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第四讲 整式的乘法
一、单选题
1．展开后不含和的项，则、的值为（ ）
A． B． C． D．
2．用图1的面积可以验证多项式的乘法运算，那么用图2的面积可以验证的乘法运算是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．
C．
D．
3．使乘积中不含与项，则的值为（ ）
A． B． C． D．8
4．若展开后不含x的一次项，则a的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
5．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3
6．如果，那么p、q的值是（ ）
A．p=5, q=6 B．p=－1, q=－6 C．p=1, q=－6 D．p=－5, q=－6
7．（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）展开式中不含x3和x2项，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝0，b＝0 D．a＝3，b＝8
8．以下计算正确是（ ）
A． B．
C． D．
9．如果的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．0.5
10．下列计算正确的是（ ）
A．3a3 2a2＝6a6 B．2x2 3x2＝6x4
C．3x2 4x2＝12x2 D．5y3 3y5＝8y8
11．下列运算正确是（ ）
A．b5÷b3＝b2 B．（b5）3＝b8
C．b3b4＝b12 D．a（a﹣2b）＝a2+2ab
12．如果的结果不含项，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．
13．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
14．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
15．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．如果在计算所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A． B． C． D．
17．若单项式和的积为，则的值为（ ）
A．2 B．30 C．－15 D．15
18．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
20．计算：________．
21．观察下列各式：
；
；
；
……
（1）___；
（2）根据规律可得：_____（其中n为正整数）；
（3）计算：；
22．若的积不含项，则___________．
23．已知，，则________．
24．已知，那么的值是_____________．
25．计算：________________．
26．要使的展开式中不含项，则的值是______．
27．我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为_________．21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
28．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第个图形需要的黑色棋子的个数是______．（为正整数）
( http: / / www.21cnjy.com / )
三、解答题
29．如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com / )
30．先化简，再求值．，其中a，b满足．
31．计算：
32．观察下列各式：
；；；
请根据这一规律计算：
（1）；
（2）．
33．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？
根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．
请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：21教育网
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ；
（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；
（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝ ．www.21-cn-jy.com
34．已知将化简的结果不含和项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求的值．
35．用比较法解题，可以化难为易，同学们试一下：
（1）如果，则______．
（2）存不存在m，k的值使成立，若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
36．计算：（1）
（2）
37．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，在中间边长为的正方形空地上修建一座雕像．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）则绿化的面积是多少平方米？
（2）当，时，求绿化的面积．
38．计算：
39．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
40．正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为b和a将它们如图所示放置，求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
41．计算：
42．计算：．
43．新学期开学，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题．【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）一本数学课本的高度是多少厘米？
（2）讲台的高度是多少厘米？
（3）请写出整齐叠放在桌面上的本数学课本距离地面的高度的式子（用含有的式子表示）
（4）若桌面上有一些同样的数学课本，整齐叠放成一摞，数学课本距离地面的高度是104厘米，你能求出有几本数学书吗？写出你的理由．21世纪教育网版权所有
