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第二讲 幂的乘方与积的乘方
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将化为使两个幂的指数相同，再利用积的乘方逆运算进行计算.
【详解】
，
故选：A.
【点睛】
此题考查幂的乘方逆运算，积的乘方逆运算，熟记公式是解题的关键.
2．计算：（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【分析】
根据积的乘方和幂的乘方的运算法则进行巧算．
【详解】
解：
．
故选：D．
【点睛】
本题考查积的乘方和幂的乘方的运算，解题的关键是利用进行巧算．
3．观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（ ）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
【答案】D
【分析】
存在3种情况：一种是指数为0，底数不为0；第二种是底数为1，指数为任意值；第三种是底数为－1，指数为偶数，分别求解可得．21·cn·jy·com
【详解】
情况一：指数为0，底数不为0
即：a+2=0，2a－1≠0
解得：a=－2
情况二：底数为1，指数为任意值
即：2a－1=1
解得：a=1
情况三：底数为－1，指数为偶数
即：2a－1=－1，解得a=0
代入a+2=2，为偶数，成立
故答案为：D
【点睛】
本题考查0指数和底数为±1的指数的特点，本题底数为－1的情况容易遗漏，需要关注．
4．计算（）2019×32020 的结果为 （ ）．
A．1 B．3 C． D．2020
【答案】B
【分析】
直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案．
【详解】
解：
＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方运算，正确利用积的乘方法则将原式变形是解题关键．
5．若，，则下列结论正确是（ ）
A．a＜b B． C．a＞b D．
【答案】B
【解析】
，
故选B.
【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较 ( http: / / www.21cnjy.com )的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.www.21-cn-jy.com
6．计算的值（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
将原式变形为，再利用同底数幂的乘法逆运算变为，然后运用乘法交换律及积的乘方的逆运算计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=
=
=
=1×
=
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算是解题的关键．
7．已，那么（ ）
A．10 B．15 C．72 D．与x，y有关
【答案】C
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解即可.
【详解】
a2x+3y=(ax)2(ay)3=3223=98=72，
故选：C
【点睛】
本题考查了幂的乘方和积的乘方，掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则是解答此题的关键.
8．下列运算中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；
③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.
【详解】
∵与不是同类项，无法合并，∴①是错误的；
∵，∴②是正确的；
∵，∴③是错误的；
∵，∴④是错误的；
综上所述，只有一个正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.2·1·c·n·j·y
9．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则进行逐一计算即可．
【详解】
A选项：，正确，符合题意；
B选项：，错误，不符合题意；
C选项：，错误，不符合题意；
D选项：，错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握性质和法则是解题的关键．
10．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项进行判断即可．
【详解】
A选项，选项正确，故符合题意；
B选项，选项错误，故不符合题意；
C选项，选项错误，故不符合题意；
D选项，选项错误，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及合并同类项，属于基础题，熟练掌握这些计算公式和方法是解决本题的关键．21教育网
11．数是（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
【答案】C
【分析】
利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，将原数改写变形即可得出结论．
【详解】
，
∴N是12位数，
故选：C．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算的应用，灵活运用基本运算法则对原式变形是解题关键．
12．计算的结果是（ ）
A． B． C．0.75 D．-0.75
【答案】D
【分析】
先将化为，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案．
【详解】
=
=
=
=,
故选：D．
【点睛】
此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
13．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，，，比较的大小即可．
【详解】
解：∵， ， ， ，
∴，即，
故选B．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的逆运算及数的大小的比较，解题的关键是熟练掌握幂的乘方运算法则．
14．计算的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用积的乘方的逆运算解答．
【详解】
=
=
=．
故选：D．
【点睛】
此题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的计算公式是解题的关键．
15．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐一计算即可判断．
【详解】
解：A、a5 a2＝a7，此选项计算错误，故不符合题意；
B、（a2）4＝a8，此选项计算正确，符合题意；
C、（a3b）2＝a6b2，此选项计算错误，故不符合题意；
D、a3与a5不能合并，此选项计算错误，故不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则．
二、填空题
16．=____．若2 4m 8m=221，则m=____．
【答案】8 4
【分析】
（1）根据积的乘方运算的逆运算即可求解.
