初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第3课时 等腰三角形的判定与反证法 同步练习

初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第3课时 等腰三角形的判定与反证法 同步练习
一、单选题
1．下列命题宜用反证法证明的是（　　）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
2．（2021八上·金华期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，EC在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．（2021七下·普陀期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2020九下·云南月考）如图，已知BO，CO分平分∠ABC、∠ACB，且MN∥BC，若AB=18，AC=12，则△AMN的周长是（　　）.
A．15 B．30 C．35 D．55
5．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （　　）
A．10 B．11 C．13 D．15
6．（2021八上·曹县期中）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2021八上·下城期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM.下列结论：①DF＝DN；③AE＝CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD＝45°，其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是　 　．
9．（2019九下·临洮月考）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=　 　cm.
10．（2021八上·中山期中）在△ABC中，若∠A =
100°，∠B = 40°，AC = 5，则AB = 　 　 ．
11．（2021八上·济宁月考）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=　 　s时，△POQ是等腰三角形．
12．（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交AB于点F，若AF＝8，BF＝7，则CD的长度为　 　.
13．（2021八上·定州期中）如图，已知点A，B的坐标分别为 和 ，在坐标轴上找一点C，使 是等腰三角形，则符合条件的C点共有　 　个．
14．（2021九上·银川月考）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 .将 沿 对折至 ，延长 交 于点G，连接 ， .
下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ 是等腰三角形.
其中正确的结论有　 　（填写所有正确结论的序号）.
三、解答题
15．（2021八上·陆川期中）在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO.要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC.请写出你的选择，并证明.
16．（2020·西安模拟）如图，点E是△ABC的BC边上的一点，∠AEC＝∠AED，ED＝EC，∠D＝∠B，求证：AB＝AC.
17．（2021八上·盐池期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ．求证： ．
18．（2021·泰安期中）上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC=15°，∠NBC=30°．若该船从海岛B继续向正北航行，求船与灯塔C的最短距离．
19．（2020八上·南靖月考）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.
四、综合题
20．（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
21．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝　 　时，△AOD是等腰三角形．
22．（2021八上·长沙期末）（概念学习）①我们规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”；
②从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中：一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（概念理解）（1）如图1，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.
（1）如图2，在ABC中，CD为角平分线，∠A=30°，∠B=50°. 求证：CD为ABC的“等角分割线”.
（2）若在ABC中，∠A=45°，CD是ABC的“等角分割线”，请直接写出所有符合题意的∠ACB的度数.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；反证法
【解析】【解答】解：A、利用三角形面积公式即可证明，错误；
B、根据条件，利用等边三角形的判定定理即可证明，错误；
C、难以用直接的方法证明，只能用反证法证明，正确；
D、根据全等的定义即可直接证明，错误.
故答案为：C.
【分析】先判断能否用直接的方法证明，不能用直接法证明，则只能尝试用反证法证明，即可作答.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质进行解答.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的定义：两边相等或两个内角相等逐项判定即可。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠NBO＝∠OBC，∠OCM＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠NOB＝∠OBC，∠MOC＝∠OCB，
∴∠NBO＝∠NOB，∠MOC＝∠MCO，
∴MO＝MC，NO＝NB，
∵AB＝18，AC＝12，
∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AB＋AC＝18＋12＝30.
故答案为：B.
【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MC，NO＝NB，所以三角形AMN的周长是AB＋AC.
5．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如果点C也是图中的格点，且 是等腰三角形，则点C有8个，如图：
故答案为：C
【分析】分别以点A、B为圆心，以AB的长度为半径画弧，在作AB的垂直平分线，找弧、垂直平分线与网格的交点即可。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE ∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，∴①正确；
在△AFB和△CNA中
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，∴②正确；
∵AE＝AF，M为EF的中点，
∴AM⊥EF，
∴∠AMF＝90°，
同理∠ADB＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠MBN，
∵AN⊥BM，
∴∠AMB＝∠NMB＝90°，
∴∠BNM＝∠BAM＝180°﹣∠AMB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∴BA＝BN，
∴AM＝MN，
∵∠ADC＝90°，
∴AM＝MN＝DM，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠BMD＝45°，∴④正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确；
即正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，由角平分线的概念可得∠ABE＝∠CBE＝22.5°，然后求出∠BFD、∠AEB、∠AFE、∠BFD、∠AEB的度数，推出AF＝AE，由等腰三角形的性质可得AM⊥BE，证明△FBD≌△NAD，据此判断①；证明△AFB≌△CAN，得到AF＝CN，然后结合AF＝AE可判断②正确；由等腰三角形的性质可得AM⊥EF，则∠AMF＝90°，同理可得∠ADB＝90°，由角平分线的概念可得∠MBA＝∠MBN，求出∠BNM、∠BAM的度数，推出AM＝MN＝DM，据此判断④；由外角的性质可得∠DNA＝∠C+∠CAN＝67.5°，根据内角和定理可得∠MDN＝67.5°＝∠DNM，据此判断③.
