初中数学北师大版八年级下册第一章第三节 线段的垂直平分线 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·南通月考）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，连接 .若 ， 的周长为13，则 的周长为（ ）
A．19 B．16 C．29 D．18
2．（2021八上·农安期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021八上·沈丘期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是
A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线
B．作已知角的平分线
C．过直线外一点作已知直线的垂线
D．作一个角等于已知角
4．（2021七上·肇源期末）如图，在△ABC中， AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为（ ）
A．68° B．62° C．66° D．56°
5．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2021八上·安次月考）如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，
已知钝角 ，尺规作图及步骤如下： 步骤一：以点 为圆心， 为半径画弧； 步骤二：以点 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 ； 步骤三：连接 ，交 延长线于点 ．
下面是四位同学对其做出的判断：
小明说： ；
小华说： ；
小强说： ；
小方说： ．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有小明说得对 B．小华和小强说的都对
C．小强和小方说的都不对 D．小明和小方说的都对
7．（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
8．（2021八上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2021八上·泰州月考）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 .
10．（2021·兴庆模拟）如图，在 中， ， ， 垂直平分 ，垂足为Q，交 于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线 .若 与 的夹角为 ，则 °.
11．（2021八上·铁岭期末）如图，∠，是，垂直平分线的交点，则的度数是 ．
12．（2021八上·陇县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC.∠BAC＝75°，则∠B的度数为 .
13．（2021八上·德阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
14．（2021八上·建华期末）如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为 ．
15．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
三、作图题
16．（2021八上·孝义期中）作图题：如图，已知 ABC，在BC上找一点D，使 ABD的周长等于AB＋BC．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
四、解答题
17．如图，在△ABC中，ME和NF分别垂直平分AB和AC．
(1) 若BC = 10 cm，试求△AMN的周长．
(2) 在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100°，求∠MAN的度数．
(3) 在 (2) 中，若无AB = AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB，BC．
19．（2021八上·灌云期中）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
五、综合题
20．（2021八上·阜阳期中）如图1所示，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 或 的延长线于点 ．
（1）如图1所示，若 ，求 的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的 的度数改为 ，其余条件不变，再求 的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
21．（2021八上·肥城期中）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ，连结 ， ， ，若 的周长为 ， 的周长为 ．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
22．（2021八上·如皋期中）如图
（了解概念）如图1，已知 ， 为直线 同侧的两点，点 为直线 的一点，连接 ， ，若 ，则称点 为点 ， 关于直线 的“等角点”.
（1）（理解运用）
如图2，在 中， 为 上一点，且与点 关于直线 对称，连接 并延长至点 ，判断点 是否为点 ， 关于直线 的“等角点”，并说明理由；
（2）（拓展提升）
如图2，在（1）的条件下，若 ， ，点 是射线 上一点，且点 ， 关于直线 的“等角点”为点 ，请利用尺规在图2中确定点 的位置，并求出 的度数；
（3）如图3，在 中， ， 的平分线交于点 ，点 到 的距离为 ，直线 垂直平分边 ，点 为点 ， 关于直线 的“等角点”，连接 ， ，当 时， 的值为 .
23．（2021八上·雨城期中）如图，直线AB：y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF.
（1）直接写出点A，B的坐标，并求出线段AB的长.
（2）猜想线段AF与BE之间的数量与位置关系，并证明；
（3）过点O作OM⊥EF垂足为D，OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE= ，求CF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
△ACE的周长=AC+EC+EA=AC+EC+EB=AC+BC
的周长= AC+BC
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=BE，则可求出AB的长，然后根据三角形周长的定义，结合等式的性质，即可解答.
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B．由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D．由此作图可知PA=PC，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据尺规作图的性质及线段垂直平分线的性质求解即可。
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段，
然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线，
因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点，
最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠BAC=124°
∴∠B+∠C=180°-124°=56°
又∵AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=56°
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=124°-56°=68°
故答案为A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再利用三角形的内角和求出∠B+∠C=56°，最后利用角的运算可得∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=124°-56°=68°。
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
则在△AED中，∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠D=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接CD、BD，则：CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
即直线BC是线段AD的垂直平分线，
∴BH⊥AD，且AH=DH，即小明与小方的说法符合题意，
∵CA不一定平分∠BAH，故小华的说法不符合题意，
∵点C不一定是BH的中点，故小强的说法不符合题意，
综上所述，小明与小方的说法符合题意，
故答案为：D.