（2）根据同底数幂的性质即可求解.
【详解】
解：
=
=
=
=8
2 4m 8m=221
即：
∴5m+1=21
m=4
【点睛】
此题主要考查积的乘方运算的逆运算和同底数幂的性质，熟练掌握积的乘方运算法则及逆运算和两个同底数幂相等可得指数相等是解题关键.21世纪教育网版权所有
17．已知a=255，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系为______．
【答案】b＞c＞a
【解析】
【分析】
根据幂运算的性质，及它们的指数相同，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大．
【详解】
解：a=255=（25）11=3211，
b=344=（34）11=8111，
c=433=（43）11=6411，
则b＞c＞a．
【点睛】
此题要熟练运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数的大小比较两个数的大小．
18．如果，，则_____．
【答案】1
【分析】
将变形为，然后将代入求解即可；
【详解】
解：
又将代入，得：
【点睛】
本题考查了积的乘方和幂的乘方，灵活应用运算定律是解答本题的关键.
19．已知6x=192，32y=192，则（-2019）（x-1）（y-1）-1=_____.
【答案】1.
【分析】
由6x=192，32y=192，推出6x ( http: / / www.21cnjy.com )=192=32×6，32y=192=32×6，推出6x-1=32，32y-1=6，可得（6x-1）y-1=32y-1=6，推出（x-1）（y-1）=1，最后计算即可解答．21cnjy.com
【详解】
解：∵6x=192，32y=192，
∴6x=192=32×6，32y=192=32×6，
∴6x-1=32，32y-1=6，
∴（6x-1）y-1=32y-1=6，
∴（x-1）（y-1）=1，
∴（-2019）（x-1）（y-1）-1=（-2019）0 =1.；
故答案为1.
【点睛】
本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是灵活运用知识解决问题.
20．计算：﹣82017×0.1252017= ___________
【答案】
【解析】试题分析：根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可知﹣82017×0.1252017=-=-1.
21．计算： =_______.
【答案】
【解析】试题分析：根据同底数幂的性质和积的乘方，可知===.
三、解答题
22．已知x2a＝2，y3a＝3，求（x2a）3+（ya）6﹣（x2y）3a y3a的值．
【答案】-55.
【分析】
先用同底数幂相乘和幂的乘方将原式化成含有x2a，y3a的形式，然后代入求值即可.
【详解】
解：当x2a＝2，y3a＝3时，
原式＝（x2a）3+y6a﹣（x6ay3a） y3a
＝（x2a）3+（y3a）2﹣（x2a）3 （y3a）2
＝23+32﹣23×32
＝8+9﹣8×9
＝﹣55．
【点睛】
本题考查幂的乘方和同底数幂相乘，熟练运用幂的乘方运算法则是解答本题的关键.
23．计算：.
【答案】
【分析】
先将两个乘数的次数依据同底数幂乘法写成相同的次数，再将同次数的乘数依据积的乘方逆运算相乘，最后化简结果即可.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
.
【点睛】
此题是高次数的因数相乘，将次数写成相等的形式是解题的关键，再根据积的乘方逆运算算出乘积，最后再化简结果.21·世纪*教育网
24．已知，求的值.
【答案】14
【分析】
先将与写成含有的形式即、，再将代入求值即可.
【详解】
∵，
∴原式.
【点睛】
此题考察代入求值，根据已知的条件将所给式子进行变形是解题的关键.
25．用简便方法计算：
（1）；
（2）；
（3） .
【答案】（1）1；（2）-8；（3）8
【分析】
（1）此题逆用积的乘方，即进行计算；（2）先将812写成，再将与相乘，最后化简结果即可；（3）将26写成43，将212写成84，再将43与0.253相乘，将84与0.1253相乘，再将乘积相乘即可得到答案.www-2-1-cnjy-com
【详解】
（1）
=1；
（2）
=-8；
（3）
=8.
