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第六讲 完全平方公式
一、单选题
1．设，，．若，则的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设，且，则（ ）
A．673 B． C． D．674
4．已知，，，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A． B． C． D．
6．若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
7．若是一个完全平方式，则常数k的值为
A．6 B． C． D．无法确定
8．已知是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个
A．30 B．32 C． D．9
9．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )21教育网
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A．m+n B．2m+2n C．2m+n D．m+2n
10．若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．－16 B．16 C．8 D．±16
11．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是（ ）
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A．（x+y+z）2=x2+y2+z2+xy+xz+yz B．（x+y+z）2=x2+y2+z+2xy+xz+2yz21cnjy.com
C．（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz D．（x+y+z）2=（x+y）2+2xz+2yz21·cn·jy·com
12．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的通道，其余部分种草，以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．2x+2x﹣22 B．x2﹣（x﹣2）2 C．2（x+x﹣2） D．x2﹣2x﹣2x+222·1·c·n·j·y
13．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
二、填空题
14．已知非零实数满足，且，则_______．
15．现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图②的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________． 【来源：21·世纪·教育·网】
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16．已知，，则______．
17．已知，，，则代数式的值为______．
18．若则________________．
19．已知，则________．
20．若是完全平方式，则的值是________________．
三、解答题
21．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．21世纪教育网版权所有
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22．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
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23．若满足，求的值：
24．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：；
又例如：求代数式的最小值：∵；
又∵；当时，有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：__________；
（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边长c的最小值；
（3）当x、y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
25．配方法是数学中重要的一种思想方法． ( http: / / www.21cnjy.com )它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．21·世纪*教育网
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（，是整数）的形式______．
（2）若可配方成（，为常数），则的值______．
探究问题：
（1）已知，则的值______．
（2）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值．
26．利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．www-2-1-cnjy-com
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
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第六讲 完全平方公式
一、单选题
1．设，，．若，则的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【分析】
先将a=x-2017，b=x-2019代入，得到（x-2017）2+（x-2019）2=34，再变形为（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，然后将（x-2018）作为一个整体，利用完全平方公司得到一个关于（x-2018）的一元二次方程即可解答．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵a=x-2017，b=x-2019，a2+b2=34，
∴（x-2017）2+（x-2019）2=34，
∴（x-2018+1）2+（x-2018-1）2=34，
∴（x-2018）2+2（x-2018）+1+（x-2018）2-2（x-2018）+1=34，
∴2（x-2018）2=32，
∴（x-2018）2=16，
又∵c=x-2018，
∴c2=16.
故答案为A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．
2．下列运算中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
A．不是同类项，不能合并；
B.去括号合并同类项直接得答案判断即可；
C.利用完全平方公式运算即可；
D.利用同底数幂乘法进行运算即可．
【详解】
解：A. 2a+3b不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B. 2a-(a+b)=2a-a-b=a-b，故此选项正确；
C. (a+b)2=a2+2ab+b2，故此选项错误；
D.,故此选项错误
故选：B
【点睛】
本题考查了整式运算，涉及合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式；熟练掌握这些知识点并能灵活运用是解题的关键．21教育网
3．设，且，则（ ）
A．673 B． C． D．674
【答案】B
【分析】
令，可将x、z的值用y与a表示，利用求出a的值，然后将所求的式子化简成只含有y与a的式子，再代入求解即可.
【详解】
设
则
将x，y，z的值代入可得：
解得：
故选：B.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，化简过程中用到了两个重要的公式：完全平方公式、平方差公式，令求出x，y，z之间的等式关系是解题关键.
4．已知，，，则的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据，，分别求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.
【详解】
∵，，，
∴
故选D
【点睛】
本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.
