初中数学北师大版八年级下册第一章第二节 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·南通月考）如图， ， ，垂足分别是E，F，且 ，若利用“ ”证明 ，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°.
∴添加DC=AB后，满足HL.
故答案为：B.
【分析】直角三角形全等的判定定理，即斜边直角边定理（HL），现知在这对直角三角形中一条直角边对应相等，只需增加斜边对应相等即可得证.
2．（2021·陕西模拟）在 中， ， ， 的平分线交 于点 ，若 ，则 长为（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=8，
∴CD= BD=4，
∴BC= = .
故答案为：A.
【分析】首先根据内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD=30°，进而推出∠A=∠ABD，得到BD=AD=8，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系求出CD，然后利用勾股定理进行求解.
3．（2021八上·民勤期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
由题可知： ， ，
∴ ，
∴ 米；
故答案为：D.
【分析】由直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半得出AB的长，进而根据AB+AC即可算出树的高度.
4．（2021八上·江阴月考）下列各组数不能组成直角三角形的是（ ）
A．6、8、10 B． 、 、
C．3k、4k、5k（k为正整数） D．8、15、17
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，符合题意；
C、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
D、 ，能构成直角三角形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 根据勾股定理的逆定理：三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形，逐项进行判断，即可得出答案.
5．（2021八上·碑林期中）如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )
A．4米 B．3米 C．5米 D．7米
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，
由勾股定理，得CE＝ ＝4 m，
故离门4米远的地方，灯刚好发光，
故答案为：A.
【分析】由题意求出离门的距离CE的长，灯刚好发光；在直角三角形ACE中，用勾股定理可求得CE的值即可.
6．（2021八上·铁西月考）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故答案为：D．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD=5cm，由勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，从而求出S△DBC=×DB×CD=30（cm2），S△ABD=6（cm2），根据四边形ABCD的面积=S△DBC+S△ABD，即得结论.
7．（2021八上·西峰期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，AD是的中线，
∴，，.
∵AE是的角平分线，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质和三角形的内角和定理求出∠B、∠C、∠BAD，∠CAD的度数；再利用角平分线的定义求出∠DAE，∠EAB的度数，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠F的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长.
8．（2021八上·温州期中）如图，在 中， 是 延长线上一点， 是边 上一动点， 连结 ，作 与 关于 对称 (点 与点 对应)，连结 ，则 长的最小值是（ ）
A．0.5 B．0.6 C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，如图，
∵CM=2，BC=3，
∴BM=BC+CM=5，
由折叠得：DM=BM=5，
∵∠B=60°，
∴∠ ，
又 ，
∴ ，
在中 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据CM、BC的值可得BM，由折叠的性质得DM=BM=5，易得∠BAE=30°，则BE=AB=2，在Rt△ABE中，应用勾股定理求出AE，进而可得EM，然后在Rt△AEM中，由勾股定理求出AM，进而可得AD.
9．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
二、填空题
10．（2021八上·固原月考）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”.
【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【分析】利用高线的定义可得∠CDB=∠BEC=90°，根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE.
11．（2020八上·贵州期中）如右图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D.若△ABC的周长为12
cm，则CD = cm.
【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC为等边三角形，所以∠CAB=60°，
因为DC∥AB所以∠ACD=∠CAB=60°，
∠CAD=90°-∠ACD =30°，
在Rt△ACD，CD= AC，又因为△ABC的周长为12 cm，
所以DC= AC=2
故答案为：2
【分析】根据等边三角形的性质可得∠CAB=60°，由平行线的性质和直角三角形的性质可求得∠CAD=90°-∠ACD =30°，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AC，再结合已知可求解.
12．（2020八下·重庆期中）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为4，那么此直角三角形斜边上的的高是 .
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如下图所示，
在Rt△ABC中，BC=4，∠B=30°，∠C=60°
∴AC= BC=2，
在Rt△ABH中，∠B=30°，∴AH= AB= .
故答案为： .
【分析】由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出30°角对应的直角边，再由勾股定理可知求出另一直角边，进而求出斜边上的高.
13．（2021八上·瑞安期中）如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D.若每个小方格的边长为1，则BD的长为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，由勾股定理得 AC＝ ＝5.
∵S△ABC＝ AB×3＝ AC BD，即 ×2×3＝ ×5BD，
∴BD＝ .
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出BD的长.
14．（2021·姜堰模拟）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 .
