中小学教育资源及组卷应用平台
第四讲 整式的乘法
一、单选题
1．若，则等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020
2．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4 B．5 C．8 D．10
3．观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．22016
4．已知x1，x2，…，x2016 ( http: / / www.21cnjy.com )均为正数，且满足M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016），N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015），则M，N的大小关系是（ ）21cnjy.com
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M≥N
5．已知均为负数，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形(正方形和正方形)．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．100 B．96 C．90 D．86
7．有足够多的如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要、、类卡片的张数分别为( )21·cn·jy·com
A．1、2、3 B．2、1、3 C．1、3、2 D．2、3、1
8．我们规定一种运算：，其中都是有理数，则等于
A． B． C． D．
9．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
10．若，则a+b=
A．-2 B． C．2 D．4
11．下列运算正确的是：
A． B．
C． D．
12．已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（ ）
A． B． C．11 D．19
13．如图，有长方形面积的四种表示法：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①
②
③
④其中（ ）
A．只有①正确 B．只有④正确 C．有①④正确 D．四个都正确
14．若把多项式因式分解后含有因式，则为( )
A．－1 B．1 C． D．3
15．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
二、填空题
16．若的积不含项，则___________．
17．如图，有一个正六边形的点阵，层数由内向外第一层每边有两个点，第二层每边有三个点，依此类推，从射线开始，沿逆时针方向按顺序将每个点依次标上1，2，3，4，5，6，7，……用含的代数式表示：第层共有______个点、射线上第个数字是________．21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
18．如果.那么_________
19．若，其中均为整数，则m的值为_______．
20．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前 ( http: / / www.21cnjy.com )列，如杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数，结合杨辉三角的理解完成以下问题：www.21-cn-jy.com
（1）（a＋b）2展开式a2＋2a ( http: / / www.21cnjy.com )b＋b2中每一项的次数都是_______次；（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b2中每一项的次数都是_______次；那么（a＋b）n展开式中每一项的次数都是______次．
（2）写出（a＋b）4的展开式______________________________．
（3）写出（x＋1）5的展开式_________________________．
（4）拓展应用：计算（x＋1）5＋（x－1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为________________．
21．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
22．已知，则______
23．如图所示，长方形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
24．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.【来源：21·世纪·教育·网】
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
25．若，则__________
三、解答题
26．好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．21·世纪*教育网
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．www-2-1-cnjy-com
（1）计算所得多项式的一次项系数为______．
（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；
（3）若，则______．
27．（感悟数学方法）
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．21世纪教育网版权所有
28．已知为有理数，现规定一种新运算，满足．
求的值；
求的值；
，探索与两个式子是否相等，说明理由．
29．我国古代数学的许多发现都曾位 ( http: / / www.21cnjy.com )居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝ ．
（2）的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
30．已知：
（1）当时，______．
（2）试求：的值．
（3）判断的值的个位数是______．
31．我们伟大祖国伟大人民在人类历史上，有过无比睿智的成就，“杨辉三角”就是一例，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由小到大的顺序）的系数规律，例如，第三行的3个数1，2，1，恰好对应着=展开式中各项系数，第四行的4个数1，3，3，1，恰好对应着=展开式中各项系数．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）写出的展开式；
（2）求出的展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数．
32．某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建两横纵宽度均为a米的三条小路，其余部分修建花圃.(1)用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简。(2)记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2,若2S2-S1=7b2,求的值.【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
33．李狗蛋同学在学习整式乘法 ( http: / / www.21cnjy.com )公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：【出处：21教育名师】
（1）探究：____；
___；
_____；
（2）猜想：______（为正整数，且）；
（3）利用上述猜想的结论计算：的值．
34．阅读以下材料：
；
；
（1）根据以上规律，= ；
（2）利用（1）的结论，求的值
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第四讲 整式的乘法
一、单选题
1．若，则等于（ ）
A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020
【答案】C
【分析】
