第六讲 完全平方公式(基础讲解)（解析版）

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第六讲 完全平方公式
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【知识总结】
一、完全平方公式
[语言叙述] 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍
[字母表达式] (a±b)2＝a2±2ab＋b2.
[注意] 上述两个公式是可以相互转化的，比如：在“两数和的平方”
公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2中，用“－b”替换公式中的“b”，
即可得到“两数差的平方”公式：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
[结构特征] 左边是“两个 ( http: / / www.21cnjy.com )数的和或差”的平方，即为一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，且符号相同，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍，符号由公式左边的二项式的两项的符号来确定：同号为正，异号为负．21教育网
二、(a±b)2与a2±b2的比较
(a±b)2＝a2±2ab＋b2是完全平方公式
在具体运用该公式时，极易与a2±b2混为一谈．
因此，如何区分两者的相同与不同之处，是用好完全平方公式的关键，减少不应出现的错误．
(a＋b)2和a2＋b2是两个重要的代数式，极易混淆，现将它们区分如下：
(a＋b)2 a2＋b2
(1)读法不同 　读作“a与b两数和的平方” 　读作“a与b两数的平方和”
(2)运算顺序不同 　先求和，然后平方 　先平方，再求和
(3)几何意义不同 ( http: / / www.21cnjy.com / ) 　如图中大正方形的面积 　如图中阴影部分的面积
(4)项数不同 　是二项式的平方，它的展开式a2＋2ab＋b2是二次三项式 　a2＋b2是二项式
(5)当a＝0或b＝0时，(a＋b)2＝a2＋b2
三、完全平方公式的变形如下表
完全平方公式 变形
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 1、a2＋b2＝(a＋b)2－2ab2、2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 1、a2＋b2＝(a－b)2＋2ab2、2ab＝(a2＋b2) －(a－b)23、(a－b)2＝(a＋b)2－4ab4、(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
【典型例题】
【类型】一、公式法——完全平方公式
例1、 下列各式中，能利用完全平方公式分解因式的是（ ）．
A． B． C． D．
【思路点拨】根据完全平方公式 ( http: / / www.21cnjy.com )的结构特点：必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍，对各项分析判断后利用排除法求解.
【答案】B；
【解析】A、其中有两项-x2、12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
B、，符合完全平方公式特点，故本选项正确；
C、其中有两项x2、-12不能写成平方和的形式，不符合完全平方公式特点，故本选项错误；
D、，不符合完全平方公式特点，故本选项错误.
【总结升华】本题主要考察了能用完全平方公式分解因式的式子特点，熟记公式结构是解题的关键.
【训练】 若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（　　）
　 A．﹣1 B． 7 C． 7或﹣1 D． 5或1
【答案】C.
例2、分解因式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【总结升华】本题的关键是掌握公式的特征，套用公式时要注意把每一项同公式的每一项对应．
【训练】分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【答案】
解：（1）
．
（2）．
（3）．
（4）
．
例3、分解因式：
（1）；（2）；（3）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）．
（3）
．
【总结升华】分解因式的一般步骤：一“提 ( http: / / www.21cnjy.com )”、二“套”、三“查”，即首先有公因式的提公因式，没有公因式的套公式，最后检查每一个多项式因式，看能否继续分解．21世纪教育网版权所有
【训练】分解因式：
（1）．
（2）．
（3）；
（4）；
（5）；
【答案】
解：（1）原式
．
（2）原式
．
（3）原式
（4）原式＝
（5）原式
【类型】二、配方法
例4、 已知：x+y=3，xy=﹣8，求：
（1）x2+y2
（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．
【思路点拨】（1）原式利 ( http: / / www.21cnjy.com )用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值；（2）原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将各自的值代入计算即可求出值．21cnjy.com
【答案与解析】
解：（1）∵x+y=3，xy=﹣8，
∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；
（2）∵x+y=3，xy=﹣8，
∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．
【总结升华】要先观察式子的特点，看能不能将式子进行变形，以简化计算.
【训练】已知为任意有理数，则多项式－1－的值为（ ）．
A．一定为负数 B．不可能为正数 C．一定为正数 D．可能为正数，负数或0
【答案】B；
提示：－1－＝.
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