第一讲 两条直线的位置关系(基础讲解)（解析版）

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第一讲 两条直线的位置关系
【学习目标】
1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；
2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；
3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；
4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.
【知识总结】
一、相交线与平行线
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
相交线：若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。
[注意] “在同一平面内”这个前提条件不可缺少，因为在空间里存在既不相交也不平行的两条直线．因此，初中阶段研究的平行关系是指在同一平面内．21世纪教育网版权所有
二、对顶角
1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。
2、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
3、对顶角的性质：对顶角相等。
4、对顶角的性质在今后的推理说明中应用非常广泛，它是证明两个角相等的依据及重要桥梁。
5、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。
三、互为余角、互为补角的概念
1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。
2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。
3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。
四、互为余角、互为补角的性质
1、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
2、余角和补角的性质用数学语言可表示为：
（1）
则(同角的余角（或补角）相等)。
（2）且
则(等角的余角（或补角）相等)。
3、余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。
五、垂直的定义
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．它们的交点叫做垂足．21教育网
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图2－1－74
如图2－1－74所示，直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”，垂足为O，或记作“AB⊥CD于点O”．
[说明] (1)线段与线段、线段与射线、射线与射线、线段或射线与直线垂直，特指它们所在的直线互相垂直；
(2)两条直线互相垂直，则四个角为直角．反之也成立．
六、垂线的画法
(1)过直线上一点画已知直线的垂线．
(2)过直线外一点画已知直线的垂线．
[说明] 可以用三角尺画垂线，也可用量角器，也可利用方格纸，还可用折纸的方法折出互相垂直的直线．
七、垂线的性质
性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
八、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．
[注意] 垂线是直线；垂线段特指一条线段，是图形；点到直线的距离是指垂线段的长度，并且是一个数量，是有单位的．www.21-cn-jy.com
【典型例题】
【类型】一、邻补角与对顶角
例1．如图，直线AB和CD相交于点O．
（1）∠1的邻补角是____________，对顶角是___________；
（2）若∠1＝40°，求出∠2，∠3，∠4的度数．
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【答案】
（1）∠2和∠4，∠3
（2）∠2＝140°，∠3＝40°，∠4＝140°
【解析】
（1）根据对顶角和邻补角的定义解答即可；（3）根据邻补角的定义列式求出∠2，再根据对顶角相等解答．
【详解】
（1）∠1的邻补角是∠2和 ( http: / / www.21cnjy.com )∠4，对顶角是∠3；
（2）∵∠1＝40°，
∴∠2=180° ∠1＝180° 40°＝140°，
∴∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°．
2·1·c·n·j·y
【点拨】本题考查了对顶角、邻补角，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意一个角的邻补角有两个．
举一反三：
【训练】判断正误：
（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （ ）
（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ）
(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （ ）
(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （ ）
(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（ ）
【答案】(1)× （2） ( http: / / www.21cnjy.com )× （3）× （4）√ （5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.
例2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数
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【答案与解析】
解：∵ ∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，
∴ ∠2＝180°－65°＝115°．
又∵ ∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角
∴ ∠3＝∠1＝65°， ∠4＝∠2＝115°．
【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用 “对顶角相等”，求∠3和∠4．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为　　度．
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【答案】145．
解：∵∠BOC=110°，
∴∠BOD=70°，
∵ON为∠BOD平分线，
∴∠BON=∠DON=35°，
∵∠BOC=∠AOD=110°，
∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.
例3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角 各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．21·世纪*教育网
【答案与解析】
解：如图，
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任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；www-2-1-cnjy-com
②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．
这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1 ( http: / / www.21cnjy.com )与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．2-1-c-n-j-y
【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角
【类型】二、垂线
例4下列语句中，正确的有 ( )
①一条直线的垂线只有一条；
②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
③两直线相交，则交点叫垂足；
④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】正确的是：②④
【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.
【训练】直线外有一点P，则点P到直线的距离是( ).
A．点P到直线的垂线的长度.
B．点P到直线的垂线段.
C．点P到直线的垂线段的长度.
D．点P到直线的垂线.
【答案】C
例5.如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（　　）
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　 A．35° B． 45° C． 55° D． 65°
【答案】C．
【解析】解：∵∠1=145°，
∴∠2=180°﹣145°=35°，
∵CO⊥DO，
∴∠COD=90°，
∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.
【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．
【训练】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40,
则∠EOF=_______.
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【答案】130°．
【类型】三、综合训练及应用
例6.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）21*cnjy*com
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A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．
【答案】A．
【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．
【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
【训练】(1)用三角尺或量角器画已知直线的垂线，这样的垂线能画出几条
(2)经过直线上一点A画的垂线，这样的垂线能画出几条
(3)经过直线外一点B画的垂线，这样的垂线能画出几条
【答案】
解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．
例7.已知：直线AB与直线CD交于点O，过点O作．
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（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，过点O画直线FG满足射线OF在内部，且使，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与互余的角．21·cn·jy·com
【答案】（1）120°；（2），，，
【解析】（1）根据垂直的定义可得，根据角的和差倍数关系可得：，根据对顶角和角的和差即可求解；
（2）根据（1）可知∠EOF＝15°，分别计算各角的度数，根据余角的定义即可求解．
【详解】
（1）解：∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∵∠BOD＝∠AOC＝30°
∴∠BOE＝∠BOD＋∠DOE＝90°＋30°＝120°
（2）由（1）知，
∴∠AOE＝60°
又
∴∠EOF＝15°，
∵∠EOF＋∠DOF＝90°＝∠DOE
∵∠DOF＝∠COG＝75°
∴∠EOF＋∠COG＝90°
∵∠AOE＋∠EOF＝60°＋15°＝∠AOF＝75°
∴∠AOF＋∠EOF＝90°
∵∠AOF＝∠BOG
∴∠BOG＋∠EOF＝90°
故：∠DOF、∠COG、∠AOF、∠BOG都是与互余的角．
【点拨】本题考查垂直的定义及性质，对顶角的性质，余角的定义，等角代换，解题的关键是熟练掌握上述所学知识点．21cnjy.com
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