初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第2课时 等边三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·成都期中）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
.
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质得∠BAD=90°，AB=AD，由等边三角形的性质得AD=AE，∠EAD=60°，则∠BAE=150°，AB=AE，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
2．（2021八上·如皋期中）等边三角形的两条中线相交所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴ CE⊥AB，BD平分∠ABC
∴∠OEB=90°，∠EBO= ∠ABC=30°，
则在△BOE中，
∴∠BOE= 180°-∠BEO- ∠OBE= 60°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，由等边三角形的性质可得CE⊥AB，BD平分∠ABC，根据角平分线的概念可得∠EBO=∠ABC=30°，然后在Rt△BOE中，根据内角和定理就可求出∠BOE的度数.
3．（2021八下·武侯期末）若a，b，c分别是 ABC的三边长，且满足a2﹣2ab+b2＝0，b2﹣c2＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2-2ab+b2=0，
∴（a-b）2=0，则a-b=0，
∴a=b，
∵b2-c2=0，即（b+c）（b-c）=0，
∴b=c或b=-c，
∵三角形的边为正数，
∴b=c=a，即△ABC是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式由a2-2ab+b2=0，可得到a=b；再利用平方差公式可证得b=c或b=-c，由此可推出a=b=c，可判断出△ABC的形状.
4．（2021·河南模拟）如图， 是等边三角形，两个锐角都是 的三角尺的一条直角边在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，
故答案为：D.
【分析】利用三角形内角和求出∠3，结合对顶角的性质即可求出∠1的度数.
5．（2020八上·无锡期中）下列命题中：1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线；3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误；
（2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误；
（3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误；
（4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确.
故答案为：A.
【分析】由轴对称图形的概念，由于两个全等三角形位置关系不确定，所以无法判定命题1））说法的正误；由对称轴是直线， 底边上的中线是线段，可判定命题2）说法的正误；由垂直平分线是直线， 等边三角形一边上的高 是线段可判定命题3）说法的正误；由轴对称图形的概念可知线段是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 ，由此可判定命题4）说法的正误.
6．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：和是正三角形，
，，，
，，
，
，故①符合题意，
，故②符合题意；
，
，
，故③符合题意；
，，，
．
，
，
是等边三角形，故④符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三角形全等的判定、等边三角形的性质判断各选项即可得出答案。
7．（2021八上·龙沙期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线N上，点B1、B2、B3……在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长（ ）
A．22019 B．4040 C．4038 D．22020
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=OA1=1，
同理可得，A2B2=OA2=2，A3B3=OA3=4=22，
……
∴△A2020B2020A2021的边长=22019，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠B1A1A2=60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，∠OB1A1=∠MON，根据等腰三角形的判定定理得出A1B1=OA1=1，总结规律，根据规律解答即可。
二、填空题
8．（2021八上·汉寿期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.则 .
【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
故答案为：30°.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，根据等边对等角得出∠CAD＝∠D，进而根据三角形外角的性质，由∠ACB＝∠CAD＋∠D即可求解.
9．（2021九上·凤山期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= .
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，AB=AE，
∴△BAE是等边三角形，
∴BE=3.
故答案为：3.
【分析】根据旋转的性质可得∠BAE=60°，AB=AE，从而证得△BAE是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解.
10．（2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为： 米，则 米.
【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米.
故答案为：48.
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答.
11．（2021八上·西安月考）等边三角形的边长为4，则其面积为 .
【答案】4
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：
∵等边三角形中中线与高线重合，
∴D为BC的中点，故BD= BC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
则AD= ，
∴等边△ABC的面积为 BC AD= .
故答案为： 4 .
【分析】画出示意图，根据等边三角形的性质可得BD=BC=2，在Rt△ABD中，应用勾股定理求出AD，然后根据三角形的面积公式计算即可.
12．（2021八上·如皋期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接CF，与AD交于点E.
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
又∵△ABC是等边三角形
∴AD是BC的垂直平分线，
∴B、C关于AD对称，
∴CF就是BE+EF的最小值.
∵等边△ABC的边长为6，
∴AD= ，
当CF⊥AB时，CF的值最小
∴AF=BF=3，
∴CF是AB的垂直平分线，
∴CF=AD= ，
∵EF+BE=CF
∴EF+BE的最小值为 .
故答案为： .
【分析】连接CF，与AD交于点E，由等边三角形的性质可得AD是BC的垂直平分线，则B、C关于AD对称，CF就是BE+EF的最小值，根据等边三角形的边长可得AD=，当CF⊥AB时，CF的值最小，此时AF=BF=3，推出CF是AB的垂直平分线，则CF=AD=，据此解答.
