第二讲 探索直线平行条件(基础讲解)（含解析）

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第二讲 探索直线平行条件
【学习目标】
1.理解平行线的概念，了解在同一平面内两条直线的位置关系；
2.掌握平行公理及其推论；
3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.
【知识总结】
一、同位角的概念
两条直线被第三条直线所截，截得的八个角中，有两个角分别在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线的同旁，这两个角叫做同位角。21·cn·jy·com
二、两直线平行的条件
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简称为：同位角相等，两直线平行。
用符号可表示为：∵∠1＝∠2(已知)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
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图2－2－28
三、平行线的表示
符号表示：通常用“∥”表示平行．
如：直线AB与直线CD平行，可记作AB∥CD或CD∥AB.
直线m与直线n平行，记作m∥n或n∥m.
平行线的画法：
用三角尺、直尺画平行线，简单地说就是“两靠 ( http: / / www.21cnjy.com )一移一画”．所谓“两靠”是指把三角尺的一边靠在已知直线上，直尺靠在三角尺的另一边上；“一移”是指三角尺靠在直尺上移动到已知点；“一画”是指沿三角尺的边缘画直线．如图2－2－29，这样画平行线的根据是同位角相等，两直线平行．21世纪教育网版权所有
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图2－2－29
四、平行线的有关性质
1．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
2．平行于同一条直线的两条直线平行．
几何语言：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
五、内错角、同旁内角的概念
在两条直线之间，并且在第三条直线的两旁位置交错的一对角，叫做内错角.
在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁的一对角，叫做同旁内角．
[注意] 内错角、同旁内角是两条直线被第三条直线所截形成的不共顶点的两个角的位置关系，它们都是两条直线被第三条直线所截而成的角．www.21-cn-jy.com
六、两直线平行的条件
1、同位角、内错角、同旁内角
1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。
2、同位角：两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。
3、内错角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。
4、同旁内角：两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。
5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系
2、六类角
1、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角六类角都是对两角来说的。
2、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关。
3、同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关。
4、对顶角既有数量关系，又有位置关系。
3、平行线的条件（判定）
1、同位角相等，两直线平行。
2、内错角相等，两直线平行。
3、同旁内角互补，两直线平行。
4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。
【典型例题】
【类型】一、平行线的定义及表示
例1．下列叙述正确的是 ( )
A．两条直线不相交就平行
B．在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线
C．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
D．在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线
【答案】C
【解析】在同一平面内两条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线的位置关系是不相交就平行，但在空间就不一定了，故A选项错；平行线是在同一平面内不相交的两条直线，不相交的两条曲线就不是平行线，故B选项错；平行线是针对两条直线而言．不相交的两条线段所在的直线不一定不相交，故D选项错．2·1·c·n·j·y
【总结升华】本例属于对概念的考查，应从平行线的概念入手进行判断．
【训练】下列说法错误的是（　　）
　 A． 无数条直线可交于一点
　 B． 直线的垂线有无数条，但过一点与垂直的直线只有一条
　 C． 直线的平行线有无数条，但过直线外一点的平行线只有一条
　 D． 互为邻补角的两个角一个是钝角，一个是锐角
【答案】D
【类型】二、平行公理及推论
例2．下列说法中正确的有 ( )
①一条直线的平行线只有一 ( http: / / www.21cnjy.com )条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为a∥b，c∥d，所以a∥d；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．21cnjy.com
A．1个 B 2个 C．3个 D．4个
【答案】 A
【解析】一条直线的平行线 ( http: / / www.21cnjy.com )有无数条，故①错；②中的点在直线外还是在直线上位置不明确，所以②错，③中b与c的位置关系不明确，所以③也是错误的；根据平行公理可知④正确，故选A．
【总结升华】本题主要考察的是“平行公理及推论”的内容，要正确理解必须要抓住关键字词及其重要特征，在理解的基础上记忆，在比较中理解．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是 .
【答案】平行
【类型】三、两直线平行的判定
例3. 如图，在下列条件中，不能判定直线与平行的是（　　）
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　 A．∠1=∠2 B． ∠2=∠3 C． ∠3=∠5 D．∠3+∠4=180°
【思路点拨】根据平行线的判定方法进行判断．
【答案】C
【解析】解：∠3与∠5不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，所以∠3=∠5不能判定AB∥CD．
【总结升华】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，熟练掌握平行线的判定定理．21教育网
【训练】如图，下列条件中，不能判断直线∥的是（ ）.
A．∠1=∠3　　B．∠2=∠3　　C．∠4=∠5　　D．∠2+∠4=1800
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【答案】B
【训练】已知，如图，BE平分ABC，CF平分BCD，1=2，求证：AB//CD．
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【答案】∵ 1=2
∴ 21=22 ，即∠ABC＝∠BCD
∴ AB//CD （内错角相等，两直线平行）
例4.如图所示，由(1)∠1＝∠3，(2)∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行．
【思路点拨】试着将复杂的图形分解成“基本图形”．
【答案与解析】
解：(1)由∠1＝∠3，
可判定AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
(2)由∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3得：
∠2＝∠BAD-∠1＝∠DCB-∠3＝∠4（等式性质），即∠2＝∠4
可以判定AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
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综上，由（1）（2）可判定：AD∥BC，AB∥CD.
【总结升华】本题探索结论的过程 ( http: / / www.21cnjy.com )采用了“由因索果”的方法．即在条件下探索由这些条件可推导出哪些结论，再由这些结论推导出新的结论，直到得出结果． 21·世纪*教育网
【训练】如图，、分别在、上，，与互余，．求证：．
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证明：
与互余
【点拨】本题主要考查垂直的定义，余角以及平行线的判定，熟练掌握相关定义并准确的进行逻辑推理是求解本题的关键.www-2-1-cnjy-com
例5.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
【答案与解析】
解：这两条直线平行.理由如下：
如图：
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∵ b⊥a, c⊥a
∴ ∠1＝∠2＝90°
∴ b∥c (同位角相等，两直线平行) ．
【总结升华】本题的结论可以作为两直线平行的判定方法.
【训练】已知，如图，EFEG，GMEG，1=2，AB与CD平行吗？请说明理由．
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【答案】
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解：AB∥CD．理由如下：如图：
∵ EFEG，GMEG (已知)，
∴ ∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．
又∵ ∠1＝∠2(已知)，
∴ ∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，
即∠3＝∠4．
∴ AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．
【类型】四、平行线判定综合训练
例6．如图所示，当与满足什么关系时，可以判定，说明理由．
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【分析】当①时，．由三角形内角和知②，把①代入②即可得到，从而可证.
解：当时，．理由如下：
如图，连接．
在中，．
∵（已知），
∴（等量代换），
即．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
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【点拨】本题考查了三角形的内角和等于1 ( http: / / www.21cnjy.com )80°，以及平行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.2-1-c-n-j-y
【训练】如图，已知，B 25，BCD 45，CDE 30，E 10 ．21*cnjy*com
证明AB∥EF。
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证明：过C点作CH∥AB，过点D作DG∥EF，
∵CH∥AB，B 25，
∴∠BCH=B 25
∵BCD 45，∴∠HCD=45°-25°=20°
∵DG∥EF，E 10
∴∠GDE=E 10
∵CDE 30，
∴∠CDG=30°-10°=20°，
∴∠CDG=∠HCD
∴GD∥CH，
∴AB∥EF.
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【点拨】此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.
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