【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2.
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2.
【分析】由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，在Rt△OCP'中，由勾股定理建立方程即可.
15．（2021八上·瓯海月考）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC，则BD＝ .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】如图，过点A作交于点E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得AE，再利用等面积法列出BC·AE=AC·BD，代入数值即可求出BD.
16．（2021八上·鹿城期中）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6.则∠ACD＝ 度.
【答案】45
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，BC＝ ＝4 ，
∴CD2+BC2＝22+（4 ）2＝36=BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝45°.
故答案为：45.
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC＝45°，BC＝4 ，结合已知条件可得CD2+BC2=BD2，推出∠BCD＝90°，进而可得∠ACD的度数.
17．（2021八上·临沭月考）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∵∠AED=∠ACB＝90°，
∴BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为2．
【分析】先求出AC＝2cm，再求出AC＝CF＝2cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
18．（2021八上·哈尔滨月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CI⊥BE交AE于I，
∴∠ICD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACI=45°，
∴∠ABD=∠ACI，
在△ABD和△ACI中，
，
∴△ABD≌△ACI（ASA），
∴AI=AD，∠ADB=∠AIC，BD=CI，
延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，
∴∠AKD=∠ADK，∠ADI=∠AID，
∵∠AKD+∠KDI+∠AID=180°，
∴∠ADK+∠ADI=90°，即∠KDI=90°，
∵∠BAD=∠CAE，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，即∠DAI=90°，
∴△ADK和△ADI都是等腰直角三角形，
∴∠DKI=∠DIK=∠ADK=45°，
∴KD=ID，∠BDK+∠ADK=∠DIK+∠DIC，
∴∠DIC=∠KDB，
在△KDB和△DIC中，
，
∴△KDB≌△DIC（SAS），
∴∠KBD=∠DCI=90°，
∴∠BKE+∠E=90°，∠KBF+∠EBF=90°，
∵BF=AF+AD，
∴BF=AF+AK=KF，
∴∠BKF=∠KBF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠BFA=∠E+∠EBF=2∠E，
∵∠AGH=∠E，∠GAF=90°，
∴3∠E=90°，
∴∠E=30°，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠ACM=45°，
∴∠MAC=45°，
∴∠ACM=∠MAC，
∴AM=CM，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】证明△ABD≌△ACI（ASA），可得AI=AD，∠ADB=∠AIC，BD=CI，延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，再证明△KDB≌△DIC（SAS），可得∠KBD=∠DCI=90°，可求出
∠E=30°，过点A作AM⊥BE于M，可得AE=2AM，求出∠ACM=∠MAC=45°，可得AM=CM，由勾股定理可得，据此求出AM，即得AE的长.
三、解答题
19．（2021八上·博兴期中）如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∴ 的周长等于AB的长.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。
20．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 于点D，若 ，求 的长．
【答案】解：由条件可设 ，
∴
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 可设，根据三角形内角和可得，从而求出，由，可求出∠BAD=90°-∠B=30°，利用直角三角形的性质，先求出，再求，利用CD=BC-BD即可求解.
21．（2021八上·广州期中）如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE．
【答案】证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C= （180°-120°）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAC =∠C+∠DAC =90°，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，AD=2AE，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，
∴CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即CE=3AE．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】连接AD，根据AB=AC，D是BC的中点，得出AD⊥BC，根据∠BAC=120°，AB=AC，得出∠C的度数，在Rt△ADE中，AD=2AE，在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，由此得出答案 。
22．（2021八上·河东期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．
【答案】解：由题意得： ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
即塔的高度DE为 ．
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先证明 ，在 中， 利用直角三角形30度角的性质，求出CD即可。
23．（2021九上·北京月考）如图，把一副三角板如图甲放置，其中 ， ， ，斜边 ， ，把三角板 绕点C顺时针旋转15°得到 （如图乙）．这时 与 相交于点O， 与 相交于点F．求线段 的长．
【答案】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，∠CAB=45°，
∴∠ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
在等腰Rt△ABC中，AB=6cm，AC=BC， ，
∴ ，
同理可求得：AO=OC=3cm，
在 中，OA=3cm， ，
∴由勾股定理得：A = =5． ．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】首先利用旋转的角度判断出∠ AOC = 90° ，可知 △AOC是等腰直角三角形， 然后在 中 ，利用勾股定理求解即可。
24．（2021八上·浙江月考）如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长.
