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第二讲 探索直线平行条件
一、单选题
1．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
【答案】C
【解析】
根据平行线的判定，可由∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行，得到AD∥BC，由∠1=∠4，得到AB∥CD.
故选C.
2．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短21教育网
【答案】A
【解析】试题分析：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；
在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；
在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；
故选：A.
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线叫点到直线的距离
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．不相交的两直线一定互相平行
【答案】C
【解析】试题分析：从直线外一点到这条直线的垂线的长度叫点到直线的距离，故A不正确；
在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B不正确；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故C正确；
在同一平面内，不相交的两直线一定互相平行，故D不正确.
故选：C.
4．下列命题不正确的是（ ）
A．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．对顶角相等
D．从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】
分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】
A. 在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故原选项错误
B. 两直线平行，内错角相等，该选项正确..
C. 对顶角相等，该选项正确..
D. 从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短，该选项正确..
故选A.
【点睛】
主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．21世纪教育网版权所有
5．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a、b平行的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.
【详解】
解：A.∠1=∠4可以判定a，b ( http: / / www.21cnjy.com )平行，故本选项错误；
B.∠2=∠3，可以判定a，b平行，故本选项错误；
C.∠1+∠4=180°，不能判断直线a、b平行，故本选项正确；
D.∠1+∠3=180°，可以判定a，b平行，故本选项错误.
故选C.【来源：21·世纪·教育·网】
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：同位角相等，两直线平行.
6．如图，由下列条件不能得到AB∥CD的是（）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠B+∠BCD=180° D．∠B=∠5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
A、∵∠3=∠4，∴AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故本选项正确；
C、∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本选项错误；
D、∵∠B=∠5，∴AB∥CD，故本选项错误．
故选B
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知平行 ( http: / / www.21cnjy.com )线的判定定理是解答此题的关键．平行线的判定定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：两条直线被第三条所内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．
7．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD平行于BC的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D+∠DAB＝180° D．∠B＝∠DCE
【答案】B
【解析】
【分析】
由平行线的判定方法判断即可．
【详解】
解：∵∠3＝∠4（已知），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故选：B．
【点睛】
此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．21*cnjy*com
8．下列推理中，错误的是( )
A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD
B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF
【答案】A
【解析】
【分析】
根据相关的定义或定理判断．
【详解】
解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答 ( http: / / www.21cnjy.com )案不确定，有多个答案，AB可能与CD平行，也可能垂直，在空间中也可能异面等，故A选项错误；
B、由∠α=∠β，∠β=∠γ，根据角的等量代换可知，∠α=∠γ，故B选项正确；
C、由a∥b，b∥c，根据平行线的平行的传递性可知a∥c，故C选项正确；
D、根据线段长度的等量代换可知AB=EF，易知D选项正确；
综上所述，答案选A．【版权所有：21教育】
【点睛】
主要考查学生对平行公理及推论的运用，注意等量代换的应用．
9．如图，直线EF分别交CD、AB于M、N，且∠EMD=65°，∠MNB=115°，则下列结论正确的是（ ）
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A．∠A=∠C B．∠E=∠F C．AE∥FC D．AB∥DC
【答案】D
【分析】
因为∠EMD=65°，∠MNB=115°，所以∠EMD与∠MNB互补，则有AB∥DC，结合选项选择正确答案．
【详解】
∵∠EMD=65°，∠MNB=115°，
∴∠CMN=∠EMD=65°，
∴∠CMN+∠MNB=180°，
∴AB∥DC
故选D．
【点睛】
正确识别“三线八角”中的 ( http: / / www.21cnjy.com )同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
10．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有一条直线平行于已知直线； B．两条直线不相交就平行
C．两点之间，直线最短； D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据应为过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；同一平面内不重合的两条直线的位置关系；两点之间，线段最短；21教育名师原创作品
【详解】
解：A、过一点有一条直线平行于已知直线，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；
B. 两条直线不相交就平行，说法错误，应为在同一平面内不相交的两条直平行；
C. 两点之间，直线最短，说法错误，应为两点之间，线段最短；
D. 在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，说法正确.
【点睛】
本题主要考查平行线公理、线段的性质，直线的位置关系，熟记这些定理和定义是解决问题的关键．
11．如图，下列推理正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．因为∠BAD+∠ABC＝180°，所以AB∥CD
B．因为∠1＝∠3，所以AD∥BC
C．因为∠2＝∠4，所以AD∥BC
D．因为∠BAD+∠ADC＝180°，所以AD∥BC
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理分析即可.
