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第二讲 幂的乘方与积的乘方
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则（ ）
A．9 B．12 C．18 D．6
5．计算所得结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各题的计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．计算的值（ ）
A．2 B． C． D．
8．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若，，m，m为正整数，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．已，那么（ ）
A．10 B．15 C．72 D．与x，y有关
12．下列运算中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
14．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．如果，那么用含m的代数式表示n为（ ）
A． B． C． D．
17．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．计算结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
19．计算的结果是（ ）
A． B． C．0.75 D．-0.75
二、填空题
20．若，，则________．
21．化简：____；_____；
22．已知，，则_______．
23．计算=_____________
24．计算=_____．
25．若出，则________．
26．计算：结果为_________．
27．计算：＝________．
28．计算：的结果是______．
29．已知，则=____．
三、解答题
30．用简便方法计算：
（1）；
（2）
31．计算：
（1）；（2）；（3）
32．若，，试求代数式的值
33．已知x2n＝4，求（x3n）2﹣xn的值．（其中x为正数，n为正整数）
34．计算：．
35．计算：．
36．已知，求的值．
37．已知2m=a，32n=b，m，n为正整数，求23m+10n的值（用含a，b的式子表示）．
38．若（，为正整数），且，求的值．
39．计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值，其中．
40．计算：（1）2x x5+x4 x2
（2）
41．已知，求的值．
42．按要求完成下列各小题．
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
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第二讲 幂的乘方与积的乘方
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
A：根据同底数幂的乘法法则判断即可；
B：科学记数法表示的数还原成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数，据此判断即可；
C：根据积的乘方的运算法则判断即可；
D：根据负整数次幂的运算法则判断即可．
【详解】
A：，故不符合题意；
B：，故不符合题意；
C：，故不符合题意；
D：，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查整式的运算、科学记数法，解题的关键是掌握运算法则及科学记数法．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则分别判断．
【详解】
解：A、，故错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，故错误，不符合题意；
D、，故错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方的运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
4．若，则（ ）
A．9 B．12 C．18 D．6
【答案】A
【分析】
根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算，可得n值．
【详解】
解：∵，
∴n=9，
故选A．
【点睛】
本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则和公式的逆用．
5．计算所得结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据积的乘方远算法则进行运算，再去括号化简即可得本题答案．
【详解】
解：；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了积的乘方及去括号化简的知识，熟练掌握积的乘方运算法则是正确的作答本题的关键．
6．下列各题的计算，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据幂的乘方的性质，同底数幂的乘方性质，合并同类项的法则，积的乘方的性质，对各选项进行分析判断，即可得到答案．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项正确；
，故D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，理清指数的变化是解题关键．
7．计算的值（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
将原式变形为，再利用同底数幂的乘法逆运算变为，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=
=
=
=1×
=
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．
8．计算的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用积的乘方和幂的乘方法则运算出结果即可判断．
【详解】
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了积的乘方和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
9．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据零指数幂的意义、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则逐项分析即可
【详解】
解：A.当m=0时，无意义，故不正确；
B. ，故不正确；
C. ，故不正确；
D. ，正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了幂的运算，熟练掌握 ( http: / / www.21cnjy.com )幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；非零数的零次幂等于1．2·1·c·n·j·y
10．若，，m，m为正整数，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先根据，求出和的值，然后根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴=×=．
故选A
【点睛】
本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．21·世纪*教育网
11．已，那么（ ）
A．10 B．15 C．72 D．与x，y有关
【答案】C
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.
【详解】
a2x+3y=(ax)2(ay)3=3223=98=72，
故选：C
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键.
12．下列运算中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；
③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.
