即转化为函数图象与函数图象有2个交点.
，
当时，，单调递增.
当时，，单调递减.且时，，时，
所以
所以图象与函数图象有2个交点.
则，解得.
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
先利用奇偶性的定义判断为偶函数，再对函数求导后，判断在上为减函数，从而将转化为，然后作出的图象，利用图象求解
【详解】
当时，，则；
当时，，则，
当时，.
综上为偶函数.
又当时，，所以在上为减函数.
由，得，所以，
设与相切于点，则，解得，
所以与相切于点，
函数的图象如图所示
则满足题意的x的取值范围是.
故选：A.
5．D
【解析】
【分析】
由已知条件将不等式转化为恒成立，构造函数，可得在上为增函数，再由可求出的范围，从而可求出的最大值
【详解】
因为，且，所以，
所以不等式恒成立，等价于恒成立，
所以，即恒成立，
令，则，
所以在上为增函数，
所以在上恒成立，即，
所以在上恒成立，
所以，
所以的最大值为，
故选：D
6．D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和单调性去掉函数符号，将原不等式化为一元二次不等式问题.
【详解】
因为，R，且，
所以是偶函数.
因为
当时，，所以在上单调递增.
又因为是偶函数，所以在上单调递减.
所以，即，
所以，即，解得或.
故选：D.
7．C
【解析】
【分析】
构造函数可证，又，可得，即可证．
【详解】
由
令，则，当，；当，；
所以在上单调递增，在上单调递减，且
则，因此，所以
又因为，所以，得
故，有
故选：C
8．B
【解析】
【分析】
判定函数单调性，再利用导数结合函数在的单调性列式计算作答.
【详解】
由函数得：，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，
于是得函数在上单调递减，即，，即，
而在上单调递减，当时，，则，
所以k的取值范围是.
故选：B
9．AC
【解析】
【分析】
由导数的几何意义可知曲线某点处的导数值为，令判断是否有解即可求解.
【详解】
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为，
所以在某点处的导数值为，
对于A：由可得：，令，
即，因为，所以有解，故选项A正确；
对于B：由可得，
令可得无解，故选项B不正确；
对于C：由可得，令
即，作出和的图象：
所以有解，故选项C正确；
对于D：由可得，所以的定义域为，
由可得，令可得不满足，所以无解，故选项D不正确；
故选：AC.
10．ABD
【解析】
【分析】
结合三角函数的零点、最值、对称中心、单调性等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】
对于A，由，
令，则或，易知在上有2个零点，A错误．
对于B，因为，由于等号不能同时成立，所以，B错误．
对于C，易知为奇函数，函数关于原点对称，又周期为，故是的一个对称中心．
对于D，，因为，所以时，
即：（）时，单调递增，
（）时，单调递减，故D错误．
故选：ABD
11．ACD
【解析】
【分析】
根据周期函数的定义判断A，由对称性判断B，求导数，确定函数的单调性、最值判断CD．
【详解】
，
所以是函数的一个周期，A正确；
，，B错误；
，
则，
考虑一个周期长度的区间范围内，得，，，
－ 0 － 0 ＋ 0 －
减 减 极小值 增 极大值 减
，又，，
所以，C正确，由表格知D正确．
故选：ACD．
12．BD
【解析】
【分析】
由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同.
导函数为增函数可判断A；利用导数相等，求解方程，可判断B、C、D.
【详解】
由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同.
对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在两个不同的使得导数值相等，所以A选项不符合；
对于B选项，，则，令，可得或，当时，所以函数的图象在和处的切线重合，切线方程为，所以B选项符合；
对于C选项，，则，设两切点分别为和，由两切点处的导数值相等得，解得，令，则，两切点处的导数值均为，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；
对于D选项，，则，设两切点的坐标分别为和，则，所以，取，
则，两切点处的导数值均为1，两切点连线的斜率为，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合Z性质，所以D选项符合.
故选：BD.
13．
【解析】
【分析】
由奇偶性定义、导数判断的奇偶性及单调性，再应用奇函数、单调性求解不等式即可.
【详解】
由题设，且定义域为，故为奇函数，
又，在定义域上递增，
∴，可得，
∴，解得，
∴原不等式解集为.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
设直线与曲线的切点为，求得，，将切点坐标代入切线方程可得出，将所求代数式变形为，将该代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得结果.
【详解】
设直线与曲线的切点为，
对求导得，所以，即，
所以，所以切点为，
由切点在切线上，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
f(x)在上不单调，则等价于其导数在(－1，1)上有变号零点.
【详解】
易得.
由，得或.
当，即时，，不符合题意，故，
此时应该满足或，即且.
故答案为：.
16．，
【解析】
【分析】
设，定义域，证明函数为奇函数且单调递增，化简得到，解不等式即得解.
【详解】
解：因为，
设，定义域，
，所以为奇函数，
，所以单调递增，
不等式，即为，
即，所以，
即，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
17．(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，再根据计算可得答案；
（2）将条件变形可得在上是增函数，记，求出，有恒成立，转化为最值求解即可.
(1)
由已知，且，
由，可得，
∴
(2)
由已知可得，当时，有恒成立，
即在上是增函数.
记，则，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
∵时，有，当时，，
由在上恒成立，得，即，
即实数a的取值范围为.
18．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由题意得恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可
(1)
由，得
当时，恒成立，∴在上单调递增
当时，令，得，得，
∴在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
(2)
依题意得对一切恒成立，即
令，则
令，则在上单调递增，而
当时，，即；当时，，即
∴在上单调递减，在上单调递增
∴
∴，即k的最大值为
19．(1)
(2)极小值为，无极大值
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，利用点斜式写出切线方程；
（2）令，和，解出单调区间，即可求出极值.
(1)
的定义域为R，，.
，又，.
所求切线方程为，即；
(2)
由（1）可知，，令，得；令，得.则有：
极小值
的极小值为，无极大值.
20．(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）求得，分、、三种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.
(1)
解：当时，，可得，则，，
所以切线斜率为，且切点为，
故所求切线方程为，即.
(2)
解：，其中，则.
若，则，在上单调递增，函数无最小值，不符合题意；
若，当时，，当时，.
①，对任意的，，函数在上单调递减，
则，解得，合乎题意；
②，函数在单调递减，在上单调递增，
所以，解得，不合题意.
综上所述，存在符合题意.
21．(1)函数在区间，上均单调递减
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用导数在函数单调性中的应用，即可得到结果；
（2）根据题意，将原不等式转化为，即；再根据（1），可知在单调递减，将原问题转换为在，两边同取自然对数，采用分离参数法可得在上能成立，再利用导数求出函数的最值，即可得到结果.
(1)
解：的定义域为
因为，所以．
令，则，
所以函数在区间单增；在区间单减．
又因为，所以当时，
所以函数在区间，上均单调递减；
(2)
解：
当，时，所求不等式可化为，
即，
易知，
由（1）知，在单调递减，
故只需在上能成立．
两边同取自然对数，得，即在上能成立．
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
所以，又，故的取值范围是．
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求导，由到数值求出斜率，最后根据点斜式求出方程即可；
（2）采用分离常数法，转化为求新函数的值域即可.
(1)
时，，
，则，，
所以在点处的切线方程为，即．
(2)
对任意的，恒成立，
即，对任意的，
令，即，
则，
因为，，
所以当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
则，所以．
答案第1页，共2页
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