【详解】
A、错误．由∠BAD+∠ABC＝180°应该推出AD∥BC．
B、正确．
C、错误．由∠2＝∠4，应该推出AB∥CD．
D、错误．由∠BAD+∠ADC＝180°，应该推出AB∥CD，
故选：B．
【点睛】
考核知识点：平行线的判定.理解判定是关键.
12．如图，若∠A＝∠CBE，则下列关系正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．AB∥DC B．AD∥BC C．∠A＝∠C D．∠A+∠D＝180°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线判定定理解答即可，
【详解】
∵∠A＝∠CBE，
∴AD∥BC（同位角相等两直线平行），
故选B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线判定定理是解题关键.【来源：21cnj*y.co*m】
13．下列说法错误的有（ ）（1 ( http: / / www.21cnjy.com )）相等的角是对顶角；（2）同旁内角互补；（3）同角或等角的余角相等；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据余角的定义对③进行判断；根据平行线的性质对④⑤⑥进行判断．
【详解】
（1）相等的角是对顶角,错误；
（2）同旁内角互补,错误；
（3）同角或等角的余角相等，正确；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行，正确；
（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行,条件缺少在同一平面内，错误；
（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确.
错误的命题有3个，故答案为C.
【点睛】
此题主要考查了对顶角的定义、余角及补角的定义和平行线的性质，关键是熟练掌握各知识点．
14．如图，下列说法正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．如果∠1和∠2互补，那么l1∥l2
B．如果∠2＝∠3，那么l1∥l2
C．如果∠1＝∠2，那么l1∥l2
D．如果∠1＝∠3，那么l1∥l2
【答案】D
【解析】
【分析】
依据平行线的判定定理即可判断．
【详解】
A、∠1和∠2是邻补角，一定互补，与l1∥l2没有联系，故选项错误；
B、∠2和∠3是同旁内角，当∠2+∠3＝180°时，才有l1∥l2，故选项错误；
C、∠1和∠2是邻补角，与l1∥l2没有联系，故选项错误；
D、同位角相等，两直线平行，故选项正确．
故选D．
【点睛】
正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同 ( http: / / www.21cnjy.com )旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
15．下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；
C．同旁内角相等，两直线平行；
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定以及平行线的性质以及点到直线的距离定义逐项分析即可．
【详解】
A、如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角才相等，故该选项错误；
B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项正确；
C、同旁内角互补的两条直线平行，故该选项错误；
D、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定以及点到直线的距离定义．
16．如图，下列条件：①∠B+∠BFE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．能判定AB∥EF的有( )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】
解：①∵∠B+∠BFE=180°，∴AB∥EF，故本小题正确；
②∵∠1=∠2，∴DE∥BC，故本小题错误；
③∵∠3=∠4，∴AB∥EF，故本小题正确；
④∵∠B=∠5，∴AB∥EF，故本小题正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
二、填空题
17．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有_________．（填序号）21cnjy.com
【答案】①④⑥
【分析】
利用对顶角的性质判断①，利用两点距离定义判定②，利用平行公理判定③，利用垂线公里判定④，利用线段中点定义判定⑤，利用余角的性质判定⑥．
【详解】
①对顶角相等正确；
②由两点间线段的长度是两点间距离，所以两点间线段是两点间距离不正确；
③由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以过一点有且只有一条直线与已知直线平行不正确；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直正确；
⑤由线段中点的性质，若，点C在AB上，则点C是线段的中点，所以若，则点C是线段的中点不正确；21*cnjy*com
⑥同角的余角相等正确；
正确的有①④⑥．
故答案为：①④⑥．
【点睛】
本题考查对顶角性质，两点间的距离，平行公理， ( http: / / www.21cnjy.com )垂线公里，线段的中点，余角的性质等问题，掌握对顶角性质，两点间的距离，平行公理，垂线公里，线段的中点，余角的性质是解题关键．
18．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
【答案】1
【分析】
根据各小题的描述情况，判断各小题的正误，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
（2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正确；
（3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确；
（4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确；
（5）∵若ab，bc，则ac，故（5）不正确，
正确的只有（2）一个选项，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考察了平面内直线的位置关系，平行公理的应用、直线相交交点个数问题，解题的关键在于画出题意所示的直线位置图，以此判断说法的正误．
19．如图，下列条件①，②，③，④，⑤，能判断的是____．
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【答案】①④
【分析】
根据平行线的判定即可解题.
【详解】
解：①，根据内错角相等可以判断.
②，得到的是AC∥BD,
③，得到的是AC∥BD,
④，可以判断.
⑤，判断不出平行,
所以答案是①④
【点睛】
本题考查了平行线的判定,属于简单题,熟悉平行线的判定定理,找到对应的内错角和同旁内角是解题关键.
