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第三讲 同底数幂的除法
一、单选题
1．下列说法：
①符号相反的数互为相反数；
②有理数a、b、c满足，且，则化简的值为5；
③若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是；
④若是关于x的一元一次方程，则；
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．一辆汽车沿一条公路上山，速度是，从原路下山，速度是，这辆汽车上、下山的平均速度是（ ）
A． B． C． D．
3．2101×0.5100的计算结果是……………………………………（ ）
A．1 B．2 C．0.5 D．10
4．下列运算正确的是 ( )
A．x10÷(x4÷x2)=x8 B．(xy) 6÷(xy) 2=(xy) 3=x3y3
C．xn+2÷xn+1=x－n D．x4n÷x2n x3n=x－n
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是：
A． B．
C． D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．3x2 ·4x2 =12x2 B．（x-1）（x—1）=x2—1 C．（x5）2 =x7 D．x4 ÷x=x3
8．已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（ ）
A． B． C．11 D．19
9．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．（2a2）2=2a4 C．a3 a4=a7 D．a4÷a=a4
11．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a3·a=a4 C．a3÷a2=a3 D．(2a2)3 =6a5
14．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．若a≠0，化简下列各式，正确的是（ ）
A．a2 a5＝a10 B．（-a2）3＝a6 C．（﹣2a4）3＝﹣6a12 D．a6÷a2＝a421世纪教育网版权所有
16．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝2x6 B．x2 x3＝x6 C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
二、填空题
18．已知整数满足且，则的最大值为_____．
19．已知3a＝5，3b＝2，则32a﹣3b＝_____．
20．已知为正整数且能被整除，则的最大值为______．
21．计算：= ________________．
22．已知x-m=2,yn=3,则(x-2my-n)-4=_________.
23．25÷6=____________．
24．(x2)－3·(x3)－1÷x=____________．
25．(2) 2 (b) 3－(－2b) 3(－)=______________．
27．计算： __________.
三、解答题
28．计算：
（1）（-2a3）2-a2·（-a4）-a8÷a2 （2）4x（x-1）-（2x+3）（2x-3）21教育网
29．(1)若，，求的值； (2)计算的值.
30．已知10-2α=3,10-β=,求106α+2β的值.
31．(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．
32．（每小题3分，共6分）计算：
（1）
（2）
33．观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
34．阅读材料,求1+2-1+2-2+…+2-2 016的值.
解:设S=1+2-1+2-2+…+2-2016, ①
则2S=2+1+2-1+…+2-2 015, ②
②-①得S=2-2-2 016.
请你仿此计算:
(1)1+3-1+3-2+…+3-2 016;
(2)1+3-1+3-2+…+3-n(n为正整数).
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第三讲 同底数幂的除法
一、单选题
1．下列说法：
①符号相反的数互为相反数；
②有理数a、b、c满足，且，则化简的值为5；
③若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是；
④若是关于x的一元一次方程，则；
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
由相反数的定义判断①；由，且，可得与互为相反数，可得： 从而可判断②；由是关于x的一元一次方程，分三种情况讨论，或（）或，从而可判断③；由是关于x的一元一次方程，可得： 从而可判断④．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，故①错误；
由，且，
所以：
＜ ＜ ＜
故②错误；
是关于x的一元一次方程，
或（）或，
或或
或
当时，原方程为：
当时，原方程化为：
，不合题意舍去，
当时，原方程化为：
综上：方程的解为：或 故③错误；
是关于x的一元一次方程，
，
故④正确；
故选：
【点睛】
本题考查的是相反数的定义，绝对值的化简，一元一次方程的定义，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．21·世纪*教育网
2．一辆汽车沿一条公路上山，速度是，从原路下山，速度是，这辆汽车上、下山的平均速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设上山的路程为akm，用上山、下山的总路程除以上山、下山的总时间得到平均速度．
【详解】
设上山的路程为akm，
平均速度为：．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平均速度的计算公 ( http: / / www.21cnjy.com )式以及同底数幂的除法运算，熟记平均速度的计算公式是解题关键，需要注意的是求平均速度不能用上山、下山速度之和除以2．2-1-c-n-j-y
3．2101×0.5100的计算结果是……………………………………（ ）
A．1 B．2 C．0.5 D．10
【答案】B
【解析】
，故选B．
点睛：此题逆用同底数幂的乘法法则和积的乘方法则．
4．下列运算正确的是 ( )
A．x10÷(x4÷x2)=x8 B．(xy) 6÷(xy) 2=(xy) 3=x3y3
C．xn+2÷xn+1=x－n D．x4n÷x2n x3n=x－n
【答案】A
【解析】
试题分析：根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可知x10÷(x4÷x2)=x8，故正确；
根据同底数幂相除和积的乘方，可知(xy) 6÷(xy) 2=(xy) 4=x4y4，故不正确；
根据同底数幂相除，可知xn+2÷xn+1 =x，故不正确；
根据同底数幂相乘除和混合运算的顺序，可知x4n÷x2n x3n=x5n，故不正确.