【详解】
∵与不是同类项，无法合并，∴①是错误的；
∵，∴②是正确的；
∵，∴③是错误的；
∵，∴④是错误的；
综上所述，只有一个正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.www-2-1-cnjy-com
13．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则进行逐一计算即可．
【详解】
A选项：，正确，符合题意；
B选项：，错误，不符合题意；
C选项：，错误，不符合题意；
D选项：，错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握性质和法则是解题的关键．
14．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别根据合并同类项的法则，幂的乘方的性质，积的乘方的性质求解即可．
【详解】
A选项：，故A错误；
B选项：，故B错误；
C选项：，故C错误；
D选项：，故D正确．
故选D．
【点睛】
此题考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，比较简单，解题要注意细心．
15．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．
【详解】
A选项，选项正确，故符合题意；
B选项，选项错误，故不符合题意；
C选项，选项错误，故不符合题意；
D选项，选项错误，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．2-1-c-n-j-y
16．如果，那么用含m的代数式表示n为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，，再将代入中，即可得出答案．
【详解】
∵，
∴．
∵，
∴．
将代入中，
得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查幂的乘方的逆用，将改写为是解答本题的关键．
17．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据幂的乘方、积的乘方法则与同类项的定义分别进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：A. ，故此运算正确；
B. 与不是同类项，所以不能合并，故此运算错误；
C. ，故此运算错误；
D. 与不是同类项，所以不能合并，故此运算错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、积的乘方及合并同类项，掌握相关的运算法则及同类项的定义是解题的关键．
18．计算结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用同底数幂的乘法逆用及积的乘方逆用进行计算即可．
【详解】
解：
=
=
=
=．
故选C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法逆用及积的乘方逆用．熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．计算的结果是（ ）
A． B． C．0.75 D．-0.75
【答案】D
【分析】
先将化为，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案．
【详解】
=
=
=
=,
故选：D．
【点睛】
此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
20．若，，则________．
【答案】
【分析】
根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算即可．
【详解】
解：∵，
====625，
∴=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握公式的逆用．
21．化简：____；_____；
【答案】
【分析】
根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算即可．
【详解】
解：，
，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
22．已知，，则_______．
【答案】7200
【分析】
根据幂的乘方法则分别求出和的值，然后根据同底数幂的乘法运算法则计算即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：7200．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则．
23．计算=_____________
【答案】
【分析】
根据幂的运算法则进行计算．
【详解】
解：原式．
故答案是：．
【点睛】
本题考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则．
24．计算=_____．
【答案】2
【分析】
根据同底数幂的乘法逆用和积的乘方逆用进行运算即可．
【详解】
解：
=（）2020×22020×2
=（×2）2020×2
=12020×2
=2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法逆用和积的乘方逆用．熟记运算法则是解题的关键．
25．若出，则________．
【答案】32
【分析】
根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则的逆运用，即可求解．
【详解】
，
，
．
故答案是：32
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则的逆运用，熟练掌握上述运算法则，是解题的关键．
26．计算：结果为_________．
【答案】-2
【分析】
根据同底数幂的乘法逆用和积的乘方逆用进行运算即可．
【详解】
解：
．
故答案为-2．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法逆用和积的乘方逆用．熟记运算法则是解题的关键．
27．计算：＝________．
【答案】
【分析】
积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．
【详解】
=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
28．计算：的结果是______．
【答案】1
【分析】
根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可
【详解】
解：原式
故答案为：1
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键
29．已知，则=____．
【答案】．
【分析】
由非负性的应用，求出x、y的值，再利用积的乘方的逆运算进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了非负性的应用，积的乘方的逆运算，解题的关键是正确的求出x、y的值，从而进行计算．