5．已知是一个有理数的平方，则不能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【详解】
2n是乘积二倍项时，2n+218+1=21 ( http: / / www.21cnjy.com )8+2 29+1=（29+1）2，
此时n=9+1=10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2 217+1=（217+1）2，
此时n=2×17=34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2 29 2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，
此时n=-20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．
故选：D．www-2-1-cnjy-com
【点睛】
本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
6．若，则( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
由得x=3+y，然后，代入所求代数式，即可完成解答.
【详解】
解：由得x=3+y
代入
故答案为C.
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.
7．若是一个完全平方式，则常数k的值为
A．6 B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】
解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．已知是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个
A．30 B．32 C． D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【详解】
2n是乘积二倍项时，2n+216+1=216+2×28+1=（28+1）2，
此时n=8+1=9，
216是乘积二倍项时，2n+216+1=2n+2×215+1=（215+1）2，
此时n=2×15=30，
1是乘积二倍项时，2n+216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，21cnjy.com
此时n=-18，
综上所述，n可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．
故选B．
【点睛】
本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
9．三种不同类型的长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )地砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．m+n B．2m+2n C．2m+n D．m+2n
【答案】D
【详解】
解：1块A的面积为m2；4块B的面积为4mn；
5块C的面积为5n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是m2+4mn+5n2=m2+4mn+4n2+n2=(m+2n)2+n2，21*cnjy*com
因此，多出了一块C型地砖，拼成的正方形的面积为(m+2n)2=m2+4mn+4n2，
正方形的边长为m+2n．
故选D．
10．若代数式x2＋ax＋64是一个完全平方式，则a的值是（ ）
A．－16 B．16 C．8 D．±16
【答案】D
【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.
故选：D
点睛：此题主要考查了完全 ( http: / / www.21cnjy.com )平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方。算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央。
11．如图，通过计算大正方形的面积，可以验证一个等式，这个等式是（ ）
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A．（x+y+z）2=x2+y2+z2+xy+xz+yz B．（x+y+z）2=x2+y2+z+2xy+xz+2yz
C．（x+y+z）2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz D．（x+y+z）2=（x+y）2+2xz+2yz
【答案】C
【解析】
大正方形的面积可以看成一个边长为x+y+z的大正方形，也可以看成3个小正方形和6个矩形拼接而成．故 ，故选C．
点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是明确大长方形的面积=3个正方形的面积+6个小长方形的面积．
12．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的通道，其余部分种草，以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的为（ ）
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A．2x+2x﹣22 B．x2﹣（x﹣2）2 C．2（x+x﹣2） D．x2﹣2x﹣2x+22
【答案】D
【解析】试题分析：根据图示，可知通道所占面积是：2x+2x﹣22=4x﹣4．
A、是表示通道所占面积，选项错误；
B、x2﹣（x﹣2）2=x2﹣x2+4x﹣4=4x﹣4，故是表示通道所占面积，选项错误；
C、2（x+x﹣2）=4x﹣4，是表示通道所占面积，选项错误；
D、x2﹣2x﹣2x+22=4﹣4x≠4x﹣4，不是表示通道的面积，选项正确．
故选D．
13．若(x+y)2=9，(x-y)2=5，则xy的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-4 D．4
【答案】B
【解析】
试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差） ( http: / / www.21cnjy.com )的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y）2=x2+2xy+y2=9①，（x﹣y）2= x2-2xy+y2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.
故选B
点睛：此题主要考查了完全平方公 ( http: / / www.21cnjy.com )式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..