故选A
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：根据同底数幂的乘除法，可知=.
故选：A
点睛：此题主要考查了幂的运算性质，直接利用同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，同底数的幂相除，底数不变，指数相减，计算即可.21教育网
6．下列运算正确的是：
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据同类项的特点，可知不能计算，故不正确；
根据单项式的乘法和同底数幂相乘，可知，故不正确；
根据积的乘方，可知，故不正确；
根据积的乘方，可知，故正确.
故选：D.
7．下列计算正确的是（ ）
A．3x2 ·4x2 =12x2 B．（x-1）（x—1）=x2—1 C．（x5）2 =x7 D．x4 ÷x=x3
【答案】D
【解析】试题分析：根据单项式乘以单项式的法则，可知3x2 ·4x2 =12x4，故A不正确；
根据乘法公式（完全平方公式）可知（x-1）（x—1）=x2—2x+1，故B不正确；
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得（x5）2 =x10，故C不正确；
根据同底数幂的相除，可知x4 ÷x=x3，故D正确.
故选：D.
8．已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（ ）
A． B． C．11 D．19
【答案】B
【解析】
试题分析：根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，可知x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=.21*cnjy*com
故选：B
点睛：此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可.【出处：21教育名师】
同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
9．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
运用同底数幂乘法、负整数次幂、同底数幂除法以及零次幂的知识逐项排查即可．
【详解】
解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；
D. ，故D选项符合题意．
故填：D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂乘法、负整数次幂、同底数幂除法、零次幂等的知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
10．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3=a5 B．（2a2）2=2a4 C．a3 a4=a7 D．a4÷a=a4
【答案】C
【分析】
根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误；
B、，此项错误；
C、，此项正确；
D、，此项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握各运算法则是解题关键．
11．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则进行计算并判断．
【详解】
A、，故该项错误；
B、，故该项错误；
C、，故该项正确；
D、，故该项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了整式的计算，熟记整式的同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则是解题的关键．21教育名师原创作品
12．下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
解：A、a2与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．21世纪教育网版权所有
13．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a3·a=a4 C．a3÷a2=a3 D．(2a2)3 =6a5
【答案】B
【分析】
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】
A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．21cnjy.com
14．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别根据同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方运算法进行计算出结果即可判断．
【详解】
解：A.，故原选项计算错误，不符合题意；
B.，故原选项计算正确，符合题意；
C.，故原选项计算错误，不符合题意；
D.，故原选项计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
15．若a≠0，化简下列各式，正确的是（ ）
A．a2 a5＝a10 B．（-a2）3＝a6 C．（﹣2a4）3＝﹣6a12 D．a6÷a2＝a42·1·c·n·j·y
【答案】D
【分析】
利用同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法运算法则逐项排查即可．
【详解】
解：A. a2 a5＝a7，故A选项不符合题意；
B. （-a2）3＝-a6，故B选项不符合题意；
C. （﹣2a4）3＝﹣8a12 ，故C选项不符合题意；
D. a6÷a2＝a4，故D选项符合题意．
故答案为D．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法运算法则等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
16．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂相除的法则逐项判断即可求解．
【详解】
解：A.不是同类项，无法合并，计算错误，不合题意；
B. ，计算错误，不合题意；
C. 计算错误，不合题意；
D. ，计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂相除的法则，熟知运算法则是解题关键．
17．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝2x6 B．x2 x3＝x6 C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3
【答案】C
【分析】
根据整式的加法法则、乘法法则、除法法则、积的乘方法则依次计算并判断.