【答案】解：由题意可得 ， ， ，
根据勾股定理可得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用折叠的性质可知BC=BC′，CD=C′D，由此可求出AC′的长；再利用勾股定理求出AC的长；设CD=xcm，可表示出AD的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.
25．（2020八上·历下期末）如图，在等边 中，点 （2，0），点 是原点，点 是 轴正半轴上的动点，以 为边向左侧作等边 ，当 时，求 的长．
【答案】解：过点A作AE⊥OC于点E，
∵ 是等边三角形，B（2，0），
∴∠AOB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠AOE＝30°，
∴AE＝1，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝90°，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝OC－OE＝ ，
∴ .
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】过点A作AE⊥OC于点E，根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质求出AE＝1， ，然后可得∠AOD＝90°，利用勾股定理求出OD即可得到OC，进而求出CE，再利用勾股定理求AC即可.
四、综合题
26．（2021八上·江汉期中）如图，在 中， 是角平分线， 于点 ， 在边AC上， .
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，求证： ；
（3）若 ， ， ，直接写出 的长.
【答案】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，且 ， ，
在 和 中，
∴ ，
即 ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）
已知 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
由（1）易证明得到 ，
∴ ，
根据（2）易证明得到 ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
由 可得，
，
∴解得 ，
∴ .
【分析】（1）利用角平分线的性质可证得CD=DE，利用HL证明△DCF≌△DEB；
（2）在AB上截取AG=AF，连接DG，利用角平分线的定义可证得∠DAF=∠DAG，利用SAS证明△DAF≌△DAG，利用全等三角形的性质可得到DF=DG，可推出BD=DG；利用等腰三角形的性质可证得BE=GE，由此可证得结论；
（3）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，利用全等三角形的性质可得到FC=BE，设BD=DF=x，可表示出CD的长，利用勾股定理表示出FC的长；同时可表示出AF，BE的长，根据AB-AF=2EB，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DF的长.
27．（2021八上·长春期末）如图，在Rt中，，，，动点D从点C出发，沿边向点B运动，到点B时停止，若设点D运动的时间为秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当时， ， ；
（2）用含t的代数式表示的长；
（3）当点D在边CA上运动时，求t为何值，是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由；
（4）直接写出当是直角三角形时，t的取值范围 ．
【答案】（1）1；3
（2）解：根据题意，
当时，点D在线段CA上，且，
∴；
当时，点D在线段AB上，
∴；
（3）解：①CD=BC时，CD=3，t=3÷1=3；
②BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
设，则，
∴，
∴，
∴CD=2CF=1.8×2=3.6，
∴t=3.6÷1=3.6，
综上所述，t=3秒或3.6秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
（4）或
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）在Rt中，，，，
∴，
∵点D运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当，点D在线段CA上；当，点D在线段AB上；
∴当时，点D在线段AB上，
∴，；
故答案为：1；3；
（4）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC BD=AB BC，
即=×4×3，
解得BD=2.4，
∴CD=，
∴t=1.8÷1=1.8秒；
②∠CBD=90°时，点D在线段AB上运动，
∴
综上所述，t=1.8或秒；
故答案为：或秒；
【分析】（1）在Rt中，，，，利用勾股定理得出CA的值，再根据点D运动的速度为每秒1个单位长度，当，点D在线段CA上；当，点D在线段AB上；当时，点D在线段AB上，即可得出答案；
（2）当时，当时，分类讨论即可；
（3）①CD=BC时，CD=3，t=3÷1=3；②BD=BC时，设，则，用方程求解即可；
（4）①∠CDB=90°时，②∠CBD=90°时，分类讨论即可。
28．（2021九上·重庆月考）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上一点，连接AD并延长，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E.
（1）如图1，若∠BAC=60°，CE= AC，AB=1，求线段AE的长度；
（2）如图2，若AC=EC，点F是线段BA延长线上一点，连接EF与BC交于点H，且∠BAD=∠ACF，求证：AF=2BH；
（3）如图3，AB=2，BC=6，点M为AE中点，连接BM，CM，当|CM-BM|最大时，直接写出△BMC的面积.
【答案】（1）解： ∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=1，
，
，
CE= AC，
，
中， ；
（2）证明：如图，作 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
在 与 中
，
，
；
（3）24
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3） 为 的中点，
，
，
当 三点共线时， 取得最大值为 的长，如图，
在 中，
，
，
，
，
在 中
，
，
解得 ，
，
，
.
