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第三讲 平行线的性质
一、单选题
1．如图，已知直线，，，则等于（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．110° B．100° C．130° D．120°
【答案】A
【分析】
平行线的拐角问题，作直线c//，由平行线的性质与判定解题即可．
【详解】
如图，作直线c//，
( http: / / www.21cnjy.com / )
直线，直线c//，
c//，
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
故选：A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，是重要考点，作平行辅助线、掌握相关知识是解题关键．
2．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．相等的两个角是对顶角
D．如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0
【答案】D
【分析】
分别写出各个命题的逆命题，根据直角三角形的概念、等腰三角形的性质、对顶角的概念、有理数的加法法则判断即可．
【详解】
解：A、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
B、有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是等腰三角形有两边相等，是真命题；
C、相等的两个角是对顶角的逆命题是对顶角相等，是真命题；
D、如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0的逆命题是如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0，是假命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】
利用平行线的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
③相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、对顶角的定义以及平行公理．
4．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②等角或同角的余角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果，那么．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】
由题意分别利用平行线的性质以及余角的性质与内外角性质和非负数的性质分别判断即可．
【详解】
解：①两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题是假命题；
②等角或同角的余角相等，故原命题是真命题；
③三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角，故原命题是假命题；
④当x和y都为负数时不满足条件，故原命题是假命题．
只有②是真命题，共1个．
故选：A．
【点睛】
本题考查命题与定理，正确掌握平行线的性质以及余角的性质与内外角性质和非负数的性质是解题的关键．
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C．同位角相等 D．直角三角形两个锐角互补
【答案】A
【分析】
利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
C、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；
D、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．
故选：A．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．
6．如图，下列说法错误的是（ ）
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A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质和判定，选出说法错误的选项．
【详解】
A选项正确，∵，由内错角相等得两直线平行，∴；
B选项正确，，由同旁内角互补得两直线平行，∴；
C选项错误，不满足平行线的判定；
D选项正确，这个是平行的传递性．
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理．
7．如图所示，已知与相交于点O，．如果，，则的大小为（ ）
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A．60° B．70° C．80° D．120°
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质求解即可．
【详解】
∵，
∴，，（两直线平行，同位角相等），
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线性质的应用，熟记平行线的性质并灵活运用是解题关键．
8．如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则（ ）．
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据纸条两边平行得到，再求出，求得∠3的度数，再根据∠3与∠5互补，求得∠5的度数即可．
【详解】
纸条两边平行，
（两直线平行，同位角相等），
又三角板为直角三角形，
，
（两直线平行，内错角相等），
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；涉及到两角互余或互补时两角的关系．【来源：21·世纪·教育·网】
9．将一副三角板按如图放置，如果，则有是（ ）
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A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】
根据一副三角板的特征先得到∠E=60°， ( http: / / www.21cnjy.com )∠C=45°，∠1+∠2=90°，再根据已知求出∠1=60°，从而可证得AC∥DE，再根据平行线的性质即可求出∠4的度数．
【详解】
解：根据题意可知：∠E=60°，∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∵，
∴∠1=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
10．下列语句正确的有（ ）个．
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．
③立方根等于它本身的数是非负数．
④用反证法证明：如果在中，，那么、中至少有一个角不大于45°时，应假设，．
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是和，则周长是或．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】
先写出逆命题，进而即可判断； ( http: / / www.21cnjy.com )根据补角的性质，即可判断②；根据立方根的性质，即可判断③；根据反证法的定义，即可判断④根据等腰三角形的定义和三角形三边长关系，即可判断⑤．
【详解】
①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故该小题错误；
②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，故该小题错误；
③立方根等于它本身的数是0，±1，故该小题错误；
④用反证法证明：如果在中，，那么、中至少有一个角不大于45°时，应假设，，故该小题正确；
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是和，则周长是，故该小题错误．
