北师大版数学九上 4.4 探索三角形相似的条件（一）教案

探索三角形相似的条件（一）
一、教材分析：
教材的地位和作用：“探索相似三角形的条件”是在学习了相似图形及相似三角形的概念等知识后，单独研究如何探索相似三角形的条件的一课，本课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一。既是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展，也是今后证明线段成比例，求几何图形和研究相似多边形性质的重要工具，它在工农业生产、土木建筑、测量绘图和日常生活中有着广泛的应用。比如我们在测量水塔、高楼大厦的高度时，都要利用相似三角形的判定来解决有关问题。通过本节课的学习，还可培养学生猜想、实验、证明、探索等能力，对掌握观察、比较、类比、转化等思想有重要作用。因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。
二、教学目的：
1.探索相似三角形的判定定理1。
2.应用相似三角形的判定定理1解决简单问题，发展应用问题。
3.在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识和合作交流的习惯，发展学生的合情推理的能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值。
重点：探索相似三角形的判定定理1
难点：相似三角形判定定理1的应用．
三、教学过程：
（一）学习相似三角形的定义
在上一节的基础上，由一般到特殊，由相似多边形的概念顺势引出相似三角形的定义．
板书定义:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
符号语言：∠A=∠A’,∠B=∠B’,∠C=∠C’,AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ △ABC∽△A’B’C’.
（二）类比、猜想，启发学生探索三角形相似的条件的思路
我们研究了全等三角形的定义、判定、性质。在这个基础上，又研究了相似三角形的有关概念，如果我们能判定两个三角形全等，那么它们一定相似。但是判定相似不需要这么多条件，因为相似三角形只要求形状相同，不要求大小一定相等。现在我们研究如何把条件简化到能保证三角形相似的最少情况——“探索三角形相似的条件”。
（三）合作学习：
合探1 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？
通过举出反例，得出结论：只有一个角对应相等，不能判定两个三角形相似。
合探2如果有两个角分别相等呢？
全班分两组：第一大组每两人一小组，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A与∠A′都等于45°，∠B与∠B′都等于30°，比较∠C和∠C′是否相等，测量三边长度，探求三边的比是否相等。第二大组：每两人一小组，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A与∠A′都等于60°，∠B与∠B′都等于45°，比较∠C和∠C′是否相等，测量三边长度，探求三边的比是否相等。（用三个小组测量结果），在此过程中，给学生充分的时间画图、观察、比较、交流。教师在多媒体几何画板上直观地演示。最后让学生用语言概括总结,引出判定条件：（学生总结，教师纠正）
两角分别相等的两个三角形相似．
（设计意图：组织学生进行讨论，在此基础上教师引导学生从对应边和对应角入手进行观察。在教学中，通过以趣味性题目引入，从而引起悬念，引起学生的注意，激发他们的求知欲，让每个学生都积极参与。通过学生自己探索、讨论，由学生自己得出结论：如果两个三角形中有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。即两角分别相等的两个三角形相似。这样，从学生自己动手操作、实验所得出的判定条件，让学生产生自豪感及满足感，培养学生的自信心及逻辑推理能力）。
（四）导入定理
判定定理：两角分别相等的两个三角形相似．
这个定理的出现为判定两三角形相似增加了一条新的途径．
例题分析：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,
⑴ 找出图中的相似三角形，并说明由。
⑵ 写出成比例的线段。
(3)AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长。
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).
∴=.
∴BC= = =14.
分析： 本例意在渗透平行与相似的内在联系，同时，本例有意识地渗透了简单逻辑推理的思想，承前启后。
（设计意图：分三个问题显示，由易到难，新旧知识相结合，分散难点，让学生明白判定方法1在实际问题中的应用）
五、学生练习：
练习A:
有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？
解析：不一定相似。可以通过举反例说明
有一个角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？
解析：要分类讨论：第一种：顶角相等；第二种：底角相等；第三种：顶角和底角相等。
（设计意图：使学生加深对判定方法1的理解,渗透分类讨论思想。）
练习B：
如图，请你添加一个条件____________,使得△ABC∽ △ADE。
2、如图所示，∠1=∠2，则( )
A △ADE∽△ABC B △ADE∽△ACB
C △DEA∽△BCA D △EDA∽△CBA
3、如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么在下列比例式中，正确的是（ ）
A B
C D
4、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.
找出图中的相似三角形，并说明理由。
(设计意图：通过让学生比较这几道题中条件的异同，进一步让学生理解两角分别相等，两个三角形相似。利用两角分别相等，两个三角形相似这个判定方法来证明这两个三角形相似，然后再运用相似三角形的对应边成比例来解决计算或证明。这样一来可以加深对两角分别相等，两个三角形相似的理解，二来可以增强学生的自信心，培养学生分析问题、解决问题的能力。）
解决好这道题后进一步追问学生：当条件不变时，你还能提出更深层次的问题吗？
（设计意图：训练学生的思维的深度和广度，提升学生的思维品质)
练习C：
1、已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
（1）请指出图中所有的相似三角形.
（2）你能得出CD2=AD·BD吗？
分析：用定理“两角分别相等，两个三角形相似”时，要注意图形中的公共角、对顶角、直角、两直线平行时的同位角、内错角或等角的余角、补角等等．
（设计意图：通过系列问题的设置和解决，旨在降低难度，使难度点予以突破，同时使学生在获得新知的情况下，体验成功，从而增加对数学的兴趣。）
(六)课堂小结
在知识技能的学习过程中你有什么样的收获？掌握了方法？
采用形式：同桌对讲，畅谈自己的感受和体会，学生发言，老师总结与归纳(从三个方面）：
1、学习了什么知识？
2、相似三角形常见的模型有哪些？
3、运用了哪些数学思想方法？
（设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力。）
(七)布置作业：
分层作业：
1、（必做题）：P90习题4，P91习题5
2、（选做题）：如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C
(1)求证：△ABF∽△EAD;(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，
求AE的长；(3)在(1)(2)的条件下，若AD＝3，求BF长.(计算结果含根号).
（设计意图：让学生巩固所学内容并进行自我检验与评价，既面向全体学生，又因材施教，照顾到学有余力的学生。）
板书设计
1、定义:三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
符号语言：∠A=∠A’,∠B=∠B’,∠C=∠C’,
AB:A’B’=BC:B’C’=AC:A’C’ △ABC∽△A’B’C’.
2、判定：两角分别相等的两个三角形相似。
3、常见的模型：
D
E
A
B
C
A
E
D
B
C
1
2
A
B
O
C
D
EMBED Equation.3 \* MERGEFORMAT
A
D
C
B
O
C
A
B
D
A'
A
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
C
B
B'
C'
A
B
C
D
E
1