第五讲 平方差公式(基础讲解)（解析版）

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第五讲 平方差公式
【学习目标】
1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【知识总结】
一、平方差公式
[语言叙述] 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．
[字母表达式] (a＋b)(a－b)＝a2－b2
[结构特征]
1、左边是“两数的和”乘“这两数的差”，即左边是两个二项式的积，这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；21世纪教育网版权所有
2、右边是“这两数的平方差”，即右边也是一个二项式，这个二项式是平方差的形式，并且是左边的相同项的平方减去互为相反数的项的平方．21·cn·jy·com
[注意] 公式中的字母“a”“b”可以表示数，也可以表示式子．
平方差公式的应用一般有下面的几种变形
(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；
(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；
(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；
(4)指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4；
(5)增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2；…
二、平方差公式的几何意义
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图1－5－6
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
三、平方差公式的运用技巧
有些多项式的乘法(或计算两个有理数的积时 ( http: / / www.21cnjy.com ))，表面上看起来好像不能直接运用平方差公式计算，实际上经过简单变形后，就能直接运用平方差公式进行计算了．2·1·c·n·j·y
运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其写成平方差公式的形式，即(a＋b)(a－b)的形式. 找出a是最关键的地方，有两个方法：【来源：21·世纪·教育·网】
(1)观察法，如计算2015×2017，显然a应为2016，
则2015×2017＝(2016－1)(2016＋1)；
(2)平均数法，如计算40×39，则a＝＝40，
则40×39＝.
【典型例题】
【类型】一、公式法——平方差公式
例1、 下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　）
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，进而可得答案．21cnjy.com
【答案与解析】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；②x2﹣y2；④﹣x2+y2；，共2个，故选：B．
【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断．21·世纪*教育网
例2、分解因式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进行因式分解.www-2-1-cnjy-com
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“”．（3）一定要把两项写成的形式，再套用平方差公式． 2-1-c-n-j-y
【训练】分解因式：
（1）；（2）．
【答案】
解：（1）．
（2）
．
【训练】 下列各式能用平方差公式计算的是（　　）
　 A.（2a+b）（2b﹣a） B.（﹣x+1）（﹣x﹣1）
C.（a+b）（a﹣2b） D.（2x﹣1）（﹣2x+1）
【答案】B．
【类型】二、平方差公式的应用
例3、 计算20152﹣2014×2016的结果是（　 　）
　 A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1
【思路点拨】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【答案】D；
【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，
故选D.
【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【训练】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
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【答案】A；
【训练】用简便方法计算：（1）；（2）.
【答案】
解：（1）原式
（2）原式
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例4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．21*cnjy*com
【答案与解析】
解：设大正方形的边长为，则小正方形的边长为(－24)．
依题可列．
运用平方差公式：[＋(－24)][ －(－24)]＝960．
24(2－24)＝960．
解得＝32．－24＝32－24＝8．
答：它们的边长分别为32厘米，8厘米．
【总结升华】无论在哪一方面应用因式 ( http: / / www.21cnjy.com )分解，都须仔细观察，是有公因式还是符合公式，切忌不能盲目乱用，这样应用起来才能达到真正意义上的化简，不然反而走向误区，就是说不要为用因式分解而用，要因题用，能用则用，不能用千万别用，千万别硬套.21教育网
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