故选D．
【点睛】
本题主要考查补角的性质，真假命题，反证法以及等腰三角形的定义，掌握反证法的定义，等腰三角形的定义是解题的关键．
11．如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（ ）
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A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】A
【分析】
先证明DC∥AB，得到∠D+∠DAB＝180°，再根据∠D：∠DAB＝2：1即可求解．
【详解】
解：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠2，
∴DC∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
又∵∠D：∠DAB＝2：1，
∴∠D＝180°×＝120°．
故选：A
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键．
12．已知，一个含有30°的角的三角尺按如图所示位置摆放，若，则的度数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．20° B．25° C．30° D．65°
【答案】B
【分析】
过三角尺的顶点作平行线，根据平行线的性质求出∠4，故可求出的度数．
【详解】
如图，三角尺的顶点作平行线，则
∴∠3=，∠4=90°-∠3=25°
故=∠4=25°
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com / )．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据题意作出平行线进行求解．
13．如图，于点，，，则（ ）
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A．112° B．122° C．132° D．142°
【答案】C
【分析】
由可得∠CAE与∠BAC互余，则由可计算出∠BAC的度数，再利用平行线的性质即可求解∠ACD的度数．
【详解】
解：∵AB⊥AE，∠CAE＝42°，
∴∠BAC＝90° 42°＝48°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝132°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，掌握垂直与平行线的性质并准确得出∠BAC度数是解题关键．
14．用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】
解：用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”，
第一步应是假设∠B=∠C，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤 ( http: / / www.21cnjy.com )是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
15．如图，当时，下列结论正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵
∴，故C正确；但无法判断其余选项是否正确
故选C．
【点睛】
此题考查的是平行线的性质，掌握平行线的各个性质定理是解题关键．
16．下列句子，是命题的是（ ）
A．美丽的天空 B．相等的角是对顶角
C．作线段AB=CD D．你喜欢运动吗？
【答案】B
【分析】
判断事物的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A、美丽的天空，是描叙性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意；
B、相等的角是对顶角是命题，所以B选项符合题意；
C、作线段AB=CD，是描叙性语言，它不是命题，所以C选项不符合题意；
D、你喜欢运动吗？，是疑问句，没有对事物作出判断，它不是命题，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题的定义，掌握根据命题的定义进行命题的判断是解题的关键．
17．命题“等角的补角相等”的条件是( )
A．等角 B．这两个角相等 C．补角相等 D．两个角是等角的补角
【答案】D
【分析】
首先把命题改写成“如果…,那么….”形式后根据以如果开始的部分是题设，以那么开始的部分是结论，得出结论．21教育网
【详解】
命题：等角的补角相等，
改写成“如果…,那么….”，
命题的题设：两个角是等角的补角，结论是这两个角相等．
故选择：D．
【点睛】
本题考查命题的题设与结论问题，熟练掌握命题的形式是解题的关键．
18．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角或等角的余角相等
C．三角形两边之和大于第三边
D．点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
【答案】D
【分析】
根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】
A 两点确定一条直线，这是一个命题；
B 同角或等角的余角相等，这是一个命题；
C 三角形两边之和大于第三边，这是一个命题；
D 点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离不是命题,这是一个定义；
故选 D ．
【点睛】
此题考查了命题与定理以及定义，关键是能根据命题与定理以及定义的区别得出属于定义的．
19．如图，若直线，则下列各式成立的是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据平行线的性质判断即可．
【详解】
解：∵直线l1∥l2，
∴∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
20．下列命题为假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果，垂足为O，那么
C．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】C
【分析】
根据对顶角、垂直的定义、平行公理、平行线的性质判断即可．
【详解】
A、对顶角相等，是真命题；
B、如果，垂足为O，那么，是真命题；
C、经过直线外的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项是假命题；
D、两直线平行，同位角相等，是真命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的判断，解题的关键是熟练掌握对顶角、垂直的定义、平行公理、平行线的性质．
21．如图，，平分交于点E，若，则（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先根据平角的定义及角平分线的性质求得∠EAC的度数，再根据平行线的性质求解即可．
【详解】
∵∠1＝64°
∴∠BAC＝180°－64°＝116°
∵AE平分∠BAC
∴∠EAC＝∠BAC＝58°
∵AC∥BD
∴∠2＝180°－∠EAC＝122°
故选：B．
【点睛】
本题考查平角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线把角分成相等的两个小角，且都等于大角的一半．21cnjy.com
22．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】
由AB∥CD得∠1＝∠2，∠B＝∠3，根据平行线的推论得EC⊥CD，再由余角的性质得∠1与∠ACE、∠B、∠3三个角互余，故选B答案．21·cn·jy·com
【详解】
解：如图所示：
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∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
又∵EC⊥AB，
∴EC⊥CD，
∴∠2+∠ACE＝90°，
∴∠1+∠ACE＝90°，
∴∠1与∠ACE互余；
又∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠1＝∠CAB，
∴∠1+∠B＝90°，
∴∠1与∠B互余；
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1与∠3互余，
综合所述，图中与∠1互余的角的个数为3，
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂直的定义，对顶角的性质，余角的性质等知识点，重点掌握平行线性质，难点是找余角的个数时不重不漏．www.21-cn-jy.com
23．如图，已知，把三角尺的直角顶点放在直线a上．若，则的度数为（ ）
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A．130° B．140° C．145° D．150°
【答案】A
【分析】
如解图所示，根据平角的定义即可求出∠3，利用两直线平行，同旁内角互补即可求出结论．
【详解】
解：如下图所示
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∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】
此题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题关键．
二、填空题
24．如图，，若，则的度数为____．
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【答案】
【分析】
由平行线的性质解题：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【详解】
如图，
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故答案为：．
【点睛】
本题考查平行线的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
25．高兴同学在学习了全等三角形的相关知识 ( http: / / www.21cnjy.com )后发现：只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB且与射线OA交于点M，另一把直尺压住射线OA且与第一把直尺交于点P，则OP平分∠AOB．若∠BOP＝32°，则∠AMP＝_____°．2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】64
【分析】
由长方形直尺可得MP//OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．
【详解】
解：∵OP平分∠AOB，
∴∠MOB＝2∠BOP＝64°，
由长方形直尺可知：
MP//OB，
∴∠AMP＝∠MOB＝64°，
故答案为：64．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法．
26．已知：如图，，则∠4的度数是___________．
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【答案】126°．
【分析】
由∠1=∠2及对顶角相等可得出∠1=∠ ( http: / / www.21cnjy.com )5，利用“同位角相等，两直线平行”可得出l1∥l2，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠6的度数，再利用对顶角相等可得出∠4的度数．21*cnjy*com
【详解】
解：给各角标上序号，如图所示．
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∵∠1=∠2，∠2=∠5，
∴∠1=∠5，
∴l1∥l2，
∴∠3+∠6=180°．
∵∠3=54°，
∴∠6=180°-54°=126°，
∴∠4=∠6=126°．
故答案为：126°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，牢记平行线的各判定与性质定理是解题的关键．
27．如图，直线a，b被直线c所截（即直线c与直线a，b都相交），且//，若，则的度数=______度．（用含有代数式表示）www-2-1-cnjy-com
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【答案】
【分析】
根据对顶角性质，得；根据平行线性质，得，结合，推导得，即可得到答案．
【详解】
如图
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∵//
∴
∴
∴
∵
∴，即的度数=度
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的知识；解题的关键是熟练掌握对顶角相等、平行线的性质，从而完成求解．
28．如图，平分，，若，则________．
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【答案】35°
【分析】
由DE//AC，∠1＝70°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠ACB的度数，又由CD平分∠ACB，即可求得∠2的度数．【出处：21教育名师】
【详解】
解：∵DE//AC，∠1＝70°，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠2＝∠ACB＝35°．
故答案为：35°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，掌握平行线的性质与角平分线的定义并能利用数形结合的思想是解题的关键．21教育名师原创作品
三、解答题
29．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．21*cnjy*com
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【答案】∠AED+∠D=180°，理由见解析
【分析】
根据平行线的判定定理得出CE ( http: / / www.21cnjy.com )∥FG，根据平行线的性质得出∠C=∠FGD，求出∠FGD=∠EFG，根据平行线的判定得出AB∥CD，再根据平行线的性质得出即可．
【详解】
解：∠AED+∠D=180°，
理由是：∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定定理，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
30．如图，于点D，于点G，若，试说明：．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．
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∵于点D，于点G（已知），
∴
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知），
∴_______（等量代换）
又∵（已证），
∴______（ ）
∴（等量代换）．
【答案】见解析
【分析】
根据垂直的定义得到∠ADC=∠EGC=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，根据平行线的判定得到AD∥EG，由平行线的性质得到∠1=∠2，等量代换得到∠E=∠2，由平行线的性质得到∠E=∠3，等量代换即可得到结论．
【详解】
∵AD⊥BC于点D，EG⊥BC于 ( http: / / www.21cnjy.com )点G（已知），
∴∠ADC=∠EGC=90°（垂直的定义），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠E=∠1（已知）
∴∠E=∠2（等量代换）
∵AD∥EG，
∴∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）．
∴∠2=∠3（等量代换）．
【点睛】
考查了平行线的性质、垂直的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质．
