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第六讲 完全平方公式
一、单选题
1．已知，，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
2．已知，，则的值是（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
3．已知，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．若，，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
5．已知，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则的值为（ ）
A．－4 B．4 C．－2 D．2
8．己知，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．11
9．若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ）
A．-4 B．16 C．-4或-16 D．4或16
10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，则M，N的大小关系是（ ）
A．不能确定 B． C． D．
12．我们已经接触了很多代数恒等式，知道 ( http: / / www.21cnjy.com )可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b）2－（a－b）2=4ab．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）21世纪教育网版权所有
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A． B．
C． D．
13．已知： ， 则： 的值为( )
A．15 B．18 C．21 D．9
14．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
15．一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了45cm2，则这个正方形的边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
16．若，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
17．在下列的计算中正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
18．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．______=______．
20．如果是一个完全平方式，那么m的值是__________．
21．将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是___________（写出一个即可）21教育网
22．若x2－mx＋9是一个完全平方式，则m的值是________．
23．若m为正实数，且_____________．
24．若是一个完全平方式，则k的值为_____．
25．若，且，则__________，__________．
26．若，，则__________．
27．（1）已知，，则______．
（2）若，，用含x的代数式表示y，结果是______．
三、解答题
28．若x满足，求的值．
29．已知，求代数式的值．
30．如果．
①填空：______，______．
②根据①的结果，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
31．利用乘法公式计算：
（1）198×202
（2）(2y＋1)(﹣2y－1)
32．两个边长分别为和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
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（1）用含的代数式分别表示、；
（2）若，求的值；
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积．
33．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）21cnjy.com
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是________；
（2）根据（1）中的结论，若，则________；
（3）拓展应用：若，求的值．
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34．观察下列关于自然数的等式：
（1） ①
（2） ②
（3） ③
……
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式__________．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
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第六讲 完全平方公式
一、单选题
1．已知，，则的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【分析】
先把代入原式，可得=，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】
∵，
∴===，
∵，
∴==，
故选A．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键．
2．已知，，则的值是（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
【分析】
根据完全平方公式变形计算．
【详解】
∵，，
∴==25-（-6）=31，
故选：B．
【点睛】
此题考查完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式及灵活变形求值是解题的关键．
3．已知，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【分析】
将两边平方得，整体代入解答即可．
【详解】
解：将两边平方得，
∴a2+＝16﹣2＝14，
故选：B．
【点睛】
此题考查完全平方公式问题，关键是把原式两边完全平方后整体代入解答．
4．若，，则的值是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式得出( a-b )2=( a + b )2-4ab，进而求出( a-b )2的值，再求出 a-b 的值即可
【详解】
( a-b )2=( a + b )2-4ab
∴
故答案选：C
【点睛】
考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的特点和相应的变形，是正确解答的关键.
5．已知，，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式的变形公式，即可求解．
【详解】
∵，，
∴，
故选C．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形，是解题的关键．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方及积的乘方法则分别计算，即可得出结论．
【详解】
解：A. ，故此选项计算错误；
B. ，故此选项计算错误；
C. ，故此选项计算正确；
D. ，故此选项计算错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则并能利用其准确计算是解题的关键．
7．已知，则的值为（ ）
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【答案】A
【分析】
利用等式的性质和完全平方公式将原等式变形后，再利用非负数的性质求得a和b的值代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，即，
∴，解得，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查完全平方公式，非负数的性质．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数（式）都为0是解题关键．21·cn·jy·com