【分析】先求出直线BC是线段AD的垂直平分线，再一一判断求解即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.
【分析】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①符合题意；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②符合题意；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③符合题意；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④符合题意，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC CD： AB DH＝1：2；故⑤符合题意．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线，三角形的面积公式，结合图形，对每个说法一一判断即可。
9．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵AC＝6，BC＝4，
∴△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝10，
故答案为：10.
【分析】由垂直平分线的性质知EA＝EB，然后由三角形周长的定义列式，把其周长转化为BC+AC，即可解答.
10．【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
，
，
，
∵ 是 的平分线，
，
是 的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
∵∠α与∠1是对顶角，
.
故答案为：55.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠2的度数，再证明△AMQ是直角三角形，可求出∠1的度数，再利用对顶角相等，可求出α的值.
11．【答案】160
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
连接OA，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A =100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB +∠OAC =∠A =80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠CBO＝180°-10° - 10°=160°
故答案为：160°．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质即可得出结论。
12．【答案】35°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接
AB的垂直平分线EF交BC于点E，
BE＝AC.
又D为线段CE的中点
，
设 ，
则
∠BAC＝75°，
①
②
联立①② ，解得
即∠B的度数为
故答案为：35°
【分析】连接AE，根据垂直平分线的性质可得EA=EB，由等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA，结合BE＝AC可得EA=EC，由等腰三角形的性质可得∠EAD=∠CAD，AD⊥EC，设∠EAB=∠EBA=α，∠EAD=∠CAD=β，则∠AED=2α，根据∠ABC=75°可得α+2β=75°，根据直角三角形的两锐角互余得2α+β=90°，联立求解即可.
13．【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ECF=∠EDB=90°，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠A=∠F=30°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴BE=2DE=2.
故答案为：2.
【分析】 根据等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，根据等腰三角形的性质得出∠EBA=∠A=30°，根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”，即可得出BE=2DE=2.
14．【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 ，再求出，最后找出规律求解即可。
15．【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，
是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【分析】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
16．【答案】解：如图，点D即为所求作．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，做线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，求出三角形的周长即可。
17．【答案】解：(1) ∵ME垂直平分AB
∴MA = MB
∵NF垂直平分AC
∴NA = NC
∴cm
(2) ∵AB = AC，
∴
∵MA = MB
∴
∵NA = NC
∴
∴
(3) 能．理由如下：
∵MA = MB
∴∠MAB =∠B
∵NA = NB
∴∠NAC =∠C
∴
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）由线段垂直平分线求出AM=BM，AN=CN，可求解．
（2）利用线段垂直平分线的性质求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，易求解；
（3）利用线段垂直平分线的性质，即可求解.
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理.
18．【答案】解：∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，即BD+CD=AC，
∵C△ABC=AB+AC+BC=60cm，C△DBC=BD+CD+BC=AC+BC=38cm，
∴AB=60﹣38=22cm，
∵AB=AC，
∴AC=22cm，
∴BC=38﹣22=16cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】 【分析】先根据AB的垂直平分线交AC于点D得出AD=BD，即BD+CD=AC，再根据△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm即可得出AB的长，再由AB=AC得出AC的长，故可得出BC的长．
19．【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，
∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由角平分线的性质可得DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，据此可得结论.
20．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）同理（1）可得： ．
（3）猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即 ．
理由：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出∠B=70°，最后计算求解即可；
（2）求出 即可作答；
（3）先求出 ，再求解即可。
21．【答案】（1）解：∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴ 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC= ；
（2）∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AO=BO=CO，
∵ 的周长=BC+BO+CO= ，BC= ，
∴BO=CO=6cm，
∴OA=OB=6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用的周长计算方法及等量代换可得 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）根据垂直平分线的性质可得AO=BO=CO，再利用的周长为20，AB=8，可求出OB=OC=6，所以OA=6.
22．【答案】（1）解：是，理由如下：
点 与点 关于直线 对称，
垂直平分 ，
.
，
，
点 为点 ， 关于直线 的“等角点”；
（2）解：先作点 关于直线 的对称点 ，再连接 ，并延长交 于点 即为所求，如图所示：
， ，
，
点 ， 关于直线 ， 的“等角点”分别为点 和点 ，
，
，
（3）2
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，设直线 分别交 于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，
的平分线交于点 ，
平分 ，
，
，
在 中， ，
点 为点 关于直线 的“等角点”，
，
，
，
直线 垂直平分 ，
，
，
又 点 与点 都在 上，且都在点 的右侧，
点 与点 重合，
点 共线，
.