8．【答案】等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【分析】先求出∠C=70°，再求出，最后计算求解即可。
9．【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB，∵∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=6cm，
∴AC=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质得出∠1=∠ACB，根据折叠的性质得出∠1=∠ABC，故∠ABC=∠ACB，进而根据等角对等边即可得出AC=AB=6.
10．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC=5，
故答案为：5．
【分析】由三角形内角和等于180度以及∠A=100°，∠B=40°度数，可以求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质，即可求解。
11．【答案】或10
【知识点】等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可分以下情况讨论：
①当点P在线段OC上时，
设ts后△POQ是等腰三角形，则有OP=OC-CP=OQ，
∵OC=10cm，cm，
∴，
∵，
∴，解得：；
②当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，则有，
∵∠AOB=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴，解得：，
综上所述：当t为s或10s时，△POQ是等腰三角形；
故答案为或10．
【分析】分两种情况：①当点P在线段OC上时，②当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，则有，再利用等腰三角形的性质列出方程求解即可。
12．【答案】23
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：∵AF＝8，BF＝7，
∴AC=AB=AF+BF=8+7=15，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=∠B+∠BFE，
∴∠D=∠BFE=∠AFD，
∴AD=AF=8，
∴CD=AC+AD=15+8=23.
故答案为：23.
【分析】由已知条件可得AC=AB=AF+BF=15，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由等角的余角相等可得∠D=∠BFE=∠AFD，则AD=AF=8，然后根据CD=AC+AD进行计算.
13．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，当 时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），
当 时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当 时，画AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，
综上所述，符合条件的点C的个数有8个．
故答案为：8．
【分析】分别以点A、B为圆心AB为半径作圆交坐标的交点即是点C，再作出线段AB的垂直平分线与坐标轴的交点也是点C。
14．【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AB=AD=AF=BC=6，∠B=∠D=∠ECG=90°，
由折叠的性质可知：∠DAE=∠EAF，∠AFE=∠D=∠AFG=90°，EF=DF=2
在△ABG与△AFG中
，
△ABG≌△AFG（HL），故①正确；
∴BG=FG，∠BAG =∠FAG
∴∠EAG=∠FAG+∠EAF=90°× =45°，故②正确；
∵EF=DE=2，
∴CE=CD-DE=4
设BG=FG=x，则CG=6-x，EG=FG+EF=x+2，
在直角△ECG中，根据勾股定理，得
∴（6-x）2+42=（x+2）2，
解得x=3，
∴BG=3
∴GC=BC-BE=3，
∴BG=CG，故③正确；
∵CG=BG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG//CF，故④正确；
过点F作FH⊥CD于H，
∵EF=2，
∴EH＜2，
∵CE=4，
∴CH=CE-EH＞2，
∴H不为CE的中点，即CF≠EF，故⑤错误；
故答案为：①②③④ .
【分析】根据正方形以及折叠的性质可得AB=AD=AF=BC=6，∠B=∠D=∠ECG=90°，∠DAE=∠EAF，∠AFE=∠D=∠AFG=90°，EF=DF=2，证明△ABG≌△AFG，据此判断①；由全等三角形的性质可得BG=FG，∠BAG =∠FAG，则∠EAG=∠FAG+∠EAF=45°，据此判断②；设BG=FG=x，则CG=6-x，EG=x+2，由勾股定理求出x，得到BG、GC的值，据此判断③；易得△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，推出∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，然后结合平行线的判定定理可判断④；过点F作FH⊥CD于H，则EH＜2，CH=CE-EH＞2，据此判断⑤.