8．己知，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【分析】
利用完全平方公式将两边平方，即可得出的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的特征是解题的关键．
9．若是完全平方式，与的乘积中不含x的一次项，则的值为（ ）
A．-4 B．16 C．-4或-16 D．4或16
【答案】D
【分析】
利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：∵x2+2（m-3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）=x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m-3=±1，n+2=0，
解得：m=4或m=2，n=-2，
当m=4，n=-2时，nm=16；
当m=2，n=-2时，nm=4，
则nm=4或16，
故选：D．
【点睛】
此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
10．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
A.根据同类项的定义解题；
B.根据积的乘方解题；
C.根据多项式与多项式的乘法法则或完全平方公式解题；
D.根据同类项的定义解题．
【详解】
A. ，故A正确；
B. ，故B错误；
C. ，故C错误；
D. 与不是同类项，不能合并，故D错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查整式的混合运算，涉及合并同类项、积的乘方、多项式乘以多项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21cnjy.com
11．已知，，则M，N的大小关系是（ ）
A．不能确定 B． C． D．
【答案】B
【分析】
比较M，N的大小关系，可通过计算M-N比较，利用完全平方公式即可解决问题．
【详解】
解：∵M=x2+4y2-2y，N=6x+2y-12，
∴M-N=x2+4y2-2y-（6x+2y-12）=（x-3）2+（2y-1）2+2＞0
∴M＞N，
故选：B．
【点睛】
本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是利用完全平方公式可以确定最值问题，属于中考常考题型．【来源：21·世纪·教育·网】
12．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以 ( http: / / www.21cnjy.com )用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b）2－（a－b）2=4ab．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用不同的方法表示出空白部分的面积：一种是利用公式直接计算，另一种是割补法得，根据面积相等即可建立等式，得出结论．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：空白部分的面积：，
还可以表示为：，
∴此等式是．
故选：C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出空白部分的面积是解题的关键．21教育网
13．已知： ， 则： 的值为( )
A．15 B．18 C．21 D．9
【答案】B
【分析】
把两边平方得出的值，再把变形代入即可得出答案
【详解】
解：∵，
∴，
∴
∴
故选：B
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键
14．已知，，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】
先求出(x-y)2的值，再求的值即可．
【详解】
解：∵，，
∴(x-y)2=x2+y2-2xy=，
∴=或．
故选C．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
15．一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了45cm2，则这个正方形的边长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】A
【分析】
设正方形的边长是xcm，根据面积相应地增加了45cm2，即可列方程求解．
【详解】
解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+3）2-x2=45，
解得：x=6．
故选：A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．若，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
由结合完全平方式即可求出的值，再由，即可求出结果．
【详解】
∵，
∴，即，
将代入上式得：．
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查代数式求值以及因式分解．熟练利用完全平方式求解是解答本题的关键．
17．在下列的计算中正确的是（ ）
A．； B．；
C．； D．
【答案】A
【分析】
根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
A、a2 ab＝a3b，正确；
B、应为（a＋2）（a 2）＝a2 4，故本选项错误；
C、2x与3y不是同类项不能合并；
D、应为（x 3）2＝x2 6x＋9，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．【出处：21教育名师】
18．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据整式的运算法则逐项进行计算即可得到结果判断正误．
【详解】
解:A、原式=，故不符合题意；
B、原式= a3 ，故不符合题意；
C、原式=7xy，故不符合题意；
D、原式=4a2b6，故符合题意；
所以D选项是正确的；
故选：D
【点睛】
此题考查了整式的运算涉及到完全平方公式，合并同类项，积的乘方，认真计算是关键．
二、填空题
19．______=______．
【答案】36 6
【分析】
根据完全平方公式：x2 2xy+y2=(x y)2即可得出结论．
【详解】
解：x2 12x+62=x2 12x+36=(x 6)2
故答案为：36；6．
【点睛】
此题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式是解决此题的关键．
20．如果是一个完全平方式，那么m的值是__________．
【答案】25
【分析】
利用完全平方公式的结构特征，即可求出m的值．
【详解】
解：∵x2-10x+m是一个完全平方式，
∴m==25．
故答案为：25．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．将多项式加上一个单项式，使它成为完全平方式，这个单项式可能是___________（写出一个即可）www.21-cn-jy.com
【答案】
【分析】
根据完全平方式的性质分析，即可得到答案．
【详解】
多项式加上，得
故答案为：．
【点睛】
本题考查了完全平方式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方式的性质，从而完成求解．
22．若x2－mx＋9是一个完全平方式，则m的值是________．
【答案】±6
【分析】
根据完全平方公式的结构特征求解即可．
【详解】
解：∵x2－mx＋9= x2－mx＋32是完全平方式，
∴m＝±6，
故答案为±6．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题属于基础题型．
23．若m为正实数，且_____________．
【答案】11
【分析】
把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【详解】
解：∵，
∴，
即，
∴，
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，熟记公式并利用乘积二倍项不含字母是解题的关键．
24．若是一个完全平方式，则k的值为_____．
【答案】.