故答案为：2.
【分析】（1）易得AB垂直平分DE，则∠EBA=∠DBA，由对顶角的性质可得∠EBA=∠MBF，则∠DBA=∠MBF，据此判断；
（2）作点D关于直线AC的对称点D′，连接D′C，并延长交EF于点Q，则Q即为所求，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=55°，由题意可得∠MBQ=∠NCQ=55°，然后根据内角和定理就可求出∠CBQ、∠BQC的度数；
（3）设直线l分别交BC、AC于点M、N，连接CP、OC，延长OP交BC于点D，过点O作OE⊥AC于点 E，则OE=1，由角平分线的概念可得∠OCE=30°，则OC=2OE=2，由题意可得∠BPM=∠OPN，由对顶角的性质可得∠DPM=∠OPN，推出∠BPM=∠DPM，由垂直平分线的性质可得BP=CP，∠BPM=∠CPM，则∠CPM=∠DPM，易知点O、P、C共线，据此求解.
23．【答案】（1）A（4，0），B（0，-4），
在Rt△AOB中，
AB= ；
（2）解：猜想：AF=BE，AF⊥BE，
理由如下：∵OE⊥OF，OA⊥OB，
∴∠FOA=∠EOB，
∵点A（4，0），点B（0，-4），
∴OA=OB，
在△FOA和△EOB中，
，
∴△FOA≌△EOB（SAS）
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OAB=90°，
∴∠FAO+∠OAB=90°，即∠FAB=90°，
∴AF⊥BE，
∴AF=BE，AF⊥BE；
（3）解：连接CE，
∵BE=3 ，AB=4 ，
∴AF=BE=3 ，AE= ，
∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM是线段EF的垂直平分线，
∴CF=CE，
设CF=x，则CE=x，AC=3 -x，
在Rt△ACE中，
CE2=AE2+AC2，即x2=（ ）2+（3 -x）2，
解得，x= ，即CF= .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）y=x-4中，令x=0，则y=-4，
∴B（0，-4），
令y=0，则x=4，
∴A（4，0），
在Rt△AOB中，
AB= ；
【分析】（1） 零x=0与y=0分别代入y=x-4求出对应的y及x的值从而即可求出点A、B的坐标， 即得OA、OB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）猜想 AF=BE，AF⊥BE， 理由：证明△FOA≌△EOB（SAS），可得AF=BE，∠FAO=∠EBO，由∠EBO+∠OAB=90°，可得∠FAB=∠FAO+∠OAB=90°，即得结论；
（3）连接CE， 由线段垂直平分线的性质可得 CF=CE，设CF=x，则CE=x，AC=3 -x，在Rt△ACE中，由CE2=AE2+AC2建立方程，求出x值即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第一章第三节 线段的垂直平分线 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·南通月考）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点D，交 于点E，连接 .若 ， 的周长为13，则 的周长为（ ）
A．19 B．16 C．29 D．18
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
△ACE的周长=AC+EC+EA=AC+EC+EB=AC+BC
的周长= AC+BC
故答案为：A.
【分析】根据垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=BE，则可求出AB的长，然后根据三角形周长的定义，结合等式的性质，即可解答.
2．（2021八上·农安期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：A．由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B．由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C．由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D．由此作图可知PA=PC，符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据尺规作图的性质及线段垂直平分线的性质求解即可。
3．（2021八上·沈丘期末）“已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是
A．作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线
B．作已知角的平分线
C．过直线外一点作已知直线的垂线
D．作一个角等于已知角
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当已知等腰三角形的底边时，可先尺规作图作出已知线段，
然后根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边上的高所在直线为底边的垂直平分线，
因此作底边的垂直平分线，并运用尺规截取高度即可得到等腰三角形的顶点，
最后连接顶点与底边的两个端点即可得到等腰三角形，
故答案为：A.
【分析】根据等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质即可判断.
4．（2021七上·肇源期末）如图，在△ABC中， AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为（ ）
A．68° B．62° C．66° D．56°
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠BAC=124°
∴∠B+∠C=180°-124°=56°
又∵AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=56°
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=124°-56°=68°
故答案为A.