【分析】（1）利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长；
（2）作EQ⊥BC，利用垂直的定义及余角的性质得∠QEC=∠QCA，利用AAS证明△ABC≌△CQE，利用全等三角形的性质得AB=CQ，BC=QE，再利用等腰三角形的判定和性质去证BF=EQ，BQ=AF，利用AAS证明△FBH≌△EQH，利用全等三角形的性质可证得结论；
（3）根据题意可知当点A，M，B共线时，|CM-BM|的最大值为AB的长，利用勾股定理求出AC的长，利用三角形的面积公式求出AE与EC的数量关系；利用勾股定理求出EC的长，同时可求出AE，BM的长，然后利用三角形的面积公式求出△BMC的面积.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第一章第二节 直角三角形 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·南通月考）如图， ， ，垂足分别是E，F，且 ，若利用“ ”证明 ，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西模拟）在 中， ， ， 的平分线交 于点 ，若 ，则 长为（ ）
A． B．6 C． D．8
3．（2021八上·民勤期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
4．（2021八上·江阴月考）下列各组数不能组成直角三角形的是（ ）
A．6、8、10 B． 、 、
C．3k、4k、5k（k为正整数） D．8、15、17
5．（2021八上·碑林期中）如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？( )
A．4米 B．3米 C．5米 D．7米
6．（2021八上·铁西月考）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm2
7．（2021八上·西峰期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．（2021八上·温州期中）如图，在 中， 是 延长线上一点， 是边 上一动点， 连结 ，作 与 关于 对称 (点 与点 对应)，连结 ，则 长的最小值是（ ）
A．0.5 B．0.6 C． D．
9．（2021八上·西峰期末）如图，点E是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
二、填空题
10．（2021八上·固原月考）如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“ ”.
11．（2020八上·贵州期中）如右图，△ABC为等边三角形，DC∥AB，AD⊥CD于D.若△ABC的周长为12
cm，则CD = cm.
12．（2020八下·重庆期中）已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为4，那么此直角三角形斜边上的的高是 .
13．（2021八上·瑞安期中）如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D.若每个小方格的边长为1，则BD的长为 .
14．（2021·姜堰模拟）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴.良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离 的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即 尺，秋千踏板离地的距离 和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 .
15．（2021八上·瓯海月考）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，BD⊥AC，则BD＝ .
16．（2021八上·鹿城期中）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6.则∠ACD＝ 度.
17．（2021八上·临沭月考）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝4cm，则阴影部分的面积是 cm2．
18．（2021八上·哈尔滨月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、点E在直线BC上，点F为AE上一点，连接BF，分别交AD、AC于点G、点H，若∠BAD＝∠CAE，∠AGH＝∠E，AF+AD＝BF，AC＝3，则AE的长为 ．
三、解答题
19．（2021八上·博兴期中）如图所示，在 中， ，AD平分 交BC于D， 于E，求证 的周长等于AB的长
20．（2021八上·鲁甸期中）如图，在 中， 于点D，若 ，求 的长．
21．（2021八上·广州期中）如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE．
22．（2021八上·河东期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．
23．（2021九上·北京月考）如图，把一副三角板如图甲放置，其中 ， ， ，斜边 ， ，把三角板 绕点C顺时针旋转15°得到 （如图乙）．这时 与 相交于点O， 与 相交于点F．求线段 的长．
24．（2021八上·浙江月考）如图①是一个直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），求AC和DC的长.
25．（2020八上·历下期末）如图，在等边 中，点 （2，0），点 是原点，点 是 轴正半轴上的动点，以 为边向左侧作等边 ，当 时，求 的长．
四、综合题
26．（2021八上·江汉期中）如图，在 中， 是角平分线， 于点 ， 在边AC上， .
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，求证： ；
（3）若 ， ， ，直接写出 的长.
27．（2021八上·长春期末）如图，在Rt中，，，，动点D从点C出发，沿边向点B运动，到点B时停止，若设点D运动的时间为秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当时， ， ；
（2）用含t的代数式表示的长；
（3）当点D在边CA上运动时，求t为何值，是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由；
（4）直接写出当是直角三角形时，t的取值范围 ．
28．（2021九上·重庆月考）已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上一点，连接AD并延长，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E.