【分析】
根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情形求解即可.
【详解】
∵=，
∴kx=，
∴k=，
故应该填.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活公式变形是解题的关键.
25．若，且，则__________，__________．
【答案】12 ±1
【分析】
先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x-y）2的值，再求出答案即可．
【详解】
解：∵x2+y2=（x+y）2-2xy，
∴25=72-2xy，
∴xy=12，
∴（x-y）2=x2-2xy+y2=25-2×12=1，
∴x-y=±1，
故答案为：12，±1．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，能灵 ( http: / / www.21cnjy.com )活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键，注意：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．2·1·c·n·j·y
26．若，，则__________．
【答案】
【分析】
根据完全平方公式变形计算即可得解．
【详解】
∵，，
∴=9+4=13，
故答案为：13．
【点睛】
此题考查完全平方公式变形计算，熟记完全平方公式并正确理解所求与公式的关系是解题的关键．
27．（1）已知，，则______．
（2）若，，用含x的代数式表示y，结果是______．
【答案】±4 -x2-6x-5
【分析】
（1）根据完全平方公式，即可解答．
（2）根据幂的乘方法则可得y=4-25m=4-（5m）2，由x=5m-3可得5m=x+3，再根据幂的乘方解答即可．
【详解】
解：（1）（x-y）2=（x+y）2-4xy=62-4×5=16．
所以x-y=±4．
故答案是：±4．
（2）由x=5m-3可得5m=x+3，
∴y=4-25m=4-（5m）2=4-（x+3）2=-x2-6x-5．
故答案为：-x2-6x-5．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，幂的乘方以及列代数式，熟记相应的公式和运算法则是解答本题的关键．
三、解答题
28．若x满足，求的值．
解：设，则，，
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
（2）若x满足，求的值；
（3）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是48，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积．【来源：21cnj*y.co*m】
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【答案】（1）5；（2）13；（3）28
【分析】
（1）设（5-x）=a，（x-2）=b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）设（6-x）=a，（x-3）=b，根据已知等式确定出所求即可；【版权所有：21教育】
（3）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
【详解】
解：（1）设（5-x）=a，（x-2）=b，
则（5-x）（x-2）=ab=2， ( http: / / www.21cnjy.com )a+b=（5-x）+（x-2）=3，
∴（5-x）2+（x-2）2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5；
（2）设（6-x）=a，（x-3）=b，21教育名师原创作品
则（6-x）（x-3）=ab=-(6 x)(3 x)=-2，a+b=（6-x）+（x-3）=3，
∴（6-x）2+（3-x）2=（a+b）2-2ab=32+2×2=13；21*cnjy*com
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE= ( http: / / www.21cnjy.com )1，CF=3，
∴MF=DE=x-1，DF=x-3，
∴（x-1） （x-3）=48，
∴（x-1）-（x-3）=2，
∴阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2．
设（x-1）=a，（x-3）=b，则（x-1）（x-3）=ab=48，a-b=（x-1）-（x-3）=2，
∴a=8，b=6，a+b=14，
∴（x-1）2-（x-3）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=14×2=28．即阴影部分的面积是28．
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【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
29．已知，求代数式的值．
【答案】，3．
【分析】
先按照完全平方公式与多项式乘以多项式的法则进行整式的乘法运算，再合并同类项即可得到化简的结果，再把化为再整体代入求值即可得到答案．
【详解】
解：原式
．
当时，
原式
【点睛】
本题考查的是整式的混合运算，化简求值，掌握利用完全平方公式及多项式乘以多项式的运算法则进行整式的乘法运算是解题的关键．21世纪教育网版权所有
30．如果．
①填空：______，______．
②根据①的结果，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】①4， 1；②（1）13；（2）20
【分析】
①据多项式乘多项式的运算法则求解即可；