20．如图，若满足条件_________，则有．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】∠A=∠3(答案不唯一）．
【解析】
【分析】
根据同位角相等，两直线平行可知∠A=∠3时， ( http: / / www.21cnjy.com )AB//CD；也可根据内错角相等，两直线平行添加条件∠A=∠1；也可根据同旁内角互补，两直线平行添加条件∠A+∠4=180°.
【详解】
∵∠A=∠3，
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行)．
故答案为∠A=∠3（答案不唯一）．
【点睛】
此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键.
21．如图，直线AB，CD被直线AC所截， E为线段CD上一点.
（1）若∥，则_____．依据是______________________.
（2）若____________，则∥．依据是内错角相等，两直线平行．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 两直线平行，同位角相等 6 9 .
【解析】
【分析】
根据平行线的性质与判定进行解答即可.
【详解】
（1）若AB∥CD，则∠1=∠2．依据是两直线平行，同位角相等.
（2）若∠6=∠9，则AE∥BD．依据是内错角相等，两直线平行．
【点睛】
此题考查了两条直线平行的性质与判定，熟记平行线的性质和判定是解决本题的关键.
22．如图，已知，是等腰三角形，，则______.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】36°
【解析】
【分析】
根据平行性质得出∠ADB=∠DBA,又是等腰三角形，所以，°，即可得出∠ADB的值.
【详解】
是等腰三角形
°
°
【点睛】
本题考查平行的性质，解题关键是推出.
23．在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）
如图，已知AB∥CD，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE∥CF．
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：∵AB∥CD，（已知）
∴∠_______=∠_______．___________________________
∵__________________________________________，（已知）
∴∠EBC=_______，（角平分线定义）
同理，∠FCB=______________．
∴∠EBC=∠FCB．（等式性质）
∴BE//CF．（_____________________________________）
【答案】ABC DCB ( http: / / www.21cnjy.com ) 两直线平行，内错角相等 BE平分∠ABC ∠ABC ∠DCB 内错角相等，两直线平行 21·cn·jy·com
【分析】
根据平行线的性质得出∠ABC=∠DCB，求出∠EBC=∠FCB，根据平行线的判定得出即可．
【详解】
∵AB∥CD（已知）
∴∠ABC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）．
∵BE平分∠ABC（已知），∴∠EBC∠ABC（角平分线的定义）
同理：∠FCB∠DCB，∴∠FBC=∠FCB（等式性质），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为ABC；DCB；两直线平行，内错角相等；BE平分∠ABC；∠ABC；∠DCB；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解答此题的关键．
三、解答题
24．如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；
（2）说出该画法依据的定理．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）在直线a、b上任取点A、B连接AB，分别测出AB与直线a、b所成锐角的度数，即可求得两条直线所成角的度数.www-2-1-cnjy-com
（2）该画法利用的原理是三角形内角和为180°.
【详解】
（1）如图，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°﹣∠1﹣∠2即为直线a，b所成角的度数．
（2）依据：三角形内角和为180°；
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，熟悉定理是解题关键.
25．如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗 请说明理由.
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【答案】平行，理由见解析.
【解析】
【分析】
先做辅助线延长BE，交CD于 ( http: / / www.21cnjy.com )F，根据∠BEC+∠CEF=180°可得到∠CEF的度数；再根据三角形内角和定理即可得到∠BFC=60°，至此，再结合平行线的判定定理即可得到结论.
【详解】
解：AB∥CD,理由如下:
如图所示,延长BE,交CD于点F,
因为∠BEC=95°,
所以∠CEF=180°-95°=85°.
又因为∠DCE=35°,
所以∠BFC=180°-∠DCE-∠CEF=180°-35°-85°=60°.
因为∠ABE=120°(已知),
所以∠ABE+∠BFC=180°,
所以AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).
【点睛】
本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键.
26． 我们知道在同一平面内，两条平 ( http: / / www.21cnjy.com )行直线的交点有0个，两条相交直线的交点有1个，平面内三条平行直线的交点有0个，经过同一点的三条直线的交点有1个……
(1)平面上有三条互不重合的直线，请画图探究它们的交点个数；
(2)若平面内的五条直线恰有4个交点，请画出符合条件的所有图形；
(3)在平面内画出10条直线，使它们的交点个数恰好是32.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）平面上有三条互不重合的直线，共有4总 ( http: / / www.21cnjy.com )共情况：①三条直线平行；②三条直线相交于同一点；③三条直线两两相交；④一条直线截两条平行线，由此画图即可解答；（2）平面内的五条直线可以有4个交点，有3种不同的情形（如图所示）；（3）可使4条直线平行，另4条直线平行且都与这4条直线相交，再有2条直线平行且都与这4条直线相交，且也与另外4条直线相交（如图所示）（本题答案不唯一，符合题意即可）．
【详解】
(1)如图所示．
(2)如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
(3)如图所示(其他答案合理也可)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查平面内不重合直线的位置关系，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．【出处：21教育名师】
27．如图,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3=∠4,则a与c平行吗 为什么
( http: / / www.21cnjy.com / )
解:a与c平行.