15．【答案】证明：③④作为已知条件
证明如下：
∵ OB＝OC，
∴ ∠OBC＝∠OCB，
∵ ∠DBO＝∠ECO，
∴ ∠DBC＝∠ECB，
∴ AB＝AC.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】③④作为已知条件；由等边对等角可得∠OBC＝∠OCB，由根据 等量加等量和相等可得∠DBC＝∠ECB，再根据等角对等边可求解.
16．【答案】解：在△AED与△AEC中
，
∴△AED≌△AEC（SAS），
∴∠D＝∠C，
∵∠D＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由SAS证明△AED与△AEC全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可.
17．【答案】证明：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证明.
18．【答案】解：根据题意得，AB＝15×2＝30（海里），
当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为CD的长度，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，
∴∠ACB＝15°，
∴BC＝AB＝30（海里），
∴CD＝ BC＝15（海里），
∴船与灯塔C的最短距离15海里
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据题意得出∠ACB＝∠NAC＝15°，得出BC＝AB＝30海里， 再根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，得出CD＝BC＝15海里，即可得出答案.
19．【答案】证明：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG.
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD.
在△BDF和△CDG中
，
∴△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，
∴BF＝AC.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG，利用SAS证明△BDF≌△CDG，可得BF＝CG，∠BFD＝∠G，由等腰三角形性质及对顶角相等可得∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，即得∠G＝∠CAG，由等角对等边可得AC＝CG，即得 BF＝AC.
20．【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
21．【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【分析】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
22．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=50°，
∴∠BCD=∠B，∠DCA=∠B，
∴CD=BD，∴△BCD为等腰三角形
又∵∠ACD=50°，∠B=50°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°，
∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∴∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B
∴CD为△ABC的等角分割线；
（2）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=45°，
∴∠ACB=∠BDC=45°+45°=90°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，
DA=AC时，∠ACD=∠ADC=，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=67.5°+45°=112.5°，
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，
如图4，
DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD，设，
由内角和解得∴∠ACB=90°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，
DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，则∠B=180°-2x，则∠ACD=∠B=180°-2x，
由题意得，180°-2x+45°=x，解得，x=75°，
∴∠ACD=180°-2x=30°，
∴∠ACB=105°，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
综上所述∴∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解：∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【分析】（1） 根据“等角三角形”的定义求解即可；
（2） 易求出△BCD为等腰三角形，再求出∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B ，根据“等角分割线” 的定义即证；
（3） 当△ACD是等腰三角形，有①AD=CD； ②AD=CA； ③CD=AC的情况不存在 ，据此分别求解； 当△BCD是等腰三角形，有①DC=BD时，②DB=BC时，③CD=CB的情况不存在 ，据此分别求解即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第3课时 等腰三角形的判定与反证法 同步练习
一、单选题
1．下列命题宜用反证法证明的是（　　）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
C．在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行
D．全等三角形的面积相等
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定；反证法
【解析】【解答】解：A、利用三角形面积公式即可证明，错误；
B、根据条件，利用等边三角形的判定定理即可证明，错误；
C、难以用直接的方法证明，只能用反证法证明，正确；
D、根据全等的定义即可直接证明，错误.
故答案为：C.
【分析】先判断能否用直接的方法证明，不能用直接法证明，则只能尝试用反证法证明，即可作答.
2．（2021八上·金华期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，EC在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”.
故答案为：D.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质进行解答.
3．（2021七下·普陀期中）下列三角形中，等腰三角形的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形，
第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形；
第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形；
第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形；
故答案为：B．
【分析】利用等腰三角形的定义：两边相等或两个内角相等逐项判定即可。
4．（2020九下·云南月考）如图，已知BO，CO分平分∠ABC、∠ACB，且MN∥BC，若AB=18，AC=12，则△AMN的周长是（　　）.
A．15 B．30 C．35 D．55
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠NBO＝∠OBC，∠OCM＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠NOB＝∠OBC，∠MOC＝∠OCB，
∴∠NBO＝∠NOB，∠MOC＝∠MCO，
∴MO＝MC，NO＝NB，
∵AB＝18，AC＝12，
∴△AMN的周长＝AM＋MN＋AN＝AB＋AC＝18＋12＝30.
故答案为：B.
【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN∥BC，可得出MO＝MC，NO＝NB，所以三角形AMN的周长是AB＋AC.
5．（2021八上·陇县期末）如图，在 中， ， ， ， ， ，则 （　　）
A．10 B．11 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM=5，
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE=6，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，
∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM=6，
∴AC=AM+CM＝AB+2BE=11.