31．如图，，直线分别交，于E、F两点，且平分，，求的度数．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】54°
【分析】
根据平行线的性质，求得∠BEF的度数，继而根据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得出∠2的度数．
【详解】
∵AB//CD，
∴∠1+∠BEF=180°，
∵∠1=72°，
∴∠BEF=180°-72°=108°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=×108°=54°，
又∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠2，
∴∠2=54°．
【点睛】
考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题关键是运用：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
32．如图，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，那么∠1与∠2相等吗？说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】∠1＝∠2，理由见解析．
【分析】
根据平行线的性质推出∠ADE＝∠ABC，推出∠ABC＝∠EFC，根据平行线的判定推出EF∥AB即可．
【详解】
解：∠1＝∠2，
理由是：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠EFC，
∴∠ABC＝∠EFC，
∴EF∥AB，
∴∠1＝∠2．
【点睛】
本题考查了对平行线的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及判定．
33．已知：如图1直线、被直线所截，．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求证：；
（2）如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】
（1）只需要证明即可证明；
（2）作．由平行线的性质即可证明，同理可证明，由此再根据角平分线的定义和平角的性质可得；
（3）设，．，则，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
解：（1）如图1中，
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，，
，
．
（2）结论：如图2中，．
理由：作．
( http: / / www.21cnjy.com / )
，，
，
，，
，
，
同理可证：，
∵平分，平分，
，，
∵，，
；
（3）设，．，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，角平分线的定义等知识，（2）中能正确作出辅助线是解题关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题关键．21世纪教育网版权所有
34．如图，已知EF//BC，∠B=∠1．
（1）AB与CD有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠BAD+∠2=，那么∠G与∠3有怎样的数量关系？为什么？
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【答案】（1）AB∥CD，理由见解析；（2）∠G=∠3，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质，由EF//BC可得∠2=∠1，于是可证∠B=∠2，根据平行线的判定可得出AB与CD的位置关系；2·1·c·n·j·y
（2）证明∠BAD+∠B=即可得出AD∥BC，于是可得出∠G与∠3的数量关系．
【详解】
解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵EF//BC，
∴∠2=∠1，
∵∠B=∠1，
∴∠B=∠2，
∴AB∥CD；
（2）∠G=∠3，理由如下：
∵∠B=∠2，∠BAD+∠2=，
∴∠BAD+∠B=，
∴AD∥BC，
∴∠G=∠3．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，正确识图并熟练掌握性质和判定进行推理是关键．
35．如图，已知直线，在线段上，点在射线上，且．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
由，利用性质内错角相等．由内错角相等，得．由性质同位角相等，利用角的传递性质得即可．
【详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定方法，会利用平行线的性质解决问题是关键．
36．如图，，EG平分，，求的度数．
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【答案】59°
【分析】
由题意，先求出，由角平分线定义得到，再结合垂直和平角的定义，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
∵，
∴，
∵EG平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，以及余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出角的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
37．如图（1）所示是一 ( http: / / www.21cnjy.com )根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．
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（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）过点E作直线a与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；
（2）方法同（1），过E作直线b与AB，CD互相平行，运用平行线的性质证明即可；
（3）可先分别过点E，F，G，作直线c，d，e与AB，CD互相平行，同样运用平行线的性质证明即可．
【详解】
（1），理由如下：
如图所示，过点E作直线a，使得，
则，，（两直线平行，内错角相等），
∴，
即：；
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（2），理由如下：
如图所示，过点E作直线b，使得，
则，，（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∵，
∴，
即：；
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3），理由如下：
如图所示，过点E，F，G作直线c，d，e，使得，
则，，，，（两直线平行，内错角相等），
∵，，
∴，
∴，
即：．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查平行线性质的运用，准确掌握平行线的性质并灵活运用是解题关键．
38．如图，已知，，．
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（1）求的度数；
（2）若平分，交于点Q，且，求的度数．
【答案】（1）45°；（2）85°．
【分析】
（1）先根据BC∥EG得出∠ ( http: / / www.21cnjy.com )E=∠1=45°，再由AF∥DE可知∠AFG=∠E=45°；
（2）作AM∥BC，由平行线的传递性可知AM∥EG，故∠FAM=∠AFG，再根据AM∥BC可知∠QAM=∠Q，故∠FAQ=∠FAM+∠QAM，再根据AQ平分∠FAC可知∠MAC=∠QAC+∠QAM=80°，根据AM∥BC即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵BC∥EG，
∴∠E= ( http: / / www.21cnjy.com )∠1=45°．
∵AF∥DE，
∴∠AFG=∠E=45°；
（2）作AM∥BC，
∵BC∥EG，
∴AM∥EG，
∴∠FAM=∠AFG=45°．
∵AM∥BC，
∴∠QAM=∠Q=20°，
∴∠FAQ=∠FAM+∠QAM=65°．
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC=∠FAQ=65°，
∴∠MAC=∠QAC+∠QAM=85°．
∵AM∥BC，
∴∠ACB=∠MAC=85°．
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【点睛】
本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．熟记平行线的各种性质是解题的关键．
39．如图，已知，，，与互补，判断与是否垂直，并说明理由（填空）．
解：垂直，理由如下：
∵，，
∴（垂直的意义）
∴（_____）
∴（_____）
∵与互补（已知）
∴与互补
∴_________________（_____）
∴（_____）
∵
∴
∴
∴．
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【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD；FH；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．【版权所有：21教育】
【分析】
根据平行线的性质及平行线的判定解答．
【详解】
解：垂直，理由如下：
∵，，
∴（垂直的意义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵与互补（已知）
∴与互补
∴CDFH（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵
∴
∴
∴．
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故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CD；FH；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点睛】
此题考查平行线的判定及性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键．
40．补全解答过程：
如图，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD．
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解：∵EF∥AD，（已知）
∴∠2= ，（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（等量代换）
∴AB∥ ，（ ）
∴∠AGD＋∠BAC=180°．（ ）
∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD= ．
【答案】∠3；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110°
【分析】
由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代换可得∠1=∠3，可得AB∥DG，根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．
【详解】
∵EF∥AD（已知），
∴∠2=∠3．（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3，（等量代换）
∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD=110°．
故答案为：∠3；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，理解平行线的判定与性质进行证明是解此题的关键．
41．如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知21·世纪*教育网
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（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．（用表示）
【答案】（1）见解析（2）90°＋α
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）根据平行线的性质解答即可．
【详解】
解：（1）∵∠3＋∠DFE＝180°，∠1＋∠3＝180°
∴∠DFE＝∠1，
∴AB∥EF，
∴∠CEF＝∠EAD；
（2）∵AB∥EF，
∴∠2＋∠BDE＝180°
又∵∠2＝α
∴∠BDE＝180° α
又∵DH平分∠BDE
∴∠1＝∠BDE＝（180° α）
∴∠3＝180° （180° α）＝90°＋α．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点，注意：①内错角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．
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第三讲 平行线的性质
一、单选题
1．如图，已知直线，，，则等于（ ）
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A．110° B．100° C．130° D．120°
2．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余
B．有两边相等的三角形是等腰三角形
C．相等的两个角是对顶角
D．如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0
3．有下列命题，其中假命题有（ ）
①内错角相等．
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
③相等的角是对顶角．
④经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．下列四个命题中，真命题有（ ）
①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②等角或同角的余角相等；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果，那么．21世纪教育网版权所有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．相等的角是对顶角
C．同位角相等 D．直角三角形两个锐角互补
6．如图，下列说法错误的是（ ）
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A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．如图所示，已知与相交于点O，．如果，，则的大小为（ ）
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A．60° B．70° C．80° D．120°
8．如图，将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，若，则（ ）．
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A． B． C． D．
9．将一副三角板按如图放置，如果，则有是（ ）
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A．15° B．30° C．45° D．60°
10．下列语句正确的有（ ）个．
①“对顶角相等”的逆命题是真命题．
②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．
③立方根等于它本身的数是非负数．
④用反证法证明：如果在中，，那么、中至少有一个角不大于45°时，应假设，．