（1）如图1，若∠BAC=60°，CE= AC，AB=1，求线段AE的长度；
（2）如图2，若AC=EC，点F是线段BA延长线上一点，连接EF与BC交于点H，且∠BAD=∠ACF，求证：AF=2BH；
（3）如图3，AB=2，BC=6，点M为AE中点，连接BM，CM，当|CM-BM|最大时，直接写出△BMC的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°.
∴添加DC=AB后，满足HL.
故答案为：B.
【分析】直角三角形全等的判定定理，即斜边直角边定理（HL），现知在这对直角三角形中一条直角边对应相等，只需增加斜边对应相等即可得证.
2．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=8，
∴CD= BD=4，
∴BC= = .
故答案为：A.
【分析】首先根据内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的概念可得∠ABD=∠CBD=30°，进而推出∠A=∠ABD，得到BD=AD=8，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系求出CD，然后利用勾股定理进行求解.
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
由题可知： ， ，
∴ ，
∴ 米；
故答案为：D.
【分析】由直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半得出AB的长，进而根据AB+AC即可算出树的高度.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
B、 ，不能构成直角三角形，符合题意；
C、 ，能构成直角三角形，不符合题意；
D、 ，能构成直角三角形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 根据勾股定理的逆定理：三角形的三边满足a2+b2=c2，则此三角形是直角三角形，逐项进行判断，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，
由勾股定理，得CE＝ ＝4 m，
故离门4米远的地方，灯刚好发光，
故答案为：A.
【分析】由题意求出离门的距离CE的长，灯刚好发光；在直角三角形ACE中，用勾股定理可求得CE的值即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD，
∵∠A=90°，AB=3cm，AD=4cm，
∴BD==5（cm），
∵BC=13cm，CD=12cm，52+122=132，
∴BD2+CD2=CB2，
∴∠BDC=90°，
∴S△DBC=×DB×CD=×5×12=30（cm2），
S△ABD=×3×4=6（cm2），
∴四边形ABCD的面积为30+6=36（cm2），
故答案为：D．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD=5cm，由勾股定理的逆定理可得∠BDC=90°，从而求出S△DBC=×DB×CD=30（cm2），S△ABD=6（cm2），根据四边形ABCD的面积=S△DBC+S△ABD，即得结论.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵，AD是的中线，
∴，，.
∵AE是的角平分线，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质和三角形的内角和定理求出∠B、∠C、∠BAD，∠CAD的度数；再利用角平分线的定义求出∠DAE，∠EAB的度数，利用两直线平行，内错角相等，可求出∠F的度数，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AE的长.
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，如图，
∵CM=2，BC=3，
∴BM=BC+CM=5，
由折叠得：DM=BM=5，
∵∠B=60°，
∴∠ ，
又 ，
∴ ，
在中 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据CM、BC的值可得BM，由折叠的性质得DM=BM=5，易得∠BAE=30°，则BE=AB=2，在Rt△ABE中，应用勾股定理求出AE，进而可得EM，然后在Rt△AEM中，由勾股定理求出AM，进而可得AD.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
10．【答案】HL
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠CDB=∠BEC=90°，
在Rt△BCD和Rt△CBE中，
BD=EC，BC=CB，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
故答案为：HL.
【分析】利用高线的定义可得∠CDB=∠BEC=90°，根据HL证明Rt△BCD≌Rt△CBE.
11．【答案】2
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】因为△ABC为等边三角形，所以∠CAB=60°，
因为DC∥AB所以∠ACD=∠CAB=60°，
∠CAD=90°-∠ACD =30°，
在Rt△ACD，CD= AC，又因为△ABC的周长为12 cm，
所以DC= AC=2
故答案为：2
【分析】根据等边三角形的性质可得∠CAB=60°，由平行线的性质和直角三角形的性质可求得∠CAD=90°-∠ACD =30°，再根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半可得CD=AC，再结合已知可求解.
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如下图所示，
在Rt△ABC中，BC=4，∠B=30°，∠C=60°
∴AC= BC=2，
在Rt△ABH中，∠B=30°，∴AH= AB= .
故答案为： .
【分析】由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出30°角对应的直角边，再由勾股定理可知求出另一直角边，进而求出斜边上的高.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，由勾股定理得 AC＝ ＝5.
∵S△ABC＝ AB×3＝ AC BD，即 ×2×3＝ ×5BD，
∴BD＝ .
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出BD的长.
14．【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2.
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2.