二、填空题
14．已知非零实数满足，且，则_______．
【答案】或0或1
【分析】
对原式进行变形，写成的形式，则要么要么，再根据的值求出的值．
【详解】
解：将原式变形成：，
，
∴或，
若，
则，
∴．
故答案是：或0或1．
【点睛】
本题考查乘法公式的运用，解题的关键是熟练运用乘法公式进行计算．
15．现有如图①的小长方形 ( http: / / www.21cnjy.com )纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图②的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________． 2·1·c·n·j·y
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【答案】1：6
【分析】
先求出图②中阴影部分的面积，由此可 ( http: / / www.21cnjy.com )求出图③中阴影部分的面积，再根据图③可得到a=3b，由此可求出图③中整个图形的面积，然后求出图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图②种阴影部分的面积为（a+b）2-4ab=（a-b）2．
如图③可知
3a+3b=4a
∴a=3b
∴S阴影部分=（3b-b）2=4b2;
∴图③中S阴影部分=3×4b2=12b2;
图③中整个图形的面积为：4a×（a+3b）=12b（3b+3b）=72b2；
∴图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为12b2：72b2=1：6．
故答案为：1：6．
【点晴】
此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是：结合图形找出长与宽的数量关系．
16．已知，，则______．
【答案】-1
【分析】
将利用立方和公式以及完全平方公式进行变形后再计算即可得出答案．
【详解】
解：∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查的知识点是立方和公式以及完全平方公式，解此题的关键是记住立方和公式．
17．已知，，，则代数式的值为______．
【答案】3
【分析】
把已知的式子化成的形式，然后代入求解．
【详解】
解：，，，
，，，
则原式
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了代数式的求值，正确利用完全平方公式把所求的式子进行变形是关键．
18．若则________________．
【答案】
【分析】
根据完全平方公式：可求得结果
【详解】
故答案为：46
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，在完全平方公式中，我们要注意有3个模块：(a±b)、ab、，已知其中的任意2个模块，通过公式变形，都可求得第三个模块.21·cn·jy·com
19．已知，则________．
【答案】７
【分析】
先设，，则可化为，，再将，代入，然后求出结果
【详解】
解：设：，，
则可化为：
∴
将，，代入上式，
则
【点睛】
本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记公式，并能设，，然后将原代数式化简再求值是解此题的关键，注意：完全平方公式为① ，②．
20．若是完全平方式，则的值是________________．
【答案】
【分析】
依据完全平方公式，－m=±2ab=±2，从而求得m的值
【详解】
情况一：加法完全平方公式
则：－m=2ab=2，解得：m=－4
情况二：减法完全平方公式
则：－m=－2ab=2，解得：m=4
故答案为：
【点睛】
本题是乘法公式的考查，关键点在于题干中的式子，可以满足加法完全平方公式和减法完全平方公式，会有2解，勿遗漏【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
21．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）请直接写出下列问题答案：
①若2a+b＝5，ab＝2，则2a﹣b＝ ；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形的，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【出处：21教育名师】
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【答案】（1）12；（2）①±3；②17；（3）．
【分析】
（1）根据例题可得（x+y）2-2xy=x2+y2，然后整体代入求值即可；
（2）①将（2a-b）2利用完全平方公式转化为（2a+b）2-8ab，然后再整体求出（2a-b）2，最后直接开平方即可解答；21教育名师原创作品
②由完全平方公式将（4-x）2+（5-x）2转化为[（4-x）-（5-x）]2+2（4-x）（5-x），然后再整体代入求值即可；21*cnjy*com
（3）设AC=m，CF=n，可得m+n=6，m2+n2=18，求出mn即可．
【详解】
解：（1）∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝40，
∴82﹣2xy＝40，
∴xy＝12
答：xy的值为12；
（2）①∵（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，2a+b＝5，ab＝2，
∴（2a﹣b）2＝52﹣8×2＝9，
∴2a﹣b＝±＝±3
故填：±3；
②根据a2+b2＝（a﹣b）2+2ab可得，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2+2（4﹣x）（5﹣x），
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝（﹣1）2+2×8＝17
故填：17；
（3）设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S阴影部分＝mn＝．
答：阴影部分的面积为．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及多项式乘多项式的运算法则，掌握数形结合思想和整体思想是解答本题的关键．
22．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．
（1）用含a、b的代数式分别表示、；
（2）若，，求的值；
（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．