44．(1)先化简再求值：当(a-1)2+|b+2|=0时，求的值．
(2)当2a -3b=-1时，求4a2 - 6ab +3b的值．
45．已知：（x2+px+2）（x-1）的结果中不含x的二次项，求p2020的值．
46．多项式、，与的乘积中不含有和项．
（1）试确定和的值；
（2）求．
47．先化简，再求值：，其中
48．已知多项式与另一个多项式的乘积为多项式．
（1）若为关于的一次多项式，为关于的二次二项式，求的值；
（2）若为，求的值．
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第四讲 整式的乘法
一、单选题
1．展开后不含和的项，则、的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据多项式乘以多项式的法则先 ( http: / / www.21cnjy.com )把要求的式子进行整理，再根据多项式展开后不含x2和x3的项，得出-3+m=0，n-3m+8=0，求出m，n的值即可．【版权所有：21教育】
【详解】
解：∵（x2+mx+8）（x2- ( http: / / www.21cnjy.com )3x+n）=x4-3x3+x2n+x3m-3mx2+mnx+8x2-24x+8n=x4+（-3+m）x3+（n-3m+8）x2+mnx-24x+8n，
又∵（x2+mx+8）（x2-3x+n）展开后不含x2和x3的项，
∴-3+m=0，n-3m+8=0，
∴m=3，n=1；
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，理解不含x2和x3的项，即二次项系数与三次项系数都是0是关键．
2．用图1的面积可以验证多项式的乘法运算，那么用图2的面积可以验证的乘法运算是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据图形确定出多项式乘法算式即可．
【详解】
解：根据图2的面积得：，
故选：A．
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式与图形的面积，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．使乘积中不含与项，则的值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】D
【分析】
先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于与的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果．
【详解】
解：
=
=
∵乘积中不含与项，
∴，，
解得：，，
∴=5+3=8，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
4．若展开后不含x的一次项，则a的值是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】
先将多项式展开，然后令x的系数为0，求出a的值即可．
【详解】
解：
=
=
∵展开后不含x的一次项，
∴2+2a=0，
∴a=-1；
故选：B．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
5．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3
【答案】A
【分析】
运用多项式乘多项式法则，直接计算即可．
【详解】
解：（a+3）（﹣a+1）
＝﹣a2﹣3a+a+3
＝﹣a2﹣2a+3．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，解题的关 ( http: / / www.21cnjy.com )键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．21·cn·jy·com
6．如果，那么p、q的值是（ ）
A．p=5, q=6 B．p=－1, q=－6 C．p=1, q=－6 D．p=－5, q=－6
【答案】C
【分析】
先根据多项式乘以多项式的法则，将展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值．
【详解】
∵=，
，
∴=，
∴，，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查多项式乘以多项式的法则 ( http: / / www.21cnjy.com )及两个多项式相等的条件，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等．【来源：21cnj*y.co*m】
7．（x2+ax+8）（x2﹣3x+b）展开式中不含x3和x2项，则a、b的值分别为（ ）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝0，b＝0 D．a＝3，b＝8
【答案】A
【分析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，由展开式中不含x3和x2项，求出a与b的值即可．
【详解】
解：（x2+ax+8）（x2﹣3x+ ( http: / / www.21cnjy.com )b）＝x4﹣3x3+bx2+ax3﹣3ax2+abx+8x2﹣24x+8b＝x4+（﹣3+a）x3+（b﹣3a+8）x2+（ab﹣24）x+8b，
由展开式中不含x3和x2项，得到﹣3+a＝0，b﹣3a+8＝0，
解得：a＝3，b＝1．
故选：A．
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．以下计算正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用积的乘方判断A，利用同类项与合并同类项法则判断B，利用积的乘方，单项式与单项式相乘法则判断C，单项式乘以多项式法则判断D即可
【详解】
，故A选项错误；
不能合并同类项，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确.
故选择：D．
【点睛】
本题考查整式的运算；熟练掌握积的乘方，同类项定义与合并同类项法则，单项式乘以单项式法则，单项式乘以多项式法则是解题的关键．
9．如果的乘积中不含的一次项，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．0.5
【答案】A
【分析】
原式利用多项式乘多项式法则计算，根据乘积中不含x的一次项，列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】