13．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
三、解答题
14．（2021八上·武威月考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在边AB、AC的延长线上，且DEBC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵，
∴∠D=∠ABC=60°，∠E=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】 由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°， 由平行线的性质∠D=∠ABC=60°，∠E=∠ACB=60°，根据等边三角形的判定即证.
15．（2021八上·盐池期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ．求证： ．
【答案】证明：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证明.
16．（2021八上·岳池期中）货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离.
【答案】解：如图，
∵CD BE，
∴∠EBC＝∠1＝40°，
∴∠BCA＝∠1+∠DCA＝60°
又∵∠ABC＝180°﹣40°﹣80°＝60°
∴△ABC是等边三角形
（海里）
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为3海里.
【知识点】钟面角、方位角；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EBC＝∠1＝40°，求出∠BCA的度数，根据平角的概念可得∠ABC的度数，推出△ABC是等边三角形，据此解答.
17．（2021九上·郯城期中）如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
求证：AM=EN．
【答案】解：由旋转的性质可知：BN=BM，BA=BE．
∵△BAE为等边三角形，∴∠EBA=60°．
又∵∠MBN=60°，∴∠NBE=∠MBA．
在△AMB和△ENB中，∵BN=BM，∠NBE=∠MBA，BA=BE，∴△AMB≌△ENB，∴AM=EN．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】先求出 ∠EBA=60° ，再求出 △AMB≌△ENB ，最后求解即可。
18．（2020八上·南靖月考）如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°求△AMN的周长.
【答案】解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
∴△BMD≌△CDE，
∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
又∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠CBD=∠BCD=30°，利用等边三角形的性质证得∠ABC=∠ACB=60°，由此可推出∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，利用SAS证明△BMD≌△CDE，利用全等三角形的性质可知∠BDM=∠CDE，DM=DE；再利用SAS证明△MDN≌△EDN，利用全等三角形的性质可证得MN=NC+BM，由此可推出△AMN的周长=AB+AC，即可求出△AMN的周长.
19．（2021八上·汽开区期中）如图
[感知]如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA
（1）[探究]如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．
（2）[拓展]如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE=CF，若AF=2AD，S△ABF=6，则S△BCD的大小为
【答案】（1）解：△ADC与△BEA全等，
理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠DAC=180°﹣∠BAC=120°，∠EBA=180°﹣∠ABC=120°，
∴∠DAC=∠EBA，
在△ADC和△BEA中
∵AD=BE，∠DAC=∠EBA，AC=AB
∴△ADC≌△BEA（SAS）；
（2）12
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】（2）∵∠1=∠2 ，∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，
∵AD=BE，AC=AB，
∴△ADC≌△BEA（SAS）
∴S△ADC=S△BEA，
∵AF=2AD ， AD=BE=CF，
∴BF=2BE，AF=2CF，
∴S△ABE=S△ABF=3，S△BCF=S△ABF=3，
∴S△ADC=S△ABE=3，
∴S△BCD=S△ADC+S△ABF+S△BCF=3+6+3=12.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，利用邻补角的定义可得∠DAC
=∠EBA，根据SAS可证△ADC≌△BEA；
（2）先证明△ADC≌△BEA，可得S△ADC=S△BEA，利用同高的两个三角形的年级比等于底之比求出△ABE、△BCF的面积，从而得出△ACD的面积，利用S△BCD=S△ADC+S△ABF+S△BCF即可求解.
四、综合题
20．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【分析】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第2课时 等边三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021九上·成都期中）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
2．（2021八上·如皋期中）等边三角形的两条中线相交所成的锐角为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·武侯期末）若a，b，c分别是 ABC的三边长，且满足a2﹣2ab+b2＝0，b2﹣c2＝0，则 ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
4．（2021·河南模拟）如图， 是等边三角形，两个锐角都是 的三角尺的一条直角边在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·无锡期中）下列命题中：1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线；3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
7．（2021八上·龙沙期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线N上，点B1、B2、B3……在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形若OA1＝1，则△A2020B2020A2021的边长（ ）
A．22019 B．4040 C．4038 D．22020
二、填空题
8．（2021八上·汉寿期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD.则 .
9．（2021九上·凤山期中）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= .
10．（2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）测得的相关数据为： 米，则 米.
11．（2021八上·西安月考）等边三角形的边长为4，则其面积为 .
