第三讲 同底数幂的除法(基础讲解)（解析版）

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第三讲 同底数幂的除法
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【知识总结】
一、同底数幂的除法法则
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n).
即同底数幂相除，底数不变，指数相减
注：(1)底数a不能为零，若a为零，则除数为零，除法就没有意义了；
(2)公式后面的条件“a≠0，m，n都是正整数，且m＞n”是此法则的一部分，不可漏掉；
(3)应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么，然后再按同底数幂除法法则进行计算；
(4)单独的一个字母，其指数为1，而不是0；
(5)法则中的底数既可以是具体的 ( http: / / www.21cnjy.com )数，也可以是式子(单项式或多项式)，指数m，n可以是任意的正整数或表示正整数的式子(单项式或多项式)，但需满足m＞n.21教育网
二、零指数幂与负整数指数幂
1．零指数幂：a0＝1 (a≠0)．
即任何不等于0的数的0次幂都等于1．
2．负整数指数幂：a－p＝ (a≠0，p是正整数)．
即任何不等于0的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数．
注：(1)底数a不等于0，如果a＝0，0的0次幂没有意义；
(2)底数a可以是不等于0的数或式子，如＝1，(x＋y)0＝1(x＋y≠0)；
(3)常利用一个式子的0次幂、负整数指数幂来 ( http: / / www.21cnjy.com )确定底数中所含的字母的取值范围．例如：若(2a＋3)0＝1，则a的取值范围是2a＋3≠0，即a≠－；21cnjy.com
(4)规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质就可以推广到整数指数幂了．
三、用科学记数法表示绝对值较小的数据
用科学记数法表示一个绝对值较小的数N， ( http: / / www.21cnjy.com )就是把N写成a×10n(其中1≤|a|＜10，n为负整数)的形式．其中a是整数数位只有一位的数；|n|＝数N中左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的那个零)．
【典型例题】
【类型】一、同底数幂的除法
例1、计算：
（1）；（2）；（3）；（4）．
【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．www.21-cn-jy.com
【训练】计算
⑴
⑵
【答案】（1）-2m5（2）-7a3b6
【分析】(1)、(2)先根据同底数幂的乘法法则、除法法则、幂的乘方进行计算，再合并同类项即可.
解：(1) 原式=.
(2) 原式= .
【训练】计算：(1)(－x)5÷(－x) ( http: / / www.21cnjy.com )2＝________；(2)x10÷x2÷x3÷x4＝________；(3)(p－q)4÷(q－p)3＝________．
【答案】(1)－x3； (2)x； (3)q－p.
解：
（1）(－x)5÷(－x)2
=（-x）5-2
=-x3
（2）x10÷x2÷x3÷x4
=x10-2-3-4
=x
（3）(p－q)4÷(q－p)3
= (q－p)4÷(q－p)3
=(q－p)4-3
=q－p
【点拨】同底数幂的除法是本题的考点，熟练掌握其运算法则是解题的关键。
【类型】二、同底数幂除法的逆运算
例2．若， 求的值
【答案】2
【分析】将还原成幂的运算的形式，然后再将代入即可求得答案
解：∵
将代入可得原式=
故答案为：2
【点拨】本题考查幂的运算的逆运算，在遇到这种类型题目的时候应该先将所求式子进行还原，还原成与已知乘方相关的形式后，再代入数值进行计算.21世纪教育网版权所有
【训练】已知ax＝2，ay＝3，求下列各式的值：
(1)a2x＋y； (2)a2x－y.
【答案】(1)a2x＋y＝12；(2)a2x－y＝.
解：(1) a2x＋y＝a2x·ay＝(ax)2·ay＝4×3＝12.
(2)a 2x－y＝a2x÷ay＝(ax)2÷ay＝22÷3＝.
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、除法的逆运算以及幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法、除法以及幂的乘方法则.2·1·c·n·j·y
【训练】若， 求的值
【答案】2
【分析】将还原成幂的运算的形式，然后再将代入即可求得答案
解：∵
将代入可得原式=
故答案为：2
【点拨】本题考查幂的运算的逆运算，在遇到这种类型题目的时候应该先将所求式子进行还原，还原成与已知乘方相关的形式后，再代入数值进行计算.【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】已知10m=5，10n=20，求10m-n的值．
【答案】 ．
【分析】先逆用同底数幂相除的运算法则，然后将已知条件代入即可解答．
解：10m-n=10m÷10n=5÷20= ．
【点拨】本题考查了同底数幂除法的运算法则，解答本题的关键在于逆用同底数幂的运算法则．
【类型】三、零指数、负指数幂及幂的运算
例3．计算（1）
（2）
【答案】（1）；（2）1
【分析】
（1）先计算幂运算，在算乘除，最后算加减；
（2）先算幂运算，化简后在算加减运算．
解：（1）原式
（2）原式
．
【点拨】本题考查0指数幂、负指数幂和幂运算，把握运算规则是解题关键．
【训练】计算：（1）；
（2）
【答案】（1）102；（2）
解：（1）
．
（2）
，
，
．
【点拨】本题主要考查负整数指数幂的运算、零指数幂的运算、整式的乘方运算，能正确运用运算法则进行化简和计算是解此题的关键，注意运算顺序．21·世纪*教育网
【类型】四、数的运算综合练习
例4、 计算
(1) (2)
(3) (4)
【答案】（1）；（2）； （3）；（4）
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可；
（3）根据积的乘法、幂的乘方运算法则以及合并同类项法则解答即可；
（4）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则计算即可．
解：（1）
（2）
；
（3）
；
（4）
【点拨】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法法则以及合并同类项法熟记幂的运算法则是解答本题的关键．www-2-1-cnjy-com
【训练】计算：
（1）； （2）；
（3）.
【答案】（1）;（2）1;（3）.
【分析】
（1）先利用同底数幂的除法法则运算，再利用积的乘方进行运算即可；
（2）先计算幂的乘方进行运算后，再利用同底数幂的除法法则运算即可；
（2）先计算幂的乘方进行运算后，再利用同底数幂的除法法则运算即可
解：（1）
（2）
（3）.
【点拨】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法，记住并运用法则是解决本题的关键．
【类型】五、同底数幂除法的应用
例5、 金星是太阳系九大 ( http: / / www.21cnjy.com )行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）
【答案与解析】
解：t=秒，
答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．
【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握．21·cn·jy·com
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