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【答案】（1）， ；（2）77；（3）17
【分析】
（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；
（2）根据，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；
（3）根据和 ，可求得图 中阴影部分的面积 ．
【详解】
解：（1）由图可得，， ．
（2），
所以的值为77．
（3）由图可得：
所以图中阴影部分的面积为17．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．
23．若满足，求的值：
解：设，则
所以
请仿照上面的方法求解下面的问题
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（1）若满足，求的值；
（2）已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）19；（2）33．
【分析】
（1）设，从而可得，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；
（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．
【详解】
（1）设，则，
所以，
，
，
；
（2）由题意得：，，
因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
所以阴影部分的面积为，
设，则，
所以，
由平方根的性质得：或（不符题意，舍去），
所以，
，
，
，
故阴影部分的面积为33．
【点睛】
本题考查了乘法公式与图形面积，熟练掌握并灵活运用乘法公式是解题关键．
24．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：；
又例如：求代数式的最小值：∵；
又∵；当时，有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
（1）分解因式：__________；
（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边长c的最小值；
（3）当x、y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
【答案】（1）；（2）边长c的最小值是5；（3）时，取得最大值为16
【分析】
（1）根据阅读材料，先将变形为a2-4a+4-9，再根据完全平方公式写成（m-2）2-9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）根据配方法得出两个完全平方 ( http: / / www.21cnjy.com )式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；
（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
【详解】
解：（1）a2-4a-5
= a2-4a+4-9
=（a-2）2-9
=（a-2+3）（a-2-3）
=（a+1）（a-5）．
故答案为：（a+1）（a-5）．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴解得：，
∵a、b、c是的三边长，∴，又∵c是整数，，6，7；
∴边长c的最小值是5；
（3）
，
∵，；
∴，
∴当时，即：时，取得最大值为16．
【点睛】
本题考查配方法和因式分解的应用：通过配方 ( http: / / www.21cnjy.com )，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．【来源：21·世纪·教育·网】
25．配方法是数学中重要的一种思想方法．它 ( http: / / www.21cnjy.com )是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．【版权所有：21教育】
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成（，是整数）的形式______．
（2）若可配方成（，为常数），则的值______．
探究问题：
（1）已知，则的值______．
（2）已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
拓展结论：已知实数，满足，求的最小值．
【答案】解决问题：（1）；（2）2；探究问题：（1）；（2）；拓展结论：4
【分析】
解决问题：（1）29可以写成5的平方加上2的平方；
（2）只要再加上4就可以凑成完全平方的形式，所以把5分成4和1；
探究问题：（1）把式子左边凑成两个完全平方式，利用平方式的非负性求出x和y的值；
（2）同（1）的方法把式子先凑成两个完全平方式加上一个常数项的形式，令常数项为零，那么S就是“完美数”；
拓展结论：根据所给的式子，通过移项得到，对式子右边进行配方，求出最小值．
【详解】
解决问题：（1）；
（2），
，，
∴；
探究问题：（1），
，
，
，，
∴；
（2），
若为完美数，，；
拓展结论：，
，
，
当时，取最小值为4．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是能够灵活运用完全平方公式对式子进行变形求解．
26．利用多项式乘法法则计算：
（1） = ；
= ．
在多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，如果把上面计算结果作为结论逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式．2-1-c-n-j-y
已知，利用自己所学的数学知识，以及立方和与立方差公式，解决下列问题：
（2） ；（直接写出答案）
（3） ；（直接写出答案）
（4） ；（写出解题过程）
【答案】（1），；（2）6；（3）14；（4）198
【分析】
（1）根据整式的混合运算法则展开计算即可；
（2）利用完全平方公式变形，再代入求值；
（3）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
（4）利用立方差公式和完全平方公式变形，再代入求值；
【详解】
解：（1）
=
=
=
=，
故答案为：，；
（2）
=
=
=6；
（3）
=
=
=
=14；
（4）
=
=
=
=198
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法，正确的理解已知条件中的公式是解题的关键．
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