12．（2021八上·如皋期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是高，F是边AB上一动点，E是AD上一动点，则BE+EF的最小值为 .
13．（2021八上·肇源期末）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确的有 （填序号）①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
三、解答题
14．（2021八上·武威月考）如图，△ABC是等边三角形，D、E在边AB、AC的延长线上，且DEBC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
15．（2021八上·盐池期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ．求证： ．
16．（2021八上·岳池期中）货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离.
17．（2021九上·郯城期中）如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B、D点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
求证：AM=EN．
18．（2020八上·南靖月考）如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°求△AMN的周长.
19．（2021八上·汽开区期中）如图
[感知]如图①，△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，易知：△ADC≌△BEA
（1）[探究]如图②，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BA、CB的延长线上，且AD=BE，△ADC与△BEA还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．
（2）[拓展]如图③，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，点D、E分别在BA、FB的延长线上，且AD=BE=CF，若AF=2AD，S△ABF=6，则S△BCD的大小为
四、综合题
20．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝ 时，△AOD是等腰三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
.
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质得∠BAD=90°，AB=AD，由等边三角形的性质得AD=AE，∠EAD=60°，则∠BAE=150°，AB=AE，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理求解即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴ CE⊥AB，BD平分∠ABC
∴∠OEB=90°，∠EBO= ∠ABC=30°，
则在△BOE中，
∴∠BOE= 180°-∠BEO- ∠OBE= 60°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，由等边三角形的性质可得CE⊥AB，BD平分∠ABC，根据角平分线的概念可得∠EBO=∠ABC=30°，然后在Rt△BOE中，根据内角和定理就可求出∠BOE的度数.
3．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵a2-2ab+b2=0，
∴（a-b）2=0，则a-b=0，
∴a=b，
∵b2-c2=0，即（b+c）（b-c）=0，
∴b=c或b=-c，
∵三角形的边为正数，
∴b=c=a，即△ABC是等边三角形.
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式由a2-2ab+b2=0，可得到a=b；再利用平方差公式可证得b=c或b=-c，由此可推出a=b=c，可判断出△ABC的形状.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∠1=∠3=180°-∠2-∠B=180°-45°-60°=75°，
故答案为：D.
【分析】利用三角形内角和求出∠3，结合对顶角的性质即可求出∠1的度数.
5．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：（1）两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形，由于位置关系不确定，不能正确判定，错误；
（2）等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，而非中线，故错误；
（3）等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线，应该改为高所在的直线，故错误；
（4）一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，符合轴对称性质，正确.
故答案为：A.
【分析】由轴对称图形的概念，由于两个全等三角形位置关系不确定，所以无法判定命题1））说法的正误；由对称轴是直线， 底边上的中线是线段，可判定命题2）说法的正误；由垂直平分线是直线， 等边三角形一边上的高 是线段可判定命题3）说法的正误；由轴对称图形的概念可知线段是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 ，由此可判定命题4）说法的正误.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：和是正三角形，
，，，
，，
，
，故①符合题意，
，故②符合题意；
，
，
，故③符合题意；
，，，
．
，
，
是等边三角形，故④符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三角形全等的判定、等边三角形的性质判断各选项即可得出答案。
7．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2=60°，
∴∠OB1A1=∠B1A1A2-∠MON=30°，
∴∠OB1A1=∠MON，
∴A1B1=OA1=1，
同理可得，A2B2=OA2=2，A3B3=OA3=4=22，
……
∴△A2020B2020A2021的边长=22019，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形的性质得出∠B1A1A2=60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，∠OB1A1=∠MON，根据等腰三角形的判定定理得出A1B1=OA1=1，总结规律，根据规律解答即可。
8．【答案】30°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
∵∠ACB＝∠CAD＋∠D＝60°，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
故答案为：30°.
【分析】根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，根据等边对等角得出∠CAD＝∠D，进而根据三角形外角的性质，由∠ACB＝∠CAD＋∠D即可求解.
9．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，AB=AE，
∴△BAE是等边三角形，
∴BE=3.
故答案为：3.
【分析】根据旋转的性质可得∠BAE=60°，AB=AE，从而证得△BAE是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解.
10．【答案】48
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=48米.
故答案为：48.
【分析】先说明△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答.
11．【答案】4
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：
∵等边三角形中中线与高线重合，
∴D为BC的中点，故BD= BC=2，
在Rt△ABD中，AB=4，BD=2，
则AD= ，
∴等边△ABC的面积为 BC AD= .
故答案为： 4 .
