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第五讲 平方差公式
一、单选题
1．算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】
先配一个（2-1），则可利用平方差公式计算出原式=264，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解．21教育网
【详解】
解：原式=（2-1）（2+1）×（22+1） ( http: / / www.21cnjy.com )×（24+1）×…×（232+1）+1
=（22-1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（24-1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（232-1）×（232+1）+1
=264-1+1
=264，
因为21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，
所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，
所以264的个位数是6．
故选：B．21·cn·jy·com
【点睛】本题考查了平方差公式 ( http: / / www.21cnjy.com ),解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2．【来源：21cnj*y.co*m】
2．的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
【答案】D
【分析】
先将2变形为，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．
【详解】
解：
，，，，，，，，
的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，
，故与的个位数字相同即为1，
∴的个位数字为0，
∴的个位数字是0．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．
3．化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将3转换成的形式，再利用平方差公式求解即可．
【详解】
故答案为：A．
【点睛】
本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．
4．若……，则A的值是
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】
把变成然后利用平方差公式计算即可
【详解】
……
……
……
故选D
【点睛】
能够灵活运用平方差公式解题是本题关键
5．计算的值为（ ）
A．5048 B．50 C．4950 D．5050
【答案】D
【解析】
【分析】
把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二 ( http: / / www.21cnjy.com )项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．
【详解】
解：1002-992+9 ( http: / / www.21cnjy.com )82-972+…+22-12
=（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502）
=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）
=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1
=101×（99-97+95-…+3-1）
=101×（2+2+…+2）
=101×25×2
=5050．21cnjy.com
故答案为D.
【点睛】
此题考查了平方差公式的运用，技巧性比 ( http: / / www.21cnjy.com )较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键．
6．利用平方差公式计算的结果是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2.
【详解】
解：，
故选择C.
【点睛】
本题考查了平方差公式，应牢记公式的形式.
7．（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先乘以（2-1）值不变，再利用平方差公式进行化简即可.
【详解】
=（2-1）
=24n-1.
故选A.
【点睛】
本题考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用平方差公式是解题关键.
8．…+1 的个位数字为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
解：（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64=16×4，故原式的个位数字为6．故选C．www-2-1-cnjy-com
点睛：本题考查了平方差公式的运用，幂的个位数的求法，重复使用平方差公式是解题的关键．
9．在，，，这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由于，所以；；；因与的奇偶性相同，一奇一偶，故不能表示为两个整数的平方差． 故选A.
二、填空题
10．的值为_______．
【答案】
【分析】
设，利用平方差公式求出的值，由此即可得．
【详解】
设，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．
11．计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
【答案】264
【分析】
在原式前面乘以（2﹣1）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可．
【详解】
原式＝
＝
＝
＝264﹣1+1
＝264；
故本题答案为264．
【点睛】
此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是将原式变形为平方差的形式．
12．计算：____________.
【答案】2019.
【分析】
原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【详解】
解：∵
∴=
故答案是：2019.
【点睛】
此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
13．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128…【出处：21教育名师】
则算式(2＋1) ×(22＋1) ×(24＋1) ×…×(232＋1)＋1计算结果的个位数字是_____________.