将变形为，，代入即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴
=2018．
故选：C
【点睛】
本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．
2．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（ ）个
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析】
先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．
【详解】
，
，
，
根据为整数，有以下10种情况：
（1）当时，；
（2）当时，；
（3）当时，；
（4）当时，；
（5）当时，；
（6）当时，；
（7）当时，；
（8）当时，；
（9）当时，；
（10）当时，；
综上，符合条件的m的值为，共有5个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．
3．观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．22016
【答案】C
【分析】
先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据求出x的值，然后代入求值即可得．
【详解】
观察等式：，
，
，
归纳类推得：，其中n为大于1的整数，
则，
即，
解得，
则，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多项式乘法中的规律性问题、有理数的乘方，依据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
4．已知x1，x2，…，x2016均为正数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且满足M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016），N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015），则M，N的大小关系是（ ）www.21-cn-jy.com
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M≥N
【答案】A
【分析】
设x1+x2+x3+…+x2015=A, ( http: / / www.21cnjy.com )对M，N变形后再作差M-N，结果与0比较大小，若大于0，则M>N；若等于0，则M=N；若小于0，则M【详解】
解：令x2+x3+…+x2015=A，
则N＝（x1+x2+x3+…+x2015+x2016）(x2+x3+…+x2015）
＝（x1+A+x2016） A
＝x1 A+A2+x2016 A，
M＝（x1+ x2+x3+…+x2015）（x2+x3+…+x2015+x2016）
＝（A+x1）（A+x2016）
＝A2+A x2016+A x1+x1 x2016，
∴M－N＝（A2+A x2016+A x1+x1 x2016）－（x1 A+A2+x2016 A）
＝x1 x2016，
∵x1，x2，…，x2016均为正数，
∴x1 x2016＞0，
∴M＞N，
故选：A．
【点睛】
本题主要考察整式的混合运算，通过对x2+x3 ( http: / / www.21cnjy.com )+…+x2015=A进行换元，对整个式子化简后作差再与0比较大小，能想到换元法是解决本题的关键.www-2-1-cnjy-com
5．已知均为负数，，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】
根据换元法将，设，，则，，作差即可求得大小关系.
【详解】
设，，
则，
，
由于均为负数
所以为负数，则，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想，属难题.
6．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形(正方形和正方形)．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．100 B．96 C．90 D．86
【答案】C
【分析】
设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得：
的长为：，宽为：，故
的长为：，宽为：，故；
的长为：，宽为：，故．
∵，
整理得
故选：．
【点睛】
本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．
7．有足够多的如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要、、类卡片的张数分别为( )
A．1、2、3 B．2、1、3 C．1、3、2 D．2、3、1
【答案】B
【分析】
拼成大长方形的面积是(2a+b)(a+b ( http: / / www.21cnjy.com ))=2a2+3ab+b2，即需要2个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，3个边长分别为a，b的长方形卡片.
【详解】
解：∵(2a+b)(a+b)
=2a2+2ab+ab+b2
=2a2+3ab+b2
∴需要A、B、C类卡片的张数分别为：2，1，3.
故选：B
【点睛】
本题考查了多项式与多项式的乘法运算，利用各个面积之和等于总面积解决问题，数形结合是解答此题的关键.
8．我们规定一种运算：，其中都是有理数，则等于
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
依据去括号和合并同类项法则，按照题目规定的运算规则进行计算.
【详解】
解：
=
=
=
=
故选A
【点睛】
本题目为规定新运算题，考查学生的阅读理解，迁移应用能力，读懂规定的运算规则是解答此题的关键.
9．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
【点睛】
本题考查多项式相乘展开系数问题.
10．若，则a+b=
A．-2 B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】
当 时， ；当 时，；解得： ，故选D.
11．下列运算正确的是：
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：根据同类项的特点，可知不能计算，故不正确；
根据单项式的乘法和同底数幂相乘，可知，故不正确；
根据积的乘方，可知，故不正确；
根据积的乘方，可知，故正确.
故选：D.
12．已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（ ）
A． B． C．11 D．19
【答案】B
【解析】
试题分析：根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，可知x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原式=33÷42=.21*cnjy*com
故选：B
点睛：此题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是明确同底数幂的除法和幂的乘方的法则，然后逆用代入计算即可.
同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
13．如图，有长方形面积的四种表示法：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①
②
③
④其中（ ）
A．只有①正确 B．只有④正确 C．有①④正确 D．四个都正确
【答案】D
【解析】
试题分析：根据大长方形可求的面积为（m+n）（a+b），故①正确；
根据乘法分配律可知（m+n）（a+b）=m（a+b）+n（a+b）或（m+n）（a+b）=a（m+n）+b（m+n），故②③正确；
根据分解后的图形，可得面积为：an+bn+am+bm，故④正确.
故选D
14．若把多项式因式分解后含有因式，则为( )
A．－1 B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：根据整式的乘法公式x2+px+q=（x+a）（x+b），可知a+b=p，ab=q，因此知-2×3=6，所以可得到-2+3=1 .