解：，
∵乘积中不含x的一次项，
∴m＋2＝0，
解得m＝ 2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则与合并同类项法则是解答此题的关键．
10．下列计算正确的是（ ）
A．3a3 2a2＝6a6 B．2x2 3x2＝6x4
C．3x2 4x2＝12x2 D．5y3 3y5＝8y8
【答案】B
【分析】
根据单项式乘以单项式公式解答．
【详解】
A、3a3 2a2＝6a5，故该项不符合题意；
B、2x2 3x2＝6x4，故该项符合题意；
C、3x2 4x2＝12x4，故该项不符合题意；
D、5y3 3y5＝15y8，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查整式的乘法－单项式乘以单项式，熟记计算法则是解题的关键．
11．下列运算正确是（ ）
A．b5÷b3＝b2 B．（b5）3＝b8
C．b3b4＝b12 D．a（a﹣2b）＝a2+2ab
【答案】A
【分析】
根据幂的乘方，同底数幂乘法和除法，单项式乘多项式运算法则判断即可．
【详解】
A、b5÷b3＝b2，故这个选项正确；
B、（b5）3＝b15，故这个选项错误；
C、b3 b4＝b7，故这个选项错误；
D、a（a﹣2b）＝a2﹣2ab，故这个选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，同底数幂乘法和除法，以及单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则．
12．如果的结果不含项，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】
先化简，然后再由结果不含x项可进行求解．
【详解】
解：，
∵结果不含项，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】
本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的方法是解题的关键．
13．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【详解】
解：∵，
，
∴
．
故选：B．
【点睛】
本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积的方法，以及整式的运算法则．21世纪教育网版权所有
14．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数相同，即可求出a和b，再利用单项式乘以单项式计算结果即可．21*cnjy*com
【详解】
解：由题意可得：
，
解得：，
则这两个单项式分别为：，，
∴它们的积为：，
故选：B．
【点睛】
本题主要考察同类项的概念、单项式乘以单项式，掌握同类项的概念是解题的关键．
15．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
直接利用多项式乘法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：∵（x+3）（x-4）=x2+mx+n，
∴x2-x-12=x2+mx+n，
∴m=-1，n=-12，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题的关键．
16．如果在计算所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据多项式乘多项式法则将其展开并合并，然后根据所得的结果中不含x的一次项，令含x的一次项的系数为0即可求出结论．
【详解】
解：==
∵所得的结果中不含x的一次项，
∴m－6=0
解得：m=6
故选B．
【点睛】
此题考查的是整式的乘法：不含某项问题，掌握多项式乘多项式法则和不含某项，即化简后，令其系数为0是解题关键．21教育网
17．若单项式和的积为，则的值为（ ）
A．2 B．30 C．－15 D．15
【答案】D
【分析】
先按单项式乘以单项式的法则计算，再比较结果利用相同字母的指数相等构造等式，求出再求的值即可．
【详解】
单项式和的积为，
，
，
，
．
故选择：D．
【点睛】
本题考查单项式与单项式相乘问题，掌握单项式与单项式的乘法法则，会用指数构造等式解决问题是本题解题关键．
18．下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据同类项的定义与单项式的乘法法则，分别判断分析即可．
【详解】
解：A.，故A正确；
B.，故B不正确；
C.-2(m-4)=-2m+8，故C不正确；
D.3a与b不是同类项，不能合并，故D不正确.
故选A.
【点睛】
本题考查了合并同类项与单项式的乘法、去括号与添括号．注意，去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
19．如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据同类项的定义直接得出4a-b=3，a+b=2，即可得出两单项式的积．
【详解】
解：∵单项式-x4a-by2与是同类项，
∴ ，
∴两单项式分别为：-x3y2与，
∴这两个单项式的积是：-．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了单项式乘以单项式以及同类项定义，得出单项式的次数是解题关键．
二、填空题
20．计算：________．
【答案】
【分析】
直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．
【详解】
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题的关键．
21．观察下列各式：
；
；
；
……
（1）___；
（2）根据规律可得：_____（其中n为正整数）；
（3）计算：；
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
(1)第二个括号里最高次数4，根据观察可知结论中次数为4+1=5；
(2) 第二个括号里最高次数n-1，根据观察可知结论中次数为n-1+1=n；
(3)用3代替等式中的x，次数根据观察规律确定即可.
【详解】
（1）根据观察，发现结论是个二项式，且常数项为-1，另一项底数是x，指数比第二个括号里多项式的最高次数多1，21教育名师原创作品
∵的最高次数是4，
∴，
故应该填；
（2）∵的最高次数是n-1，
∴，
故应该填；
（3）由（2）知：，
令，，得：
，
故应该填.
【点睛】
本题考查了整式变化中的规律探索，解答时，抓住变化中变化项，不变项，变化的位置，变化的规律是解题的关键.