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是和，则周长是或．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，则∠D的度数是（ ）
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A．120° B．130° C．140° D．150°
12．已知，一个含有30°的角的三角尺按如图所示位置摆放，若，则的度数为（ ）
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A．20° B．25° C．30° D．65°
13．如图，于点，，，则（ ）
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A．112° B．122° C．132° D．142°
14．用反证法证明“在中，若，则”时，第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
15．如图，当时，下列结论正确的是（ ）
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A． B． C． D．
16．下列句子，是命题的是（ ）
A．美丽的天空 B．相等的角是对顶角
C．作线段AB=CD D．你喜欢运动吗？
17．命题“等角的补角相等”的条件是( )
A．等角 B．这两个角相等 C．补角相等 D．两个角是等角的补角
18．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．同角或等角的余角相等
C．三角形两边之和大于第三边
D．点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
19．如图，若直线，则下列各式成立的是（ ）
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A． B．
C． D．
20．下列命题为假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果，垂足为O，那么
C．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．两直线平行，同位角相等
21．如图，，平分交于点E，若，则（ ）
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A． B．
C． D．
22．如图，AB∥CD，AC⊥BC，CE⊥AB于点E．则图中与∠1互余的角的个数是（ ）
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A．2 B．3 C．4 D．6
23．如图，已知，把三角尺的直角顶点放在直线a上．若，则的度数为（ ）
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A．130° B．140° C．145° D．150°
二、填空题
24．如图，，若，则的度数为____．
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25．高兴同学在学习了全等三角形的相 ( http: / / www.21cnjy.com )关知识后发现：只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线OB且与射线OA交于点M，另一把直尺压住射线OA且与第一把直尺交于点P，则OP平分∠AOB．若∠BOP＝32°，则∠AMP＝_____°．21教育网
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26．已知：如图，，则∠4的度数是___________．
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27．如图，直线a，b被直线c所截（即直线c与直线a，b都相交），且//，若，则的度数=______度．（用含有代数式表示）21cnjy.com
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28．如图，平分，，若，则________．
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三、解答题
29．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．21·cn·jy·com
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30．如图，于点D，于点G，若，试说明：．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．
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31．如图，，直线分别交，于E、F两点，且平分，，求的度数．
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32．如图，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，那么∠1与∠2相等吗？说明理由．
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33．已知：如图1直线、被直线所截，．
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（1）求证：；
（2）如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，求的度数．
34．如图，已知EF//BC，∠B=∠1．
（1）AB与CD有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠BAD+∠2=，那么∠G与∠3有怎样的数量关系？为什么？
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35．如图，已知直线，在线段上，点在射线上，且．求证：．
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36．如图，，EG平分，，求的度数．
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37．如图（1）所示是一根木尺折断 ( http: / / www.21cnjy.com )后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．www.21-cn-jy.com
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（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由．
38．如图，已知，，．
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（1）求的度数；
（2）若平分，交于点Q，且，求的度数．
39．如图，已知，，，与互补，判断与是否垂直，并说明理由（填空）．
解：垂直，理由如下：
∵，，
∴（垂直的意义）
∴（_____）
∴（_____）
∵与互补（已知）
∴与互补
∴_________________（_____）
∴（_____）
∵
∴
∴
∴．
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40．补全解答过程：
如图，EF∥AD，∠1=∠2，若∠BAC=70°，求∠AGD．
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41．如图，直线和直线相交于点，连接，点分别在、、上，连接、，是上一点，已知2·1·c·n·j·y
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（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．（用表示）
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