【答案】6
【解析】分析：先配一个（2﹣1），则可利用平方差公式计算出原式=264，然后利用底数为2的正整数次幂的个位数的规律求解．21教育名师原创作品
详解：原式=（2﹣1）（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（22﹣1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（24﹣1）×（24+1）×…×（232+1）+1
=（232﹣1）×（232+1）+1
=264﹣1+1
=264，因为2 ( http: / / www.21cnjy.com )1=2，22=4，23=8，24=16，25=32，所以底数为2的正整数次幂的个位数是2、4、8、6的循环，所以264的个位数是6．21世纪教育网版权所有
故答案为：6．
点睛：本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．21·世纪*教育网
三、解答题
14．定义：若实数x，y满足，，且x≠y，则称点M(x，y)为“好点”．例如，点(0，－2)和 (－2，0)是“好点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P(m，n)．21*cnjy*com
(1)P1(3，1)和P2(－3，1)两点中，点________________是“好点”．
(2)若点P(m，n)是“好点”，求m+n的值．
(3)若点P是“好点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【分析】
(1)将P1(3，1)和P2(－3，1)分别代入等式即可得出结果；
(2)将点P(m，n)代入等式即可得出m+n的值；
(3)根据“好点”的定义，将P点代入即可得到关于m和n的等式，将两个等式结合即可得出结果．
【详解】
解：(1)对于，，
对于，，，所以是“好点”
(2)∵点是好点，
∴，
，
∴
(3)∵，
①，
②，
得，
即，
由题知，，
由②得，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
所以，
【点睛】
本题主要考查的是新定义“好点”，正确的掌握整式的乘法解题的关键．
15．仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
【答案】（1）252﹣212=8 ( http: / / www.21cnjy.com )×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1），验证见解析；（3）164000．www.21-cn-jy.com
【分析】
（1）式子总的特点是两个差为4的数的平方差等于某个数的8倍，其中每个式子中变化的数都是依次递增4，根据这个特点可以写出第6个等式；2·1·c·n·j·y
（2）观察前面几个算式，把每个等式中变化的部分都表示成用等式序数n表示的代数式，即可得解；
（3）逆向运用前面所得的等式，消去互为相反数的部分，可以得到解答．
【详解】
（1）根据式子的特点，可知第6个等式是：
252﹣212=8×23．
故答案为：252﹣212=8×23；
（2）第n个等式是：
（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1）．
验证：左边=（4n+1）2﹣（4n﹣3）2
=16n2+8n+1﹣16n2+24n﹣9
=32n﹣8
=8（4n﹣1）
=右边；
（3）8×7+8×11+…+8×399+8×403
=92﹣52+132﹣92+…+4012﹣3972+4052﹣4012
=4052﹣52
=（405+5）（405﹣5）
=410×400
=164000．
【点睛】
本题考查数字变化的规律及平方差公式的综合运用，通过观察掌握数字变化的规律并应用逆向思维思考是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
16．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．21*cnjy*com
(1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、 B、 C、
(2)若，求的值；
(3)计算：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）A；（2）4；（3）
【分析】
（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，得到验证平方差公式；
（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，
上述操作能验证的等式是，
故答案为： A；
（2），，
；
（3）
．
【点睛】
此题考查了平方差公式的几何背景以及因 ( http: / / www.21cnjy.com )式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键，注意此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．2-1-c-n-j-y
17．阅读下列材料：
某同学在计算3（4+1）（42+1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公式计算，
3（4+1）（42+1）
=（4-1）（4+1）（42+1）
=（42-1）（42+1）
=44-1
=256-1
=255．
请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
（2）．
【答案】（1）24096-1；（2）2．
【分析】
（1）在前面乘一个（2-1），然后再连续利用平方差公式计算；
（2）在前面乘一个2×（1-），然后再连续利用平方差公式计算．【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）（2+1）（22+1）（2 ( http: / / www.21cnjy.com )4+1）（28+1）…（22048+1）
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
=24096-1；
（2）
=2．
【点睛】
本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
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第五讲 平方差公式
一、单选题
1．算式（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（232+1）+1计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．的计算结果的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．2 D．0
3．化简的结果是( )
A． B． C． D．
4．若……，则A的值是
A．0 B．1 C． D．
5．计算的值为（ ）
A．5048 B．50 C．4950 D．5050
6．利用平方差公式计算的结果是
A． B． C． D．
7．（ ）
A． B． C． D．
8．…+1 的个位数字为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．在，，，这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
10．的值为_______．
11．计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
12．计算：____________.
13．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128…21世纪教育网版权所有
则算式(2＋1) ×(22＋1) ×(24＋1) ×…×(232＋1)＋1计算结果的个位数字是_____________.
三、解答题
14．定义：若实数x，y满足，，且x≠y，则称点M(x，y)为“好点”．例如，点(0，－2)和 (－2，0)是“好点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P(m，n)．21教育网
(1)P1(3，1)和P2(－3，1)两点中，点________________是“好点”．
(2)若点P(m，n)是“好点”，求m+n的值．
(3)若点P是“好点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围．
15．仔细观察下列等式：
第1个：52﹣12=8×3
第2个：92﹣52=8×7
第3个：132﹣92=8×11
第4个：172﹣132=8×15
…
（1）请你写出第6个等式： ；
（2）请写出第n个等式，并加以验证；
（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．
16．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．21cnjy.com
(1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、 B、 C、
(2)若，求的值；
(3)计算：．
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17．阅读下列材料：
某同学在计算3（4+1）（42+1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公式计算，
3（4+1）（42+1）
=（4-1）（4+1）（42+1）
=（42-1）（42+1）
=44-1
=256-1
=255．
请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
（2）．
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