理由:因为∠1=∠2(_________________),
所以a∥b(_________________).
因为∠3=∠4(_________________),
所以b∥c(_________________).
所以a∥c(_________________).
【答案】已知;同位角相等,两直线平行;已知;同位角相等,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】
由已知∠1=∠2，根据内错角相等，两 ( http: / / www.21cnjy.com )直线平行可知a∥b，由∠3=∠4，根据同旁内角互补，两直线平行可知b∥c，根据如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行得出结论a∥c．
故答案为：已知;同位角相等,两直线平行;已知;同位角相等,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.
点睛：本题很简单，考查的是平行线的判定定 ( http: / / www.21cnjy.com )理和平行公理的推论．内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行．
28．如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.
(1)如图①，求证：DE∥BC；
(2)若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】见解析
【解析】
（1）首先证明∠1+∠3+∠2+∠4=180 ( http: / / www.21cnjy.com )°，进而证明∠D+∠B=180°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，证明∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，即可解决问题．
试题解析：（1）如图1，
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∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°；
∵∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360°，
∴∠D+∠B=180°，
∴DE∥BC．
（2）成立．
如图2，连接EC；
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∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°；
∵∠EAC=90°，
∴∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，
∴∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，
∴DE∥BC，
即（1）中的结论仍成立．
29．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.
(1)求证：EA平分∠BEF；
(2)若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由AE⊥CE易得∠2＋∠3＝ ( http: / / www.21cnjy.com )90°且∠1＋∠4＝90°，由EC平分∠DEF易得∠3＝∠4，从而∠1＝∠2，故EA平分∠BEF；21·世纪*教育网
（2）由（1）得∠3=∠4，进而得出EF∥DC，再利用AE⊥CE得出，∠1=∠2，进而得出AB∥CD.
试题解析：证明：(1)∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°且∠1＋∠4＝90°.
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF.
(2)∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠B＋∠D＝180°－2∠1＋180°－2∠4＝360°－2(∠1＋∠4)＝180°，
∴AB∥CD.
30．如下图，按要求作图：
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(1)过点P作直线CD平行于AB．
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为O.
【答案】作图见解析
【解析】
分析：利用题中几何语言画出对应的几何图形．
详解：如图，CD和点O为所作．
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点睛：本题考查了作图-复杂作图：复杂作 ( http: / / www.21cnjy.com )图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．www.21-cn-jy.com
31．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，；图②中，．图③是该同学所做的一个实验：他将△的直角边与△的斜边重合在一起，并将△沿方向移动．在移动过程中，两点始终在边上(移动开始时点与点重合)．2·1·c·n·j·y
(1) 在△沿方向移动的过程中，该同学发现：两点间的距离 ；连接的度数 ．（填“不变”、“ 逐渐变大”或“逐渐变小”）2-1-c-n-j-y
(2) △在移动过程中，与度数之和是否为定值，请加以说明；
(3) 能否将△移动至某位置，使的连线与平行？如果能，请求出此时的度数，如果不能，请说明理由。
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【答案】（1）变小，变大；（2）和为定值，理由见解析；（3）15°．
【解析】
试题分析：（1）利用图形的变化得出F、C两点间的距离变化和，∠FCE的度数变化规律；
（2）利用外角的性质得出∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，即可得出答案；
（3）要使FC∥AB，则需∠FCE=∠A=30°，进而得出∠CFE的度数．
试题解析：（1）F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大；
（2）∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
理由：∵∠D=90°，∠DFE=45°，
又∵∠D+∠DFE+∠FED=180°，
∴∠FED=45°，
∵∠FED是△FEC的外角，
∴∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，
即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
（3）要使FC∥AB，则需∠FCE=∠A=30°，
又∵∠CFE+∠FCE=45°，
∴∠CFE=45°-30°=15°．
考点：1.三角形的外角性质；2.平行线的判定；3.三角形内角和定理.