故答案为：B.
【分析】延长BE交AC于M，对图形进行角标注，根据等角的余角相等可得∠3＝∠4，由等腰三角形的性质可得BM＝2BE=6，由外角的性质可得∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，推出∠5＝∠C，则CM＝BM=6，然后根据AC=AM+CM进行计算.
6．（2021八上·曹县期中）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如果点C也是图中的格点，且 是等腰三角形，则点C有8个，如图：
故答案为：C
【分析】分别以点A、B为圆心，以AB的长度为半径画弧，在作AB的垂直平分线，找弧、垂直平分线与网格的交点即可。
7．（2021八上·下城期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM.下列结论：①DF＝DN；③AE＝CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD＝45°，其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE ∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，
∴DF＝DN，∴①正确；
在△AFB和△CNA中
∴△AFB≌△CAN，
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，∴②正确；
∵AE＝AF，M为EF的中点，
∴AM⊥EF，
∴∠AMF＝90°，
同理∠ADB＝90°，
∵∠BFD＝∠AFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠MBA＝∠MBN，
∵AN⊥BM，
∴∠AMB＝∠NMB＝90°，
∴∠BNM＝∠BAM＝180°﹣∠AMB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°，
∴BA＝BN，
∴AM＝MN，
∵∠ADC＝90°，
∴AM＝MN＝DM，
∴∠ABM＝∠ADM＝22.5°，
∴∠DMN＝∠DAN+∠ADM＝22.5°+22.5°＝45°，
∴∠BMD＝45°，∴④正确；
∵∠DNA＝∠C+∠CAN＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠MDN＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°＝∠DNM，
∴DM＝MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确；
即正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，由角平分线的概念可得∠ABE＝∠CBE＝22.5°，然后求出∠BFD、∠AEB、∠AFE、∠BFD、∠AEB的度数，推出AF＝AE，由等腰三角形的性质可得AM⊥BE，证明△FBD≌△NAD，据此判断①；证明△AFB≌△CAN，得到AF＝CN，然后结合AF＝AE可判断②正确；由等腰三角形的性质可得AM⊥EF，则∠AMF＝90°，同理可得∠ADB＝90°，由角平分线的概念可得∠MBA＝∠MBN，求出∠BNM、∠BAM的度数，推出AM＝MN＝DM，据此判断④；由外角的性质可得∠DNA＝∠C+∠CAN＝67.5°，根据内角和定理可得∠MDN＝67.5°＝∠DNM，据此判断③.
二、填空题
8．（2021八上·恩平期中）在三角形 中，已知 ， ，那么 的形状是　 　．
【答案】等腰三角形
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ，且
∴
∴
∴
所以这个三角形是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
【分析】先求出∠C=70°，再求出，最后计算求解即可。
9．（2019九下·临洮月考）将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=　 　cm.
【答案】6
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB，∵∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=6cm，
∴AC=6cm.
故答案为：6.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质得出∠1=∠ACB，根据折叠的性质得出∠1=∠ABC，故∠ABC=∠ACB，进而根据等角对等边即可得出AC=AB=6.
10．（2021八上·中山期中）在△ABC中，若∠A =
100°，∠B = 40°，AC = 5，则AB = 　 　 ．
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=100°，∠B=40°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC=5，
故答案为：5．
【分析】由三角形内角和等于180度以及∠A=100°，∠B=40°度数，可以求出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质，即可求解。
11．（2021八上·济宁月考）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=　 　s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】或10
【知识点】等腰三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可分以下情况讨论：
①当点P在线段OC上时，
设ts后△POQ是等腰三角形，则有OP=OC-CP=OQ，
∵OC=10cm，cm，
∴，
∵，
∴，解得：；
②当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，则有，
∵∠AOB=60°，
∴△POQ是等边三角形，
∴，解得：，
综上所述：当t为s或10s时，△POQ是等腰三角形；
故答案为或10．
【分析】分两种情况：①当点P在线段OC上时，②当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，则有，再利用等腰三角形的性质列出方程求解即可。
12．（2021八上·下城期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交AB于点F，若AF＝8，BF＝7，则CD的长度为　 　.
【答案】23
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定与性质；线段的计算
【解析】【解答】解：∵AF＝8，BF＝7，
∴AC=AB=AF+BF=8+7=15，
∵AB＝AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠C+∠D=∠B+∠BFE，
∴∠D=∠BFE=∠AFD，
∴AD=AF=8，
∴CD=AC+AD=15+8=23.
