第二讲 幂的乘方与积的乘方(基础讲解)（解析版）

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第二讲 幂的乘方与积的乘方
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算；
3. 灵活运用乘法运算性质进行逆动算.
【知识总结】
一、幂的乘方的意义
幂的乘方就是指n个相同的幂相乘，例如(a3)4是幂的乘方，表示4个a3相乘，读作a的三次幂的四次方.
[注意] (1)(am)n可看做幂的形式，底数为am，指数为n.
(2)法则中的底数既可以是具 ( http: / / www.21cnjy.com )体的数，也可以是式子(单项式或多项式)，指数是指幂指数及乘方的指数，m，n可以是任意的正整数或表示正整数的式子(单项式或多项式)．21·cn·jy·com
二、幂的乘方的运算法则
(am)n＝amn(m，n都是正整数)．即幂的乘方，底数不变，指数相乘
1、 幂的乘方法则：(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。
2、 .
3、底数有负号时，运算时要注意，底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a）3化成-a3www.21-cn-jy.com
4、底数有时形式不同，但可以化成相同。
5、要注意区别（ab）n与（a+b）n意义是不同的，不要误以为（a+b）n=an+bn（a、b均不为零）。
三、积的乘方的意义
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，
积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（n 为正整数）。
例如(2ab)3表示2，a，b这三个数的积的三次方.
四、积的乘方的运算法则
(ab)n＝anbn(n是正整数)，即积的乘方等于各因式乘方的积．
[注意] (1)积的乘方底数必须是乘积的形式，防止出现与(a＋b)n＝an＋bn类似的错误．
(2)当底数含有“－”时，应将其视为“－1”，作为一个因式，防止漏乘．
(－a)n＝(－1)nan＝
(3)anbncn＝(abc)n(n为正整数)．
【典型例题】
【类型】一、幂的乘方法则
例1、计算：
（1）；（2）；（3）．
【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是．21世纪教育网版权所有
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
【总结升华】运用幂的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com )法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.
例2、已知ax=3，ay=2，求ax+2y的值．
【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案．
【答案与解析】
解：∵ax=3，ay=2，
∴ax+2y=ax×a2y=3×22=12．
【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．
举一反三：
【训练】已知，．求的值．
【答案】
解：．
【训练】已知，，求的值．
【答案】
解：因为, .
所以.
【类型】二、积的乘方法则
例3、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
（1）； （2）； （3）．
【答案与解析】
解：（1）错，这是积的乘方，应为：．
（2）对．
（3）错，系数应为9，应为：．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．
【训练】（﹣8）57×0.12555．
【答案】
解：（﹣8）57×0.12555
=（﹣8）2×[（﹣8）55×]
=﹣64．
【类型】三、幂的乘方与积的乘方逆运算
例4．按要求完成下列各小题．
（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）将变为，再对原式逆运用积的乘方公式即可得出结果；
（2）逆运用幂的乘方公式可得，再利用同底数幂的乘法，最后将代入计算即可．
解：（1）原式=
=
=
=；
（2）
∵ ，
∴．
即．
【点拨】本题考查幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘法．熟练掌握公式，并能逆着运用是解题关键．
【训练】下图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题：
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（1）计算：
①；
②．
（2）若，直接写出的值．
【答案】（1）①1；②；（2）3
【分析】①直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；②直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；21教育网
（1）利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘除运算法则化简得出答案．
解：（1）①
；
②原式
；
（2）由已知得，，则，
故，解得：．
【点拨】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
【类型】四、幂的乘方与积的乘方综合训练
例5．已知，，，你有办法比较这三个数的大小吗？
【答案】，见解析
先利用幂的乘方公式将A、B、C化为指数相同的幂的形式，再比较底数的大小即可.
解：，，，
.
【点拨】本题考查幂的乘方的应用，解题的关键是利用幂的乘方公式将A、B、C化为指数相同的幂的形式，指数相同时，底数越大值越大.21cnjy.com
【训练】都是正数，且，则中最大的是哪个？
解：∵，，
∴；，
∴；，，
∴.
综上，，最大的是．
【点拨】考核知识点：乘方的运用.理解整式乘方的意义是关键.
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