故选B
15．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据正方形、长方形的面积公式结合完全平方公式分析各选项即可.
由图可得，
∴，，，
∴，
∴，
故选C.
考点：完全平方公式，正方形的面积公式，长方形的面积公式
点评：解题的关键是熟练掌握完全平方公式：
二、填空题
16．若的积不含项，则___________．
【答案】
【分析】
先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．
【详解】
解：
=
=
∵的积不含项，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
17．如图，有一个正六边形的点阵，层数由内向外第一层每边有两个点，第二层每边有三个点，依此类推，从射线开始，沿逆时针方向按顺序将每个点依次标上1，2，3，4，5，6，7，……用含的代数式表示：第层共有______个点、射线上第个数字是________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【分析】
先分别求出第1、2、3层的点的个数，再归纳类推出一般规律即可得；先分别求出射线OC上第1、2、3个数字，再归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
第1层共有的点的个数为6，
第2层共有的点的个数为，
第3层共有的点的个数为，
归纳类推得：第层共有的点的个数为；
射线OC上第1个数字为，
射线OC上第2个数字为，
射线OC上第3个数字为，
归纳类推得：射线OC上第n个数字为，
，
，
，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了用代数式表示图形的规律型问题、整式的乘法与加减法的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
18．如果.那么_________
【答案】-1
【分析】
根据得到，再把原式变形，然后把整体代入求值即可得解.
【详解】
解：，
故答案为-1
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，解题关键是把原条件变形后整体代入所求算式的变形式中计算.
19．若，其中均为整数，则m的值为_______．
【答案】或
【分析】
先根据整式的乘法运算可得，再根据“均为整数”分情况求解即可得．
【详解】
，
，
，
，
均为整数，
分以下8种情况：
①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
⑥当时，，
⑦当时，，
⑧当时，，
综上，m的值为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则，并正确分情况讨论是解题关键．
20．我国古代数学的许多发 ( http: / / www.21cnjy.com )现都曾位居世界前列，如杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数，结合杨辉三角的理解完成以下问题：21世纪教育网版权所有
（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2 ( http: / / www.21cnjy.com )中每一项的次数都是_______次；（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b2中每一项的次数都是_______次；那么（a＋b）n展开式中每一项的次数都是______次．
（2）写出（a＋b）4的展开式______________________________．
（3）写出（x＋1）5的展开式_________________________．
（4）拓展应用：计算（x＋1）5＋（x－1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为________________．
【答案】（1）2，3，n；（2）；（3）；（4）16
【分析】
（1）观察（a＋b）2展开式和（a＋b）3展开式中各项，即可得答案；
（2）根据展开式的系数规律，可知（a＋1）4的展开式的各项系数，按照a降幂b升幂排列，即可得解；
（3）与（2）同理可得；
（4）根据（3）的结果，再按杨辉三角，分别求得（x 1）6和（x＋1）7展开式中x5项的系数，几个系数相加即可得答案．21教育网
【详解】
解：（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中的项分别为：a2、2ab、b2，它们的次数都是2．
（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b3中的项分别为：a3、3a2b、3ab2、b3，它们的次数都是3，
故答案为：2；3；n；
（2）根据展开式系数规律可知（a＋1）4的展开式的各项系数分别为：
1，4，6，4，1，
按照a降幂、b升幂，可得：（a＋1）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
故答案为：a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4；
（3）与（2）同理，（x＋1）5的展开式为：，
故填：；
（4）（x＋1）5的展开式x5项的系数为1；
按照杨辉三角可知（x 1）6＝x6＋6x5 （ 1）＋…＋1
（x＋1）7＝x7＋7x6×1＋21x5×12＋…＋1
∴（x＋1）5＋（x 1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为：
1＋6×（ 1）＋21＝16
故答案为：16．
【点睛】
本题考查了杨辉三角在多项式展开式系数中的应用，明确杨辉三角的展开式的原理，是解题的关键．
21．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
【分析】
利用已知各项系数变化规律进而得出答案．
【详解】
解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+ ( http: / / www.21cnjy.com )6a2b2+4ab3+b4；
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．21教育名师原创作品
【点睛】
本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
22．已知，则______
【答案】9.
【分析】
观察发现，对的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.
【详解】
解：，
【点睛】
本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.