【点睛】
此题考察整式的乘法公式的逆用，（2）中将812分解为是解题关键，从而将811与0.12511相乘；（3）中需将26写成43，将212写成84，再将43与0.253相乘，将84与0.1253相乘，再将乘积相乘.
26．计算：＝________.
【答案】2
【分析】
利用同底数幂的乘法运算将原式变形，再利用积的乘方求出结果.
【详解】
解：（-2）2020）2019
=22020）2019
=222019）2019
=2）2019
=2
=2
【点睛】
此题考察整式乘法公式的运用，准确变形是解题的关键.
27．①已知 求的值，
②若值．
【答案】①;②56 .
【解析】
【分析】
①根据幂的乘方、同底数幂的运算法则计算，再代入计算；
②根据幂的乘方及逆运算，把原式化简为含x2n的形式，再代入计算．
【详解】
解：①a2 （am）n=a2 amn=a2 a2=a4，
当a=
时，原式=（）4=；
②（-3x3n）2-4（-x2）2n=9x6n-4x4n=9（x2n）3-4（x2n）2，
当x2n=2时，原式=9×23-4×22=72-16=56．
【点睛】
此题主要考查幂的乘方、同底数幂的运算，要熟练且灵活掌握．
28．若2x+3·3x+3=36x-2,则x的值是多少
【答案】7
【解析】整体分析：
逆用积的乘方法则和幂的乘方法则，把等式两边化为底数相同的幂，利用幂相等，底数相等，则指数也相等列方程求解.21*cnjy*com
解：因为36x-2=(62)x-2=62(x-2)，
所以2x+3·3x+3=(2×3)x+3=6x+3，
所以x+3=2(x-2)，解得x=7.
29．已知ax=5，ax+y=30，求ax+ay的值．
【答案】11.
【解析】
分析：首先根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，求出的值是多少；然后把、的值相加，求出+的值是多少即可．2-1-c-n-j-y
本题解析：∵ax=5，ax+y=30，
∴ay=ax+y﹣x=30÷5=6，
∴ax+ay
=5+6
=11，
即ax+ay的值是11．
30．计算：
（1）(0.25)100×4100；
（2）0.24×0.44×12.54．
【答案】（1）1（2）1
【解析】
试题分析：根据积的乘方等于各因式分别乘方的逆用即可求解.
试题解析：（1）
=1
（2）
=1
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第二讲 幂的乘方与积的乘方
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．计算：（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
3．观察等式（2a﹣1）a+2＝1，其中a的取值可能是（ ）
A．﹣2 B．1或﹣2 C．0或1 D．1或﹣2或0
4．计算（）2019×32020 的结果为 （ ）．
A．1 B．3 C． D．2020
5．若，，则下列结论正确是（ ）
A．a＜b B． C．a＞b D．
6．计算的值（ ）
A．2 B． C． D．
7．已，那么（ ）
A．10 B．15 C．72 D．与x，y有关
8．下列运算中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
10．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．数是（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
12．计算的结果是（ ）
A． B． C．0.75 D．-0.75
13．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
14．计算的结果是( )
A． B． C． D．
15．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．=____．若2 4m 8m=221，则m=____．
17．已知a=255，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系为______．
18．如果，，则_____．
19．已知6x=192，32y=192，则（-2019）（x-1）（y-1）-1=_____.
20．计算：﹣82017×0.1252017= ___________
21．计算： =_______.
三、解答题
22．已知x2a＝2，y3a＝3，求（x2a）3+（ya）6﹣（x2y）3a y3a的值．
23．计算：.
24．已知，求的值.
25．用简便方法计算：
（1）；
（2）；
（3） .
26．计算：＝________.
27．①已知 求的值，
②若值．
28．若2x+3·3x+3=36x-2,则x的值是多少
29．已知ax=5，ax+y=30，求ax+ay的值．
30．计算：
（1）(0.25)100×4100；
（2）0.24×0.44×12.54．
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