三、解答题
30．用简便方法计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则计算；
（2）根据同底数幂的乘法法则计算；
【详解】
解：（1）
=
=
=
=
=；
（2）
=
=
=
=
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方，解题的关键是掌握运算法则和公式的逆用．
31．计算：
（1）；（2）；（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据积的乘方求解；
（2）先算乘方，再算乘法，最后算加法；
（3）先算乘法，再算加减法．
【详解】
解：（1），
=，
=；
（2），
=，
=，
=；
（3）
=，
=，
=
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，整式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，再加减．如果有括号，先算括号内．
32．若，，试求代数式的值
【答案】10
【分析】
由，得到x=2y+2；由，得到x-1=3y，求得y=1，x=4，再将x，y的值代入代数式求解即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
∵，
∴x=2y+2；
∵，
∴x-1=3y，
∴2y+2-1=3y，
解得y=1，
∴x=4，
∴=42-4×1-2×12=10．
【点睛】
此题考查幂的乘方计算法则，整式代入求值，正确将与根据幂的乘方计算法则化为同底数幂的形式，由此求出x、y的值是解题的关键．21教育网
33．已知x2n＝4，求（x3n）2﹣xn的值．（其中x为正数，n为正整数）
【答案】62
【分析】
由积的乘方逆用可得xn＝2，然后将（x3n）2﹣xn化成只含有xn的形式，然后将xn＝2代入计算即可．
【详解】
解：∵x2n＝4（x为正数，n为正整数）
∴xn＝2，
∴（x3n）2﹣xn＝（xn）6﹣xn＝26﹣2＝62．
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方和积的乘方，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解答本题的关键．
34．计算：．
【答案】
【分析】
根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得 ( http: / / www.21cnjy.com )的幂相乘，可得同底数幂的乘法；根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得负整指数幂；根据负整指数幂与正整指数幂互为倒数，可得答案．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题主要考查的是负指数幂，利用了乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算是解答本题的关键．
35．计算：．
【答案】3a4b2．
【分析】
根据同底数幂乘法及积的乘方的运算法则计算，再合并同类项即可得答案．
【详解】
=-6a4·b2+9a4b2
=3a4b2．
【点睛】
本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂乘法、积的乘方及合并同类项法则是解题关键．
36．已知，求的值．
【答案】．
【分析】
根据积的乘方运算法则逆应用可得到和x有关的方程，然后解方程得到x的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】
本题主要考查积的乘方的逆应用和解一元一次方程，解题的关键是通过积的乘方的逆应用得到方程，得到x的值．21cnjy.com
37．已知2m=a，32n=b，m，n为正整数，求23m+10n的值（用含a，b的式子表示）．
【答案】a3b2
【分析】
由可得：再把化为：，从而可得答案．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查的是同底数幂分乘法运算及其逆运算，幂的乘方运算及其逆运算，掌握以上知识是解题的关键．
38．若（，为正整数），且，求的值．
【答案】2020
【分析】
根据题意，把进行整理，得到a、b的值，然后进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴，
即．
∵，
∴，
即．
此时．
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确得到a、b的值．
39．计算：
（1）
（2）
（3）先化简，再求值，其中．
【答案】（1）-6；（2）；（3），．
【分析】
（1）运用0指数幂、积的乘方、幂的乘方解题；
（2）先计算积的乘方，再算乘除；
（3）先去括号，计算多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，再合并同类项，最后再代入x的值解题．
【详解】
（1）
（2）
（3）
当时
原式
【点睛】
本题考查幂的运算、整式的化简求值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
40．计算：（1）2x x5+x4 x2
（2）
【答案】（1）3x6；（2）0
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可.
（2）根据同底数幂乘法法则与幂的乘方、积的乘方运算法则计算即可.
【详解】
（1）2x x5+x4 x2
（2）
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法和积的乘方，熟记公式是解题的关键
41．已知，求的值．
【答案】-2
【分析】
原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算得到最简结果，已知等式整理后代入计算即可求出值．21·cn·jy·com
【详解】
解：∵3×9m×271-m=9，即3 ( http: / / www.21cnjy.com )×32m×33-3m=34-m=32，
∴4-m=2，
解得：m=2，
则原式=-m6÷m5=-m=-2．www.21-cn-jy.com
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和单项式乘除的应用，主要考查学生的计算能力．．
42．按要求完成下列各小题．
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）将变为，再对原式逆运用积的乘方公式即可得出结果；
（2）逆运用幂的乘方公式可得，再利用同底数幂的乘法，最后将代入计算即可．
【详解】
解：（1）原式=
=
=
=；
（2）
因为，
所以．
即．
【点睛】
本题考查幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法．熟练掌握公式，并能逆着运用是解题关键．
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