23．如图所示，长方形ABCD中放置两 ( http: / / www.21cnjy.com )个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为__________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】24
【分析】
设KF=a，FL=b，利用a，b表示出图中的阴影部分面积S1与长方形面积S2，然后根据3S2－S1=96可得a，b的关系式，然后可求周长．
【详解】
设KF=a，FL=b，
由图可得，EK=BH=LJ=GD=4-a，KH=EB=GL=DJ==4-b，
∴S1=
S2=
∵3S2－S1=96
∴
整理得：
∴长方形ABCD的周长=
故答案为：24．
【点睛】
本题考查列代数式表示图形面积以及代数式求值，利用长方形KFLI的长和宽表示出图形面积是解题的关键．
24．已知、、均为正整数，若存在整数使得，则称、关于同余，记作。若、、、、均为正整数，则以下结论错误的是_____.【出处：21教育名师】
①；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
【答案】④
【分析】
根据新定义进行推理论证便可判断正误．
【详解】
解：①，
，
故①正确；
②，，
，、为整数），
由两式相加可得：，为整数），
，
故②正确；
③，，
，、为整数），
，，
由两式相乘可得：，
，为整数，
，
故③正确；
④，，
，，
，，
两式相除得，，
，
不一定是整数，
不一定正确，
故④错误．
答案为④．
【点睛】
本题是一个新定义题，关键是根据新定义进行推理计算，主要考查了学生的推理能力和自学能力．
25．若，则__________
【答案】2
【分析】
把原式化简得，，根据非负数的性质得到a、b的值，代入所求式子计算即可．
【详解】
原式可化为：，
∴a=2，b=1，代入ab=2×1=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了代数式求值的运算，非负数的性质，完全平方公式应用，掌握非负数的性质是解题的关键．
三、解答题
26．好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．21cnjy.com
请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）计算所得多项式的一次项系数为______．
（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；
（3）若，则______．
【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．
【分析】
根据题意可得出结论多项式和多项式相乘所得结果的一次项系数是每个多项式的一次项系数分别乘以其他多项式的常数项后相加所得．
（1）中每个多项式的一次项系数分别是1、3、5，常数项分别是2、1、-3，再根据结论即可求出所得多项式的一次项系数．
（2）中每个多项式的一次项系数分别是1、-3、2，常数项分别是1、a、-1，再根据所得多项式的一次项系数为0，结合结论即可列关于a的一元一次方程，从而求出a．
（3）中每个多项式一次项系数为1，常数项系数也为1，为所得多项式的一次项系数．所以根据结论为2121个相加，即可得出结果．
【详解】
（1）根据题意可知的一次项系数为：
．
故答案为-11．
（2）根据题意可知的一次项系数为：
∵该多项式不含一次项，即一次项系数为0，
∴
解得．
（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数．
∴
故答案为2021
【点睛】
本题考查多项式乘多项式以及 ( http: / / www.21cnjy.com )对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．
27．（感悟数学方法）
已知：，．
（1）计算：；
（2）若的值与字母的取值无关，求的值．
（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：
新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．21*cnjy*com
【答案】感悟数学方法：（1）；（2）；解决实际问题：．
【分析】
感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；
（2）根据“值与字母的取值无关”建立方程，再解方程即可得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得．
【详解】
感悟数学方法：（1），，
，
，
；
（2），
的值与字母的取值无关，
，
解得；
解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱，
则经销商的利润为，
，
，
要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，
则，
解得．
【点睛】
本题考查了整式乘法与加减法的应用、以及无关型问题、一元一次方程的应用，正确列出利润的表达式是解题关键．
28．已知为有理数，现规定一种新运算，满足．
求的值；
求的值；
，探索与两个式子是否相等，说明理由．
【答案】（1）8；（2）240；（3）不相等，理由见解析．
【分析】
（1）先根据新运算列出运算式子，再计算含乘方的有理数混合运算即可得；
（2）利用两次新运算进行转化，再计算即可得；
（3）先根据新运算列出运算式子，再计算整式的加减法与乘法即可得．
【详解】
（1），
，
；
（2），
，
，
，
，
；
（3）两个式子不相等，理由如下：
，
，
则，
，
，
，
因为，
所以，
所以与两个式子不相等．
【点睛】
本题考查了含乘方的有理数混合运算、整式的加减法与乘法，读懂题意，掌握新运算的定义是解题关键．
29．我国古代数学的许多发现都 ( http: / / www.21cnjy.com )曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝ ．
（2）的展开式共有______项，系数和为_______．
（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．
（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．
【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）；（3）1；（4）三
【分析】
（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可；
（2）直接根据得出的规律即可求解；
（3）利用规律计算原式即可得到结果；
（4）由8100，根据得出的规律即可求解．
【详解】
解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；
（2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列，
∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为；
