第一讲 同底数幂的乘法(基础讲解)（解析版）

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第一讲 同底数幂的乘法
【学习目标】
1. 掌握同底数幂的乘法运算法则性质；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【知识总结】
一、同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即am·an=am+n(m，n都是正整数).
am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，am·an表示m个a相乘与n个a相乘，根据乘方的意义可得am·an=am+n.
二、同底数幂的乘法法则逆用推广
1、am·an =am+n（m，n都是正整数），反之也成立．
公式还可以逆用：（m、n均为正整数）
例如：若am=2,an=8，则am·an =am+n=2×8 =16.
2．当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这 ( http: / / www.21cnjy.com )一性质，即am·an·ap=am+n+p（m，n，p都是正整数）．例如：5×53 ×52=51+3+2=56．21教育网
【典型例题】
【类型】一、同底数幂的乘法性质
例1．（1）10×104×105+103×107 （2）m·m2·m4+m2·m521cnjy.com
（3）（-x）2·（-x）3+2x（-x）4 （4）x3·x5·x7-x2·x4·x921·cn·jy·com
【答案】（1）2×1010；（2）2m7；（3）x5；（4）0.
【解析】根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，计算即可得答案.
解：（1）10×104×105+103×107
；
（2）m·m2·m4+m2·m5
,
,
;
（3）（-x）2·（-x）3+2x（-x）4
,
,
,
;
（4）x3·x5·x7-x2·x4·x9
=,
=,
=0.
故答案为：（1）2×1010；（2）2m7；（3）x5；（4）0.
【点拨】本题考查同底数幂的乘法.
【训练】计算：
（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5 （2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6www.21-cn-jy.com
（3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5 （4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-32·1·c·n·j·y
【答案】（1） ；（2） ；（3）；（4）.
【分析】（1）、（2）与（3 ( http: / / www.21cnjy.com )），首先将其变形为同底数幂相乘的形式，接下来利用同底数幂的乘法法则进行解答即可；（4），首先利用同底数幂的乘法法则对其进行变形，接下来合并同类项即可.
解：（1）（a-b）2（a-b）3（b-a）5
=,
=;
（2）（a-b+c）3（b-a-c）5（a-b+c）6
,
;
（3）（b-a）m·（b-a）n-5·（a-b）5
,
;
（4）x·xm-1+x2·xm-2-3x3·xm-3
,
,
.
故答案为：（1） ；（2） ；（3）；（4）.
【点拨】本题考查同底数幂的乘法. ，解体的关键是掌握同底数幂的乘法法则逆运算.
【类型】二、同底数幂的乘法逆运算.
例2．已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值．
【答案】40．
【分析】逆用同底数幂的运算法则，把2a+b+3写成2a×2b×23的形式，再代入计算即可.
解：∵2a＝5，2b＝1，
∴2a+b+3＝2a×2b×23＝5×1×8＝40．
【点拨】此题考查的是同底数幂的运算法则，属于基础题目，解题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则.
【训练】已知,求；（2）已知：2x+3y﹣4=0，求4x 8y的值．
【答案】（1）250；（2）16.
【分析】
（1）根据幂的乘方与同底数幂的乘法对所求式子进行变形计算即可；
（2）将4x 8y变形为，根据2x+3y﹣4=0，即2x+3y=4，再整体代入求解即可.
解：（1） ；
（2），
∵2x+3y﹣4=0，
∴2x+3y=4，
则原式==16.
【点拨】本题主要考查幂的混合运算，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【训练】（1）已知，且，求的值？
（2）已知：，，，求的值？
【答案】（1）3；（2）864.
解：（1）∵
∴a=3
又
∴b=1
∴
（2）∵，，
∴
【点拨】本题考查的是幂的运算，难度适中，需要熟练掌握幂的运算公式及其逆运算.
【类型】三、同底数幂的乘法综合练习
例3．阅读下面的文字,回答后面的问题：
求的值.
解：令
将等式两边同时乘以5得到:
②-①得:
∴即
问题:(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据已知材料的方法解答即可（2）先把式子化简成与题干中的式子一致的形式再解答.
解：（1）令
将等式两边同时乘以2得到:
②-①得:
∴即
（2）
令
将等式两边同时乘以3得到:
②-①得:
∴
【点拨】此题重点考察学生对同底数幂的乘法的应用，能根据材料正确找到做题方法是解题关键.
【训练】阅读材料：
求l+2+22+23+24+…+22019的值．
解：设S=l+2+22+23+24+…+22018+22019…①
则2S=2+22+23+24+25+…+22019+22020…②
②-①，得2S﹣S=22020-l
即S=22020-l
∴1+2+22+23+24+…+22019=22020-l
仿照此法计算：
(1)计算：1+3+32+33+34+…+3100.
(2)计算：1++++…++=________(直接写答案)
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，两边乘以3得到关系式，与已知等式相减，变形即可求得所求式子的值；21世纪教育网版权所有
(2)设S=1++++…++，两边乘以，然后按照阅读材料的方法进行求解即可.
解：(1)设S=1+3+32+33+34+…+3100，①
两边同时乘以3，得3S=3+32+33+34+…+3101，②
②-①，得3S﹣S=3101-1，
∴S=，
∴1+3+32+33+34+…+3100=；
(2)设S=1++++…++，①
两边同时乘以，得S=+++…++，②
①-②，得S-S=1-，
∴S=1-，
∴S=2-，
∴1++++…++=2-.
【点拨】本题是阅读材料题，主要考查了同底数幂的乘法，弄懂材料中的解题方法是解题的关键.
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