22．若的积不含项，则___________．
【答案】
【分析】
先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．
【详解】
解：
=
=
∵的积不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
23．已知，，则________．
【答案】-3
【分析】
原式利用多项式乘以多项式法则计算，变形后，将m+n与mn的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵m+n=2，mn=-2，
∴（1-m）（1-n）=1-（m+n）+mn=1-2-2=-3．
故答案为：-3．【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．已知，那么的值是_____________．
【答案】9
【分析】
先表示出，的值，然后代入代数式降幂计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴
=
=
=
=
=9
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式和求代数式的值，利用整体思想降幂是解题的关键．
25．计算：________________．
【答案】
【分析】
根据单项式乘单项式法则计算即可．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是单项式乘单项式的运算，掌握单项式乘单项式法则是解题关键．
26．要使的展开式中不含项，则的值是______．
【答案】-6
【分析】
结合题意，根据整式乘法的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵的展开式中不含项
∴
∴
∴
故答案为：-6．
【点睛】
本题考查了整式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法的性质，从而完成求解．
27．我国古代数学中的“杨辉三角”是重要的成就，它的发现比欧洲早五百年左右，（如图），这个三角形给出了（）的展开式（按a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第五行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中各项的系数．则展开式中各项系数的和为_________．2·1·c·n·j·y
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【答案】32
【分析】
根据规律能得出，，，的展开形式，即可推出的展开形式，从而得出结论．
【详解】
∵=，
=，
∴结合“杨辉三角”第六行可得：
=，
∴展开式中各项系数和为32；
故答案为：32．
【点睛】
本题考查完全平方式的规律问题，理解题意，确定杨辉三角中各行数字与完全平方式展开后各项系数之间的联系是解题关键．
28．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第6个图形需要黑色棋子的个数是______，第个图形需要的黑色棋子的个数是______．（为正整数）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】48
【分析】
根据题意分析可得第一个图形需要黑色棋子的个数为2×3-3，第二个图形需要黑色棋子的个数为3×4-4，第三个图形需要黑色棋子的个数为4×5-5，依此类推可得第n个图形需要黑色棋子的个数为，计算可得答案．
【详解】
解：观察图形可得：
第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋子2×3-3个，
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子3×4-4个，
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子4×5-5个，
按照这样的规律下去：则第n个图形需要黑色棋子的个数是，
∴当n=6时，；
故答案为48；．
【点睛】
本题主要考查图形规律及整式乘法的应用，关键是根据图形得到一般规律，然后问题可求解．
三、解答题
29．如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长为的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚度忽略不计）．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
这个盒子的容积=边长为8-2x,5-2x的长方形的底面积乘高 x，把相关数值代入即可．
【详解】
解：由题意，得
，
答：盒子的容积是．
【点睛】
本题主要考查单项式乘多项式，多项式乘多项式，解决本题的关键是找到表示长方体容积的等量关系．
30．先化简，再求值．，其中a，b满足．
【答案】； 27．
【分析】
根据非负数及整式的运算法则即可求解．
【详解】
解：∵，
∴a-2=0，1-b=0，
∴a=2，b=1，
∴原式=
=
=
∴当a=2，b=1时，原式=．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
31．计算：
【答案】
【分析】
先用积的乘方公式计算，再用同底数幂的乘法公式计算即可.
【详解】
原式
.
【点睛】
本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法，熟记两个运算公式是解题的关键.
32．观察下列各式：
；；；
请根据这一规律计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）观察题中所给的三个等式，可知等 ( http: / / www.21cnjy.com )式右边第一项的次数等于左边第二个括号内最高次项的次数加1，等式右边第二项均为1，据此可解；
（2）根据（1）中所得的规律，可将原式左边乘以（2-1），再按照（1）中规律计算即可．
【详解】
（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
33．好学的晓璐同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x 2x 3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？