（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；
（4）8100
根据规律可知，除以7余数为1，
∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．
【点睛】
此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．
30．已知：
（1）当时，______．
（2）试求：的值．
（3）判断的值的个位数是______．
【答案】（1）80；（2）63；（3）7．
【分析】
（1）根据有理数的乘方运算法则即可得；
（2）先根据已知等式归纳类推出一般规律，再将代入求值即可得；
（3）先根据一般规律可求出结果，再根据有理数的乘方即可得．
【详解】
（1），
故答案为：80；
（2）归纳类推得：，其中，且为整数，
则，
，
；
（3），
，
∵，，，，，，且，
∴的个位数与的个位数相同，即为8，
∴的个位数为7，
即的值的个位数为7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方、整式乘法的规律性问题等知识点，根据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．【来源：21cnj*y.co*m】
31．我们伟大祖国伟大人民在人类历史上，有过无比睿智的成就，“杨辉三角”就是一例，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由小到大的顺序）的系数规律，例如，第三行的3个数1，2，1，恰好对应着=展开式中各项系数，第四行的4个数1，3，3，1，恰好对应着=展开式中各项系数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）写出的展开式；
（2）求出的展开式中（按的次数由大到小的顺序）倒数第三项的系数．
【答案】（1）（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（2）105
【分析】
根据规律能得出（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5的值，即可推出（a+b）6的值；
（2）分别得出（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5的展开式中倒数第三项的系数，得出规律再求解即可．21·cn·jy·com
【详解】
解：（1）∵（a+b）1=a+b， ( http: / / www.21cnjy.com )
（a+b）2=a2+2ab+b2，
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
∴（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．【版权所有：21教育】
（2）由图中规律可得：
（a+b）2的展开式中倒数第三项的系数为：1，
（a+b）3的展开式中倒数第三项的系数为：1+2=3，
（a+b）4的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+3=6，
（a+b）5的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+3+4=10，
∴的展开式中倒数第三项的系数为：1+2+...+14=105．
【点睛】
本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”．
32．某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建两横纵宽度均为a米的三条小路，其余部分修建花圃.(1)用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简。(2)记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2,若2S2-S1=7b2,求的值.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）2a2+10ab+8b2；（2）．
【分析】
（1）把三条小路使花圃的面积变 ( http: / / www.21cnjy.com )为一个矩形的面积，所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a），然后利用展开公式展开合并即可；
（2）利用2S2-S1=7b2得到b=2a，则用a表示S1、S2，然后计算它们的比值．
【详解】
解：（1）平移后图形为：（空白处为花圃的面积）
( http: / / www.21cnjy.com / )
所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a）
=（2a+2b）（a+4b）
=2a2+8ab+2ab+8b2
=2a2+10ab+8b2；
（2）S1=（4a+2b）（2a+4b）=8a2+20ab+8b2，
S2=2a2+10ab+8b2；
∵2S2-S1=7b2，
∴2（2a2+10ab+8b2）-（8a2+20ab+8b2）=7b2，
∴b2=4a2，
∴b=2a，
∴S1=8a2+40a2+32a2=80a2，S2=2a2+20a2+32a2=54a2，
∴．
【点睛】
本题考查了生活中的平移现象：在平面内， ( http: / / www.21cnjy.com )把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．通过平移把不规则的图形变为规则图形．也考查了代数式．
33．李狗蛋同学在学习整式乘法公 ( http: / / www.21cnjy.com )式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：
（1）探究：____；
___；
_____；
（2）猜想：______（为正整数，且）；
（3）利用上述猜想的结论计算：的值．
【答案】（1），，；（2）；（3）341
【分析】
（1）根据平方差公式及多项式乘多项式法则计算即可；
（2）根据（1）的答案归纳总结即可；
（3）利用（2）的规律变形为（2）的形式计算即可．
【详解】
解：（1），
，
，
故答案为：，，；
（2）根据（1）的结果可知：，
故答案为：；
（3）原式
．
【点睛】
本题考查了平方差公式及多项式乘以多项式的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键．
34．阅读以下材料：
；
；
（1）根据以上规律，= ；
（2）利用（1）的结论，求的值
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.
（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成
形式，即可利用（1）的结论进行求解.
【详解】
（1）中最高次项为，
所以=-1；
（2）
=（5-1）（）
=
【点睛】
仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
