北师大版九年级数学下册第一章《直角三角形边角关系的回顾与思考》学案（有答案）

《直角三角形边角关系的回顾与思考》学案
【学习目标】　
梳理并掌握直角三角形的边角关系；掌握锐角三角函数基本特征；
能用直角三角形的边角关系解决复杂几何图形中的相关计算，渗透转化与方程的数学思想方法；
能用直角三角形的边角关系解决实际生活中的相关问题，培养学生的建模能力。
【学习方法】自主说题、解题、反思、提升
【课前准备】梳理《直角三角形的边角关系》章节内容.
(
b
a
c
A
B
C
)【学习过程】
课前预习，梳理知识——回顾主干知识
1.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°， 其中的边角关系是：
（1）两锐角关系：
（2）三边关系：
（3）边角关系：
2.请你填写下列表格，从中你还能发现哪些知识？
三角函数 角度 sinα cosα tanα
30°
45°
60°
（1）当α越大时，sinα越 ，tanα越 ，cosα越 ；
（2）若∠A+∠B=90°时，sinA与cosB的关系是 ，tanA与tanB的关系是
【跟踪检测】
3.在正方形网格中，的三个顶点均在网格的格点上。
（1）若的位置如图1所示，则AC= ； sinA= ;cosC= ;tanC= .
（2）若的位置如图2所示，则tanC= 。
(
A
B
C
图
1
)
(
A
B
C
图
2
)
4.身高相同的三个人甲、乙、丙放风筝，他们放出的风筝线长分别为300m，250m，200m，拉直的线与地面所成的锐角分别为30°,45°，60°。
（1）谁放的风筝最高？
（2）若倾斜角不变，则甲的风筝线放到多长时，他的风筝才是最高的？
二、课内展示，运用知识——总结知识结构网络
1.展示预习，分享主干知识
2.变化图形，运用知识
【问题1】在图1中，若过点B作BD⊥AC，垂足为D（如图4），则cos∠ABD= 。
【问题2】在第1（2）题中，如图5，在Rt△ACE中易求出tanC=，还有其他方法求解吗？如果过点B作BD⊥AC，垂足为D，是否也可以在Rt△BDC中求出tanC的值呢？
【问题3】在图2中，去掉网格，如图6，若已知BC=3，AB=4，∠ABC=135°，能求△ABC的面积吗？若能，则△ABC的面积为 。
(
A
B
C
图
5
E
D
)
(
图
4
D
A
B
C
)
(
A
B
C
图
6
)
3.题后反思，达成知识结构的整体性和联系性。
（1）问题1的解题方法有直接法和间接法。其中直接法采用了 快速解决问题；
间接法中蕴含了 数学思想方法。
（2）问题2,3的解题方法采用了化斜为直，在这个过程中，注意构造直角三角形的合理性。
（3）解决问题结构图
(
直角三角形
斜三角形
已知两边求第三边
已知一边一角，
求其他边
或角。
已知两边求角
勾股定理
正弦、余弦、正切
特殊角的三角函数值
锐角三角函数
)
三、典例分析，活用知识——构建数学模型解决实际问题
【例1】如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为米，tanA＝，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
【例2】日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【题后反思】
解答上面两道题目的关键能力是数学抽象和数学建模。
(
实际问题
实际问题
答案
数学问题
分析
解斜三角形
解直角三角形
锐角
三角函数
分析
方程
模型
分析
)
四、总结反思，拓展提升
（一）总结反思
1.解直角三角形时要关注 。
2.解一般三角形的方法是 。
3.解实际问题的方法是 。
4.解题过程中运用了哪些数学数学方法？
（二）拓展提升
1.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（　　）
A．+1 B．+1 C．2.5 D．
2.如图，湿地景区岸边有三个观景台A、B、C．已知AB＝1400米，AC＝1000米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．
（1）求△ABC的面积；
（2）景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD．试求A、D间的距离．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，≈1.414）．
五、课后巩固，查漏补缺
1.中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为7062.68米。某天该深潜器在海面下1800米处作业（如图），测得正前方海底沉船C的俯角为45°，该深潜器在同一深度向正前方直线航行2000米到B点，此时测得海底沉船C的俯角为60°。
（1）沉船C是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由;
（2）由于海流原因，“蛟龙”号需在B点处马上上浮，若平均垂直上浮速度为2000米/时，求“蛟龙”号上浮回到海面的时间。
(
第2题图
)（参考数据：≈1.414，≈1.732）
(
第
2
题图
)2.如图，△ABC是等腰三角形，且AC=2，∠A=15°，
则tan15°的值是_________。
(
A
B
C
第
3
题图
)3.作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC=，∠ABC=30°.
∴tan30°=。
（1）在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值，
请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值.
（2）△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，BC=1，试利用这个三角形求出的值。
(
第6题图
) (
A
) (
C
) (
B
) (
D
)参考答案
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.
分析：（1）过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD为x米，在Rt△ACD和Rt△BCD中，分别表示出AD和BD的长度，然后根据AB=2000米，求出x的值，求出点C距离海面的距离，判断是否在极限范围内；
（2）根据时间=路程÷速度，求出时间即可．
解答：解：（1）过点C作CD垂直AB延长线于点D，
设CD=x米，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=45°，
∴AD=x，
在Rt△BCD中，
∵∠CBD=60°，
∴BD=x，
∴AB=AD﹣BD=x﹣x=2000，
解得：x≈4732，
∴船C距离海平面为4732+1800=6532米＜7062.68米，
∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内；
（2）t=1800÷2000=0.9（小时）．
答：“蛟龙”号从B处上浮回到海面的时间为0.9小时．
1、在中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角的各个三角函数值 （ ）
A.不变化 B.扩大2倍 C.缩小 D.不能确定
2、在中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=
3、在Rt△ABC中,∠C=90°,已知cosA=,那么tanA等于( )
A. B. C. D.
4、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )
A.tanαcosβ
5、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为
120m，则山的坡度为 。
6、已知是锐角，且sin（）=，则= 。
7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，AC=，BC=2，则cos∠DCB= 。
8、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AB=5，则tanB= 。
(
A
B
C
第8题图
) (
第5题图
)