故答案为：23.
【分析】由已知条件可得AC=AB=AF+BF=15，由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，由等角的余角相等可得∠D=∠BFE=∠AFD，则AD=AF=8，然后根据CD=AC+AD进行计算.
13．（2021八上·定州期中）如图，已知点A，B的坐标分别为 和 ，在坐标轴上找一点C，使 是等腰三角形，则符合条件的C点共有　 　个．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，当 时，以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（B点除外），
当 时，以点B为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有三个交点（A点除外），
当 时，画AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，
综上所述，符合条件的点C的个数有8个．
故答案为：8．
【分析】分别以点A、B为圆心AB为半径作圆交坐标的交点即是点C，再作出线段AB的垂直平分线与坐标轴的交点也是点C。
14．（2021九上·银川月考）如图，正方形 中， ，点E在边 上，且 .将 沿 对折至 ，延长 交 于点G，连接 ， .
下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ 是等腰三角形.
其中正确的结论有　 　（填写所有正确结论的序号）.
【答案】①②③④
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AB=AD=AF=BC=6，∠B=∠D=∠ECG=90°，
由折叠的性质可知：∠DAE=∠EAF，∠AFE=∠D=∠AFG=90°，EF=DF=2
在△ABG与△AFG中
，
△ABG≌△AFG（HL），故①正确；
∴BG=FG，∠BAG =∠FAG
∴∠EAG=∠FAG+∠EAF=90°× =45°，故②正确；
∵EF=DE=2，
∴CE=CD-DE=4
设BG=FG=x，则CG=6-x，EG=FG+EF=x+2，
在直角△ECG中，根据勾股定理，得
∴（6-x）2+42=（x+2）2，
解得x=3，
∴BG=3
∴GC=BC-BE=3，
∴BG=CG，故③正确；
∵CG=BG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG//CF，故④正确；
过点F作FH⊥CD于H，
∵EF=2，
∴EH＜2，
∵CE=4，
∴CH=CE-EH＞2，
∴H不为CE的中点，即CF≠EF，故⑤错误；
故答案为：①②③④ .
【分析】根据正方形以及折叠的性质可得AB=AD=AF=BC=6，∠B=∠D=∠ECG=90°，∠DAE=∠EAF，∠AFE=∠D=∠AFG=90°，EF=DF=2，证明△ABG≌△AFG，据此判断①；由全等三角形的性质可得BG=FG，∠BAG =∠FAG，则∠EAG=∠FAG+∠EAF=45°，据此判断②；设BG=FG=x，则CG=6-x，EG=x+2，由勾股定理求出x，得到BG、GC的值，据此判断③；易得△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF，推出∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，然后结合平行线的判定定理可判断④；过点F作FH⊥CD于H，则EH＜2，CH=CE-EH＞2，据此判断⑤.
三、解答题
15．（2021八上·陆川期中）在一次数学课上，张老师在屏幕上出示了一个例题：
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①BD＝CE；②∠BDO＝∠CEO；③OB＝OC；④∠DBO＝∠ECO.要求从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定AB＝AC.请写出你的选择，并证明.
【答案】证明：③④作为已知条件
证明如下：
∵ OB＝OC，
∴ ∠OBC＝∠OCB，
∵ ∠DBO＝∠ECO，
∴ ∠DBC＝∠ECB，
∴ AB＝AC.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】③④作为已知条件；由等边对等角可得∠OBC＝∠OCB，由根据 等量加等量和相等可得∠DBC＝∠ECB，再根据等角对等边可求解.
16．（2020·西安模拟）如图，点E是△ABC的BC边上的一点，∠AEC＝∠AED，ED＝EC，∠D＝∠B，求证：AB＝AC.
【答案】解：在△AED与△AEC中
，
∴△AED≌△AEC（SAS），
∴∠D＝∠C，
∵∠D＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由SAS证明△AED与△AEC全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可.
17．（2021八上·盐池期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至E，使 ．求证： ．
【答案】证明：
∵ 是等边三角形，
∴ ， ．
∵ 是中线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性质得∠E=∠3，由外角的性质得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，则∠E=∠2=30°，据此证明.