【分析】由题意知：OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，在Rt△OCP'中，由勾股定理建立方程即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】如图，过点A作交于点E，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，根据勾股定理求得AE，再利用等面积法列出BC·AE=AC·BD，代入数值即可求出BD.
16．【答案】45
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，BC＝ ＝4 ，
∴CD2+BC2＝22+（4 ）2＝36=BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝45°.
故答案为：45.
【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC＝45°，BC＝4 ，结合已知条件可得CD2+BC2=BD2，推出∠BCD＝90°，进而可得∠ACD的度数.
17．【答案】2
【知识点】含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴AC＝2cm，
∵∠AED=∠ACB＝90°，
∴BC∥ED，
∴∠AFC＝∠ADE＝45°，
∴AC＝CF＝2cm．
故S△ACF＝×2×2＝2（cm2）．
故答案为2．
【分析】先求出AC＝2cm，再求出AC＝CF＝2cm，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
18．【答案】
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作CI⊥BE交AE于I，
∴∠ICD=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACI=45°，
∴∠ABD=∠ACI，
在△ABD和△ACI中，
，
∴△ABD≌△ACI（ASA），
∴AI=AD，∠ADB=∠AIC，BD=CI，
延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，
∴∠AKD=∠ADK，∠ADI=∠AID，
∵∠AKD+∠KDI+∠AID=180°，
∴∠ADK+∠ADI=90°，即∠KDI=90°，
∵∠BAD=∠CAE，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=90°，即∠DAI=90°，
∴△ADK和△ADI都是等腰直角三角形，
∴∠DKI=∠DIK=∠ADK=45°，
∴KD=ID，∠BDK+∠ADK=∠DIK+∠DIC，
∴∠DIC=∠KDB，
在△KDB和△DIC中，
，
∴△KDB≌△DIC（SAS），
∴∠KBD=∠DCI=90°，
∴∠BKE+∠E=90°，∠KBF+∠EBF=90°，
∵BF=AF+AD，
∴BF=AF+AK=KF，
∴∠BKF=∠KBF，
∴∠E=∠EBF，
∴∠BFA=∠E+∠EBF=2∠E，
∵∠AGH=∠E，∠GAF=90°，
∴3∠E=90°，
∴∠E=30°，
过点A作AM⊥BE于M，
∵∠ACM=45°，
∴∠MAC=45°，
∴∠ACM=∠MAC，
∴AM=CM，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】证明△ABD≌△ACI（ASA），可得AI=AD，∠ADB=∠AIC，BD=CI，延长FA到K使得AK=AD=AI，连接KB，KD，DI，再证明△KDB≌△DIC（SAS），可得∠KBD=∠DCI=90°，可求出
∠E=30°，过点A作AM⊥BE于M，可得AE=2AM，求出∠ACM=∠MAC=45°，可得AM=CM，由勾股定理可得，据此求出AM，即得AE的长.
19．【答案】证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∴ 的周长等于AB的长.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，得出CD=DE，利用全等三角形的性质得出Rt△ACD≌Rt△AED（HL），得出AC=AE，从而得出△DEB的周长，即可得出结论。
20．【答案】解：由条件可设 ，
∴
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，∠BAD=90°-∠B=30°，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】 可设，根据三角形内角和可得，从而求出，由，可求出∠BAD=90°-∠B=30°，利用直角三角形的性质，先求出，再求，利用CD=BC-BD即可求解.
21．【答案】证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C= （180°-120°）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE+∠DAC =∠C+∠DAC =90°，
∴∠ADE=∠C=30°，
在Rt△ADE中，AD=2AE，
在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，
∴CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即CE=3AE．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】连接AD，根据AB=AC，D是BC的中点，得出AD⊥BC，根据∠BAC=120°，AB=AC，得出∠C的度数，在Rt△ADE中，AD=2AE，在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE，由此得出答案 。
22．【答案】解：由题意得： ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
即塔的高度DE为 ．
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形
【解析】【分析】先证明 ，在 中， 利用直角三角形30度角的性质，求出CD即可。
23．【答案】解：∵∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴∠DCE=60°，∠CAB=45°，
∴∠ACD=30°，
若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
在等腰Rt△ABC中，AB=6cm，AC=BC， ，
∴ ，
同理可求得：AO=OC=3cm，
在 中，OA=3cm， ，
∴由勾股定理得：A = =5． ．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】首先利用旋转的角度判断出∠ AOC = 90° ，可知 △AOC是等腰直角三角形， 然后在 中 ，利用勾股定理求解即可。
24．【答案】解：由题意可得 ， ， ，
根据勾股定理可得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即 .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】利用折叠的性质可知BC=BC′，CD=C′D，由此可求出AC′的长；再利用勾股定理求出AC的长；设CD=xcm，可表示出AD的长，然后利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CD的长.