根据尝试和总结她发现：一次项就是：x×5×（﹣6）+2x×4×（﹣6）+3x×4×5＝﹣3x．
请你认真领会晓璐同学解决问题的思路、方法，仔细分析上面等式的结构特征，结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题：21cnjy.com
（1）计算（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为 ，一次项为 ；
（2）若计算（x+1）（﹣3x+m）（2x﹣1）（m为常数）所得的多项式不含一次项，求m的值；
（3）若（x+1）2021＝a0x2021+a1x2020+a2x2019+…+a2020x+a2021，则a2020＝ ．21*cnjy*com
【答案】（1）15x3，﹣11x；（2）m＝－3；（3）2021
【分析】
（1）求多项式的最高次项，把 ( http: / / www.21cnjy.com )每个因式的多项式最高次项相乘即可；求一次项，含有一次项的有x，3x，5x，这三个中依次选出其中一个再与另外两项中的常数相乘最终积相加，或者展开所有的式子得出一次项即可．
（2）先根据（1）所求方法求出一次项系数，最后用m表示，列出等式，求出m；
（3）根据前两问的规律可以计算出第（3）问的值．
【详解】
（1）由题意得：
（x+2）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的最高次项为x×3x×5x＝15x3，
一次项为：1×1×（﹣3）x+2×3×（﹣3）x+2×1×5x＝﹣11x，
故答案为：15x3，﹣11x；
（2）依题意有：1×m×（﹣1）+1×（﹣3）×（﹣1）+1×m×2＝0，
解得m＝﹣3；
（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数，
∵展开之后x的一次项共有2021个，且每一项的系数都为，
∴
故答案为：2021．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次 ( http: / / www.21cnjy.com )项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．
34．已知将化简的结果不含和项．
（1）求m、n的值；
（2）当m、n取第（1）小题的值时，求的值．
【答案】（1）m=-4，n=-12；（2）128
【分析】
（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项即可得到m与n的值；
（2）根据题意，将（1）中所求m、n的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）
；
∵化简的结果不含和项，
∴，，
∴，；
（2）；
【点睛】
此题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
35．用比较法解题，可以化难为易，同学们试一下：
（1）如果，则______．
（2）存不存在m，k的值使成立，若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）-5；（2）存在，m=-2，k=-1
【分析】
（1）已知等式左边利用多项式乘多项式 ( http: / / www.21cnjy.com )法则计算，合并后利用多项式相等的条件即可求出a的值；
（2）先将等式左边利用多项式乘多项式法则计算，然后根据对应项系数相等求出m，k的值．
【详解】
解：（1）（x+3）（x+a）=x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+（a+3）x+3a=x2-2x-15，
可得a+3=-2，
解得：a=-5．
故答案为：-5．
（2）（x+m）（2x2-kx-3）=2x3+（-k+2m）x2+（-3-mk）x-3m=2x3-3x2-5x+6，
则-3m=6，-k+2m=-3
所以m=-2，k=-1．【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
36．计算：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）x +6x+8．
【分析】
（1）直接利用幂的乘方运算法则及合并同类项，化简得出答案；
（2）根据多项式乘以多项式，即可解答．
【详解】
（1）原式==；
（2）原式=x +4x+2x+9=x +6x+8．
【点睛】
本题考查了幂的乘方运算法则及合并同类项，多项式乘以多项式，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
37．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，在中间边长为的正方形空地上修建一座雕像．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）则绿化的面积是多少平方米？
（2）当，时，求绿化的面积．
【答案】（1）平方米;（2）116平方米．
【分析】
（1）根据绿化的面积=长方形面积正方形面积，结合长方形、正方形面积公式及多项式乘以多项式解题即可；
（2）将，代入（1）中结果计算解题即可．
【详解】
（1）长方形面积：，正方形面积：，
绿化面积：-
答：绿化的面积是平方米．
（2）当，时，
答：绿化的面积是116平方米．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式、列代数式求值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
38．计算：
【答案】
【分析】
先单项式乘多项式法则计算，再利用单项式与单项式法则计算，最后合并同类项即可，
【详解】
解：原式，
．
【点睛】
本题考查整式的乘法混合运算，掌握整式乘法的运算法则，同类项以及合并同类项法则世界关键．
39．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算混合计算即可；
（2）综合利用积的乘方以及幂的乘方运算简便计算即可；
（3）根据多项式乘多项式法则运算即可；
（4）可先提取公因式，进行简便计算即可．
【详解】
（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
【点睛】
本题主要考查整式乘法运算，熟记运算法则并且灵活用于简便计算是解题关键．