②根据完全平方公式计算即可．
【详解】
①∵（x＋m）（x＋n）＝x2＋（m＋n）x＋mn＝x2＋4x 1，
∴m＋n＝4，mn＝ 1．
故答案为：4， 1；
②（1）m2＋5mn＋n2＝（m＋n）2＋3mn＝42＋3×（ 1）＝16 3＝13；
（2）（m n）2＝（m＋n）2 4mn＝42 4×（ 1）＝16＋4＝20．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
31．利用乘法公式计算：
（1）198×202
（2）(2y＋1)(﹣2y－1)
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）将两个数化为200与2的和与差，用平方差公式计算即可；
（2）第二个括号内提取一个负号可与第一个括号合成两数和的平方，利用完全平方公式展开即可．
【详解】
解：（1）原式=
=
=
=；
（2）原式=
=
=．
【点睛】
本题考查利用完全平方公式和平方差公式计算．熟记公式是解题关键．
32．两个边长分别为和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）用含的代数式分别表示、；
（2）若，求的值；
（3）当时，求出图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）S1＝a2-b2，S2＝2b2-ab；（2）31；（3）
【分析】
（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示S1、S2；
（2）根据S1+S2＝a2-b2+2b2-ab＝a2+b2-ab，将a+b＝10，ab＝23代入进行计算即可；
（3）根据S3＝（a2+b2﹣ab），S1+S2＝a2+b2-ab＝29，即可得到阴影部分的面积S3．
【详解】
解：（1）由图可得，S1＝a2-b2，S2＝2b2-ab；
（2）S1+S2＝a2-b2+2b2-ab＝a2+b2-ab，
∵a+b＝10，ab＝23，
∴S1+S2＝a2+b2-ab＝（a+b）2-3ab＝100-3×23＝31；
（3）由图可得，S3＝a2+b2-b（a+b）-a2＝（a2+b2-ab），
∵S1+S2＝a2+b2-ab＝29，
∴S3＝×29＝．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算．
33．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）2-1-c-n-j-y
（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是________；
（2）根据（1）中的结论，若，则________；
（3）拓展应用：若，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2＝4ab；（2）±4；（3）-3
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白 ( http: / / www.21cnjy.com )色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，将x+y＝5，x y代入计算即可得出答案；
（3）将等式（2019-m）+（m-2020）＝-1两边平方，再根据已知条件及完全平方公式变形可得答案．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2＝（a+b）2-（a-b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2-（a-b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2-（a-b）2＝4ab；
（2）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x y＝，
∴52-（x-y）2＝4×，
∴（x-y）2＝16
∴x-y＝±4，
故答案为：±4；
（3）∵（2019-m）+（m-2020）＝-1，
∴[（2019-m）+（m-2020）]2＝1，
∴（2019-m）2+2（2019-m）（m-2020）+（m-2020）2＝1，
∵（2019-m）2+（m-2020）2＝7，
∴2（2019-m）（m-2020）＝1-7＝-6；
∴（2019-m）（m-2020）＝-3．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式并数形结合是解题的关键．
34．观察下列关于自然数的等式：
（1） ①
（2） ②
（3） ③
……
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式__________．
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
【答案】（1）4×10+2×12=82；（2）n（n+6）+2（n+8）=（n+4）2，验证见解析·21*cnjy*com
【分析】
（1）由①②③三个等式得出规律，即可得出结果；
（2）由规律得出答案，再验证即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：第四个等式为：4×10+2×12=82；
（2）猜想的第n个等式为：n（n+6）+2（n+8）=（n+4）2，
验证：左边=n（n+6）+2（n+8）=n2+6n+2n+16=n2+8n+42=（n+4）2=右边，
∴n（n+6）+2（n+8）=（n+4）2．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律、完全平方公式、归纳推理等知识；根据题意得出规律是解决问题的关键．
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