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第二讲 探索直线平行条件
一、单选题
1．如下图，在下列条件中，能判定AB//CD的是( )
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A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠1=∠4 D．∠3=∠4
2．下列说法不正确的是（ ）
A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短21世纪教育网版权所有
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．从直线外一点到这条直线的垂线叫点到直线的距离
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．不相交的两直线一定互相平行
4．下列命题不正确的是（ ）
A．在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线垂直
B．两直线平行，内错角相等
C．对顶角相等
D．从直线外一点到直线上点的所有线段中，垂线段最短
5．如图，直线a、b被直线c所截，下列条件中，不能判断直线a、b平行的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．如图，由下列条件不能得到AB∥CD的是（）
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A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠B+∠BCD=180° D．∠B=∠5
7．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD平行于BC的是（ ）
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A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4
C．∠D+∠DAB＝180° D．∠B＝∠DCE
8．下列推理中，错误的是( )
A．因为AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD
B．因为∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF
9．如图，直线EF分别交CD、AB于M、N，且∠EMD=65°，∠MNB=115°，则下列结论正确的是（ ）
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A．∠A=∠C B．∠E=∠F C．AE∥FC D．AB∥DC
10．下列说法正确的是（ ）
A．过一点有一条直线平行于已知直线； B．两条直线不相交就平行
C．两点之间，直线最短； D．在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.
11．如图，下列推理正确的是（ ）
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A．因为∠BAD+∠ABC＝180°，所以AB∥CD
B．因为∠1＝∠3，所以AD∥BC
C．因为∠2＝∠4，所以AD∥BC
D．因为∠BAD+∠ADC＝180°，所以AD∥BC
12．如图，若∠A＝∠CBE，则下列关系正确的是（ ）
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A．AB∥DC B．AD∥BC C．∠A＝∠C D．∠A+∠D＝180°
13．下列说法错误的有（ ）（1 ( http: / / www.21cnjy.com )）相等的角是对顶角；（2）同旁内角互补；（3）同角或等角的余角相等；（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；21教育网
A．5个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，下列说法正确的是（ ）
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A．如果∠1和∠2互补，那么l1∥l2
B．如果∠2＝∠3，那么l1∥l2
C．如果∠1＝∠2，那么l1∥l2
D．如果∠1＝∠3，那么l1∥l2
15．下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
B．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度；
C．同旁内角相等，两直线平行；
D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
16．如图，下列条件：①∠B+∠BFE=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠B=∠5．能判定AB∥EF的有( )
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
17．下列说法：①对顶角相等；②两点间线段是两点间距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤若，则点C是线段的中点；⑥同角的余角相等正确的有_________．（填序号）21·cn·jy·com
18．给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
19．如图，下列条件①，②，③，④，⑤，能判断的是____．
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20．如图，若满足条件_________，则有．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
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21．如图，直线AB，CD被直线AC所截， E为线段CD上一点.
（1）若∥，则_____．依据是______________________.
（2）若____________，则∥．依据是内错角相等，两直线平行．
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22．如图，已知，是等腰三角形，，则______.
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23．在下列解题过程的空白处填上适当的内容（推理的理由或数学表达式）
如图，已知AB∥CD，BE、CF分别平分∠ABC和∠DCB，求证：BE∥CF．
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证明：∵AB∥CD，（已知）
∴∠_______=∠_______．___________________________
∵__________________________________________，（已知）
∴∠EBC=_______，（角平分线定义）
同理，∠FCB=______________．
∴∠EBC=∠FCB．（等式性质）
∴BE//CF．（_____________________________________）
三、解答题
24．如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？
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（1）请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图（简要说明画法过程）；
（2）说出该画法依据的定理．
25．如图,∠BEC=95°,∠ABE=120°,∠DCE=35°,则AB与CD平行吗 请说明理由.21cnjy.com
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26． 我们知道在同一平面内，两条平行直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的交点有0个，两条相交直线的交点有1个，平面内三条平行直线的交点有0个，经过同一点的三条直线的交点有1个……www.21-cn-jy.com
(1)平面上有三条互不重合的直线，请画图探究它们的交点个数；
(2)若平面内的五条直线恰有4个交点，请画出符合条件的所有图形；
(3)在平面内画出10条直线，使它们的交点个数恰好是32.
27．如图,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3=∠4,则a与c平行吗 为什么
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解:a与c平行.
理由:因为∠1=∠2(_________________),
所以a∥b(_________________).
因为∠3=∠4(_________________),
所以b∥c(_________________).
所以a∥c(_________________).
28．如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.
(1)如图①，求证：DE∥BC；
(2)若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．
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29．如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF.
(1)求证：EA平分∠BEF；
(2)若∠1=∠A，∠4=∠C，求证：AB∥CD.
30．如下图，按要求作图：
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(1)过点P作直线CD平行于AB．
(2)过点P作PE⊥AB，垂足为O.
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