40．正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为b和a将它们如图所示放置，求图中阴影部分的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
根据题意可得：，再利用正方形的面积与三角形的面积公式可得答案．
【详解】
解：由题意得：
【点睛】
本题考查的是阴影部分的面积的计算，同时考查去括号，整式的加减乘除的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．21·世纪*教育网
41．计算：
【答案】﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4．
【分析】
根据单项式乘多项式的运算法则求解即可．
【详解】
原式＝a2b2（﹣a2b﹣12ab+b2）
＝﹣8a4b3﹣a3b3+a2b4
【点睛】
本题考查单项式乘多项式，熟记基础的运算法则和运算顺序是解题关键．
42．计算：．
【答案】．
【分析】
根据多项式乘多项式的运算法则即可得．
【详解】
原式，
．
【点睛】
本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
43．新学期开学，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在讲台上，请根据图中所给的数据信息，解答下列问题．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）一本数学课本的高度是多少厘米？
（2）讲台的高度是多少厘米？
（3）请写出整齐叠放在桌面上的本数学课本距离地面的高度的式子（用含有的式子表示）
（4）若桌面上有一些同样的数学课本，整齐叠放成一摞，数学课本距离地面的高度是104厘米，你能求出有几本数学书吗？写出你的理由．
【答案】（1）0.5厘米；（2）85厘米；（3）厘米；（4）38本，理由见解析
【分析】
（1）根据图形可以求得一本数学课 ( http: / / www.21cnjy.com )本的高度；
（2）根据图形可以求得讲台的高度；
（3）根据图形可以用代数式表示出整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度；
（4）根据题意可以求得余下的数学课本距离地面的高度．www-2-1-cnjy-com
【详解】
（1）由题意可得，一本数学课本的高度是：（88 86.5）÷3＝1.5÷3＝0.5（厘米），
答：一本数学课本的高度是0.5厘米；
（2）讲台的高度是：86.5 3×0.5＝86.5 1.5＝85（厘米），即讲台的高度是 85厘米；
（3）整齐叠放在桌面上的x本数学课本距离地面的高度是：（85＋0.5x）厘米；
（4）有38本书，理由：
由题意，得：，
解得：
【点睛】
本题考查代数式求值、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
44．(1)先化简再求值：当(a-1)2+|b+2|=0时，求的值．
(2)当2a -3b=-1时，求4a2 - 6ab +3b的值．
【答案】(1) ，；(2)1．
【分析】
（1）利用非负数和求出，再合并同类项，赋值准确计算即可，
（2）先把条件变形，用含的代数式表示3b,整体代入，化简合并同类项即可．
【详解】
(1) 由(-1)2+|b+2|=0，
∵(-1)2≥0，|b+2|≥0，
∴，
∴，
，
=，
=，
当时，
原式=．
(2)由2 -3b=-1变形得3b=2+1，
42 - 6b +3b=42 - +2+1==1．
【点睛】
本题考查化简求值问题，掌握非负数和的求值方法，条件变形方法，会化简合并同类项，会单项式乘以多项式的乘法法则是解题关键．2-1-c-n-j-y
45．已知：（x2+px+2）（x-1）的结果中不含x的二次项，求p2020的值．
【答案】1
【分析】
先根据多项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后得出方程 1＋p＝0，求出p即可．
【详解】
（x2＋px＋2）（x 1）
＝x3 x2＋px2 px＋2x 2
＝x3＋（ 1＋p）x2＋（ p＋2）x 2，
∵结果中不含的二次项，
∴，
解得：p=1．
故．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，能根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
46．多项式、，与的乘积中不含有和项．
（1）试确定和的值；
（2）求．
【答案】（1），；（2）
【分析】
（1）直接利用多项式乘法计算进而得出，的值；
（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．
【详解】
解：（1）
，
∵多项式、，与的乘积中不含有和项，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得：
．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．
47．先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】
先对整式进行化简，然后再代入求解即可．
【详解】
解：原式=，
把代入原式得：原式=．
【点睛】
本题主要考查整式的乘除，熟练掌握整式的乘除运算是解题的关键．
48．已知多项式与另一个多项式的乘积为多项式．
（1）若为关于的一次多项式，为关于的二次二项式，求的值；
（2）若为，求的值．
【答案】（1）a=-3；（2）7
【分析】
（1）根据题意列出B=(x+3)(x+a)=x2+(a+3)x+3a，根据B中x的一次项系数为0，进而可得a的值；
（2）根据B为，可以设A为x2+tx+2，根据多项式x+3与另一个多项式A的乘积为多项式B，即可用含t的式子表示出p和q，进而可得3p-q的值；www.21-cn-jy.com
【详解】
解：（1）根据题意可知：
B=(x+3)(x+a)=x2+(a+3)x+3a，
∵为关于的一次多项式，
∴a≠0，
∴3a≠0，
又B为关于x的二次二项式，
∴B中x的一次项系数为0，
∴a+3=0，解得a=-3．
（2）设A为x2+tx+2，
则(x+3)(x2+tx+2)=x3+(t+3)x2+(2+3t)x+6=x3+px2+qx+6，
∴，
∴3p-q=3(t+3)-(3t+2)=7；
【点睛】
本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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