【详解】
A、x3+x3＝2x3，故该项错误；
B、x2 x3＝x5，故该项错误；
C、x6÷x3＝x3，故该项正确；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故该项错误；
故选：C.
【点睛】
此题考查整式的计算，熟练掌握整式的加法法则、乘法法则、除法法则、积的乘方法则是解题的关键.
二、填空题
18．已知整数满足且，则的最大值为_____．
【答案】2
【分析】
根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a,b,c,d的值，故可求解．
【详解】
∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2,b=0，c=3,d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
19．已知3a＝5，3b＝2，则32a﹣3b＝_____．
【答案】
【分析】
根据幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】
解：，，
．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
20．已知为正整数且能被整除，则的最大值为______．
【答案】890.
【解析】
【分析】
根据题意列出算式，变形后得到900能整除，即可确定最大整数n的值.
【详解】
由题意得为整数，
且
，
能被整除，的最大值为890.
故答案为：890
【点睛】
此题考查了数的整除性，将算式变形是解题关键，难度较大．
21．计算：= ________________．
【答案】-0.2
【解析】
【分析】
直接利用有理指数幂的运算法则求解即可．
【详解】
解：==-0.2.
故答案为：-0.2.
【点睛】
本题考查有理指数幂的运算，考查计算能力．
22．已知x-m=2,yn=3,则(x-2my-n)-4=_________.
【答案】
【解析】
(x-2my-n)-4= .
点睛：本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算及负整数指数幂的性质，将原式正确的变形是解题关键．
23．25÷6=____________．
【答案】a
【解析】
试题分析：跟据同底数幂相乘和同底数幂相除，可知25÷6=a7÷a6=a.
24．(x2)－3·(x3)－1÷x=____________．
【答案】
【解析】
试题分析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法除法以及负整数指数，直接可计算为：(x2)－3·(x3)－1÷x=x-6·x-3÷x=x-10=.www.21-cn-jy.com
25．(2) 2 (b) 3－(－2b) 3(－)=______________．
【答案】0
【解析】
试题分析：先根据幂的乘方和积的乘方计算，然后再根据单项式乘以单项式计算，可得(2) 2 (b) 3－(－2b) 3(－)===0.【版权所有：21教育】
26．m3·(m2) 6÷m10=___________．
【答案】m5
【解析】
试题分析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法和除法，计算为：m3·(m2) 6÷m10= m3·m12÷m10=.
27．计算： __________.
【答案】
【解析】试题分析：根据负整指数幂和零指数幂的性质，直接计算即可得到： = .
故答案为：
三、解答题
28．计算：
（1）（-2a3）2-a2·（-a4）-a8÷a2 （2）4x（x-1）-（2x+3）（2x-3）21*cnjy*com
【答案】4a6，-4x+9；
【解析】
【分析】
（1）根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可；（2）先运用单项式乘多项式和平方差公式进行计算，然后再合并同类项即可.