【分析】画出示意图，根据等边三角形的性质可得BD=BC=2，在Rt△ABD中，应用勾股定理求出AD，然后根据三角形的面积公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：连接CF，与AD交于点E.
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC，
又∵△ABC是等边三角形
∴AD是BC的垂直平分线，
∴B、C关于AD对称，
∴CF就是BE+EF的最小值.
∵等边△ABC的边长为6，
∴AD= ，
当CF⊥AB时，CF的值最小
∴AF=BF=3，
∴CF是AB的垂直平分线，
∴CF=AD= ，
∵EF+BE=CF
∴EF+BE的最小值为 .
故答案为： .
【分析】连接CF，与AD交于点E，由等边三角形的性质可得AD是BC的垂直平分线，则B、C关于AD对称，CF就是BE+EF的最小值，根据等边三角形的边长可得AD=，当CF⊥AB时，CF的值最小，此时AF=BF=3，推出CF是AB的垂直平分线，则CF=AD=，据此解答.
13．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①符合题意；
②PQ＝PB＝4，
PQ2+QC2＝42+32＝25，
PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②符合题意；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，
所以③符合题意；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④不符合题意．
所以正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理判断即可。
14．【答案】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵，
∴∠D=∠ABC=60°，∠E=∠ACB=60°，
∴△ADE是等边三角形.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】 由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠A=60°， 由平行线的性质∠D=∠ABC=60°，∠E=∠ACB=60°，根据等边三角形的判定即证.
15．【答案】证明：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证明.
16．【答案】解：如图，
∵CD BE，
∴∠EBC＝∠1＝40°，
∴∠BCA＝∠1+∠DCA＝60°
又∵∠ABC＝180°﹣40°﹣80°＝60°
∴△ABC是等边三角形
（海里）
答：货轮到达C处时与灯塔A的距离为3海里.
【知识点】钟面角、方位角；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠EBC＝∠1＝40°，求出∠BCA的度数，根据平角的概念可得∠ABC的度数，推出△ABC是等边三角形，据此解答.
17．【答案】解：由旋转的性质可知：BN=BM，BA=BE．
∵△BAE为等边三角形，∴∠EBA=60°．
又∵∠MBN=60°，∴∠NBE=∠MBA．
在△AMB和△ENB中，∵BN=BM，∠NBE=∠MBA，BA=BE，∴△AMB≌△ENB，∴AM=EN．
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】先求出 ∠EBA=60° ，再求出 △AMB≌△ENB ，最后求解即可。
18．【答案】解：延长AC到E，使CE=BM，连接DE，（如图）
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，
∴△BMD≌△CDE，
∴∠BDM=∠CDE，DM=DE，
又∵∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=60°，
∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC+CE=NC+BM，
所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2.
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求出∠CBD=∠BCD=30°，利用等边三角形的性质证得∠ABC=∠ACB=60°，由此可推出∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°，利用SAS证明△BMD≌△CDE，利用全等三角形的性质可知∠BDM=∠CDE，DM=DE；再利用SAS证明△MDN≌△EDN，利用全等三角形的性质可证得MN=NC+BM，由此可推出△AMN的周长=AB+AC，即可求出△AMN的周长.
19．【答案】（1）解：△ADC与△BEA全等，
理由：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠DAC=180°﹣∠BAC=120°，∠EBA=180°﹣∠ABC=120°，
∴∠DAC=∠EBA，
在△ADC和△BEA中
∵AD=BE，∠DAC=∠EBA，AC=AB
∴△ADC≌△BEA（SAS）；
（2）12
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合
【解析】【解答】（2）∵∠1=∠2 ，∴AF=BF，∠DAC=∠EBA，
∵AD=BE，AC=AB，
∴△ADC≌△BEA（SAS）
∴S△ADC=S△BEA，
∵AF=2AD ， AD=BE=CF，
∴BF=2BE，AF=2CF，
∴S△ABE=S△ABF=3，S△BCF=S△ABF=3，
∴S△ADC=S△ABE=3，
∴S△BCD=S△ADC+S△ABF+S△BCF=3+6+3=12.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°，利用邻补角的定义可得∠DAC
=∠EBA，根据SAS可证△ADC≌△BEA；
（2）先证明△ADC≌△BEA，可得S△ADC=S△BEA，利用同高的两个三角形的年级比等于底之比求出△ABE、△BCF的面积，从而得出△ACD的面积，利用S△BCD=S△ADC+S△ABF+S△BCF即可求解.
20．【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【分析】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
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