18．（2021·泰安期中）上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC=15°，∠NBC=30°．若该船从海岛B继续向正北航行，求船与灯塔C的最短距离．
【答案】解：根据题意得，AB＝15×2＝30（海里），
当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为CD的长度，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，
∴∠ACB＝15°，
∴BC＝AB＝30（海里），
∴CD＝ BC＝15（海里），
∴船与灯塔C的最短距离15海里
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】根据题意得出∠ACB＝∠NAC＝15°，得出BC＝AB＝30海里， 再根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，得出CD＝BC＝15海里，即可得出答案.
19．（2020八上·南靖月考）如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于E，且AE＝EF，求证：BF＝AC.
【答案】证明：如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG.
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD.
在△BDF和△CDG中
，
∴△BDF≌△CDG（SAS），
∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，
∴∠G＝∠CAG，
∴AC＝CG，
∴BF＝AC.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 如图，延长FD到G，使DG＝DF，连结CG，利用SAS证明△BDF≌△CDG，可得BF＝CG，∠BFD＝∠G，由等腰三角形性质及对顶角相等可得∠EAF＝∠EFA＝∠BFD，即得∠G＝∠CAG，由等角对等边可得AC＝CG，即得 BF＝AC.
四、综合题
20．（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
21．（2021八上·新丰期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝　 　时，△AOD是等腰三角形．
【答案】（1）证明： △BOC≌△ADC，
，
∠OCD＝60°，
△OCD是等边三角形；
（2）解： 是直角三角形，理由如下：
△OCD是等边三角形；
当α＝150°时，
△BOC≌△ADC
是直角三角形
（3） 或 或
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） △OCD是等边三角形；
，
，
，
①当 时，
解得
②当 时，
解得
③当 时
解得
综上所述，当 或 或 时， 是等腰三角形．
故答案为：110°或140°或125°．
【分析】（1）根据 △BOC≌△ADC， 得出OC=DC，再根据 ∠OCD＝60°， 即可得出结论；
（2）根据 △OCD是等边三角形 ，得出 ， 当α＝150°时，再根据 △BOC≌△ADC ，得出 ，即可得出 是直角三角形 ；
（3）根据 △OCD是等边三角形，得出，分①当 时，②当 时，③当 时，讨论即可。
22．（2021八上·长沙期末）（概念学习）①我们规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”；
②从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中：一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（概念理解）（1）如图1，在RtABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.
（1）如图2，在ABC中，CD为角平分线，∠A=30°，∠B=50°. 求证：CD为ABC的“等角分割线”.
（2）若在ABC中，∠A=45°，CD是ABC的“等角分割线”，请直接写出所有符合题意的∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=50°，
∴∠BCD=∠B，∠DCA=∠B，
∴CD=BD，∴△BCD为等腰三角形
又∵∠ACD=50°，∠B=50°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=100°，
∠ACB=180°-∠A-∠B=100°
∴∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B
∴CD为△ABC的等角分割线；
（2）解：当△ACD是等腰三角形，如图2，DA=DC时，∠ACD=∠A=45°，
∴∠ACB=∠BDC=45°+45°=90°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，
DA=AC时，∠ACD=∠ADC=，∠BCD=∠A=45°，
∴∠ACB=67.5°+45°=112.5°，
当△ACD是等腰三角形，CD=AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，
如图4，
DC=BD时，∠ACD=∠BCD=∠B，
又∵∠BDC=∠A+∠ACD，设，
由内角和解得∴∠ACB=90°，
当△BCD是等腰三角形，如图5，
DB=BC时，∠BDC=∠BCD，
设∠BDC=∠BCD=x，则∠B=180°-2x，则∠ACD=∠B=180°-2x，
由题意得，180°-2x+45°=x，解得，x=75°，
∴∠ACD=180°-2x=30°，
∴∠ACB=105°，
当△BCD是等腰三角形，CD=CB的情况不存在，
综上所述∴∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解：∠ACB的度数为112.5°或105°或90°.
【分析】（1） 根据“等角三角形”的定义求解即可；
（2） 易求出△BCD为等腰三角形，再求出∠ADC=∠ACB，∠A=∠A，∠ACD=∠B ，根据“等角分割线” 的定义即证；
（3） 当△ACD是等腰三角形，有①AD=CD； ②AD=CA； ③CD=AC的情况不存在 ，据此分别求解； 当△BCD是等腰三角形，有①DC=BD时，②DB=BC时，③CD=CB的情况不存在 ，据此分别求解即可.
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