【详解】
解：（1）（-2a3）2-a2·（-a4）-a8÷a2
=4a6+a6-a6
=4a6
（2）4x（x-1）-（2x+3）（2x-3）
=4x2-4x-4x2+9
=-4x+9
【点睛】
本题考查了积的乘方和幂的乘方进行计算和运用公式进行整式的混合运算，解答的关键是较好的计算能力.
29．(1)若，，求的值； (2)计算的值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）逆用同底数幂的除法的运算法则解答即可；（2）设S=，则2S=， 把这两个式子相减即可求解．
【详解】
(1)∵，，
∴；
(2) 设S=，
则2S=，
∴S=2S-S=．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法及同底数幂的乘法的应用，熟练运用法则是解决问题的关键.
30．已知10-2α=3,10-β=,求106α+2β的值.
【答案】
【解析】
试题分析：因为10-2α==3,10-β==,根据倒数的定义可得102α=,10β=5.再由106α+2β=(102α)3·(10β)2，代入求值即可.
试题解析：
因为10-2α==3,10-β==,
所以102α=,10β=5.
所以106α+2β=(102α)3·(10β)2
=×52
=×25
=.
点睛：本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算及负整数指数幂的性质，将原式正确的变形是解题关键．
31．(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：22m+3n的值
②求：24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16＝223，求x的值．
【答案】（1） （2）x =6
【解析】
试题分析：（1）分别将4m，8n化为底数为2的形式，然后代入①②求解；
（2）将8x化为23x，将16化为24，列出方程求出x的值．
试题解析：（1）∵4m=a，8n=b，
∴22m=a，23n=b，
①22m+3n=22m 23n=ab；
②24m-6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=；
（2）∵2×8x×16=223，
∴2×（23）x×24=223，
∴2×23x×24=223，
∴1+3x+4=23，
解得：x=6．
32．（每小题3分，共6分）计算：
（1）
（2）
【答案】5；7.
【解析】
试题分析：根据幂的计算法则进行计算即可.
试题解析：（1）原式=1-+9-4=5
（2）原式=9－－=7.
考点：幂的计算
33．观察下面三行单项式：
x，，，，，，；①
，，，，，，；②
，，，，，，；③
根据你发现的规律，解答下列问题：
（1）第①行的第8个单项式为_______；
（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；
（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【分析】
（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得；
（3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得．
【详解】
（1）第①行的第1个单项式为，
第①行的第2个单项式为，
第①行的第3个单项式为，
第①行的第4个单项式为，
归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第①行的第8个单项式为，
故答案为：；
（2）第②行的第1个单项式为，
第②行的第2个单项式为，
第②行的第3个单项式为，
第②行的第4个单项式为，
归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第②行的第9个单项式为，
第③行的第1个单项式为，
第③行的第2个单项式为，
第③行的第3个单项式为，
第③行的第4个单项式为，
归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数，
则第③行的第10个单项式为，
故答案为：，；
（3）由题意得：，
当时，，
，
，
则，
，
．
【点睛】
本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
34．阅读材料,求1+2-1+2-2+…+2-2 016的值.
解:设S=1+2-1+2-2+…+2-2016, ①
则2S=2+1+2-1+…+2-2 015, ②
②-①得S=2-2-2 016.
请你仿此计算:
(1)1+3-1+3-2+…+3-2 016;
(2)1+3-1+3-2+…+3-n(n为正整数).
【答案】(1)(2)
【解析】
试题分析：（1）类比题目中的解题方法计算即可；（2）类比题目中的解题方法计算即可.
试题解析：
(1)设M=1+3-1+3-2+…+3-2 016,①
则3M=3+1+3-1+…+3-2 015,②
②-①得2M=3-3-2 016,即M=.
(2)设N=1+3-1+3-2+…+3-n,①
则3N=3+1+3-1+…+3-n+1,②
②-①得2N=3-3-n,即N=.
点睛：本题是一道阅读理解题，根据题目中所给的运算顺序或解题方法解决所给的问题，是处理这类问题的基本思路.21·cn·jy·com
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