25．【答案】解：过点A作AE⊥OC于点E，
∵ 是等边三角形，B（2，0），
∴∠AOB＝60°，OA＝OB＝2，
∴∠AOE＝30°，
∴AE＝1，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOD＝90°，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝OC－OE＝ ，
∴ .
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】过点A作AE⊥OC于点E，根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质求出AE＝1， ，然后可得∠AOD＝90°，利用勾股定理求出OD即可得到OC，进而求出CE，再利用勾股定理求AC即可.
26．【答案】（1）证明：∵ 平分 ， ， ，
∴ ，且 ， ，
在 和 中，
∴ ，
即 ；
（2）证明：在 上截取 ，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 于点E，
∴ ，
∴ ；
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3）
已知 ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
由（1）易证明得到 ，
∴ ，
根据（2）易证明得到 ，
设 ，
则 ， ，
∴ ， ，
由 可得，
，
∴解得 ，
∴ .
【分析】（1）利用角平分线的性质可证得CD=DE，利用HL证明△DCF≌△DEB；
（2）在AB上截取AG=AF，连接DG，利用角平分线的定义可证得∠DAF=∠DAG，利用SAS证明△DAF≌△DAG，利用全等三角形的性质可得到DF=DG，可推出BD=DG；利用等腰三角形的性质可证得BE=GE，由此可证得结论；
（3）利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，利用全等三角形的性质可得到FC=BE，设BD=DF=x，可表示出CD的长，利用勾股定理表示出FC的长；同时可表示出AF，BE的长，根据AB-AF=2EB，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可得到DF的长.
27．【答案】（1）1；3
（2）解：根据题意，
当时，点D在线段CA上，且，
∴；
当时，点D在线段AB上，
∴；
（3）解：①CD=BC时，CD=3，t=3÷1=3；
②BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
设，则，
∴，
∴，
∴CD=2CF=1.8×2=3.6，
∴t=3.6÷1=3.6，
综上所述，t=3秒或3.6秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
（4）或
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）在Rt中，，，，
∴，
∵点D运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当，点D在线段CA上；当，点D在线段AB上；
∴当时，点D在线段AB上，
∴，；
故答案为：1；3；
（4）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC BD=AB BC，
即=×4×3，
解得BD=2.4，
∴CD=，
∴t=1.8÷1=1.8秒；
②∠CBD=90°时，点D在线段AB上运动，
∴
综上所述，t=1.8或秒；
故答案为：或秒；
【分析】（1）在Rt中，，，，利用勾股定理得出CA的值，再根据点D运动的速度为每秒1个单位长度，当，点D在线段CA上；当，点D在线段AB上；当时，点D在线段AB上，即可得出答案；
（2）当时，当时，分类讨论即可；
（3）①CD=BC时，CD=3，t=3÷1=3；②BD=BC时，设，则，用方程求解即可；
（4）①∠CDB=90°时，②∠CBD=90°时，分类讨论即可。
28．【答案】（1）解： ∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=1，
，
，
CE= AC，
，
中， ；
（2）证明：如图，作 ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
在 与 中
，
，
；
（3）24
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3） 为 的中点，
，
，
当 三点共线时， 取得最大值为 的长，如图，
在 中，
，
，
，
，
在 中
，
，
解得 ，
，
，
.
【分析】（1）利用30° 角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长；
（2）作EQ⊥BC，利用垂直的定义及余角的性质得∠QEC=∠QCA，利用AAS证明△ABC≌△CQE，利用全等三角形的性质得AB=CQ，BC=QE，再利用等腰三角形的判定和性质去证BF=EQ，BQ=AF，利用AAS证明△FBH≌△EQH，利用全等三角形的性质可证得结论；
（3）根据题意可知当点A，M，B共线时，|CM-BM|的最大值为AB的长，利用勾股定理求出AC的长，利用三角形的面积公式求出AE与EC的数量关系；利用勾股定理求出EC的长，同时可求出AE，BM的长，然后利用三角形的面积公式求出△BMC的面积.
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