【分析】根据垂直平分线的性质可得∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再利用三角形的内角和求出∠B+∠C=56°，最后利用角的运算可得∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=124°-56°=68°。
5．（2021八上·乌兰察布期末）如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且，DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵DE⊥AB，
则在△AED中，∵∠D=30°，
∴∠DAE=60°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
在Rt△BEF中，∵∠B=30°，EF=2，
∴BF=4，
连接AF，∵DE是AB的垂直平分线，
∴FA=FB=4，∠FAB=∠B=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAF=30°，
∵∠D=30°，
∴∠DAF=∠D，
∴DF=AF=4，
故答案为：B．
【分析】连接AF，由直角三角形的性质求出BF，根据中垂线的性质得出AF=BF，求出∠FAB=∠B=30°，即可得出答案。
6．（2021八上·安次月考）如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，
已知钝角 ，尺规作图及步骤如下： 步骤一：以点 为圆心， 为半径画弧； 步骤二：以点 为圆心， 为半径画弧，两弧交于点 ； 步骤三：连接 ，交 延长线于点 ．
下面是四位同学对其做出的判断：
小明说： ；
小华说： ；
小强说： ；
小方说： ．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有小明说得对 B．小华和小强说的都对
C．小强和小方说的都不对 D．小明和小方说的都对
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接CD、BD，则：CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
即直线BC是线段AD的垂直平分线，
∴BH⊥AD，且AH=DH，即小明与小方的说法符合题意，
∵CA不一定平分∠BAH，故小华的说法不符合题意，
∵点C不一定是BH的中点，故小强的说法不符合题意，
综上所述，小明与小方的说法符合题意，
故答案为：D.
【分析】先求出直线BC是线段AD的垂直平分线，再一一判断求解即可。
7．（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（ ）
A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BO，CO，
∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.
【分析】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
8．（2021八上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①符合题意；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②符合题意；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③符合题意；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④符合题意，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC CD： AB DH＝1：2；故⑤符合题意．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的性质，垂直平分线，三角形的面积公式，结合图形，对每个说法一一判断即可。
二、填空题
9．（2021八上·泰州月考）如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵AC＝6，BC＝4，
∴△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝10，
故答案为：10.
【分析】由垂直平分线的性质知EA＝EB，然后由三角形周长的定义列式，把其周长转化为BC+AC，即可解答.
10．（2021·兴庆模拟）如图，在 中， ， ， 垂直平分 ，垂足为Q，交 于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线 .若 与 的夹角为 ，则 °.
【答案】55°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，
，
，
，
∵ 是 的平分线，
，
是 的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
∵∠α与∠1是对顶角，
.
故答案为：55.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，利用角平分线的定义求出∠2的度数，再证明△AMQ是直角三角形，可求出∠1的度数，再利用对顶角相等，可求出α的值.
11．（2021八上·铁岭期末）如图，∠，是，垂直平分线的交点，则的度数是 ．
【答案】160
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
连接OA，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°-∠A =100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB +∠OAC =∠A =80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
∴∠BOC=180°-∠BCO-∠CBO＝180°-10° - 10°=160°
故答案为：160°．
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质即可得出结论。
12．（2021八上·陇县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC.∠BAC＝75°，则∠B的度数为 .
【答案】35°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接
AB的垂直平分线EF交BC于点E，
BE＝AC.
又D为线段CE的中点
，
设 ，
则
∠BAC＝75°，
①
②
联立①② ，解得
即∠B的度数为
故答案为：35°
【分析】连接AE，根据垂直平分线的性质可得EA=EB，由等腰三角形的性质可得∠EAB=∠EBA，结合BE＝AC可得EA=EC，由等腰三角形的性质可得∠EAD=∠CAD，AD⊥EC，设∠EAB=∠EBA=α，∠EAD=∠CAD=β，则∠AED=2α，根据∠ABC=75°可得α+2β=75°，根据直角三角形的两锐角互余得2α+β=90°，联立求解即可.
13．（2021八上·德阳月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．
【答案】2
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，
∴∠ECF=∠EDB=90°，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠A=∠F=30°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴BE=AE，
∴∠EBA=∠A=30°，
∴BE=2DE=2.
故答案为：2.
【分析】 根据等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，根据等腰三角形的性质得出∠EBA=∠A=30°，根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”，即可得出BE=2DE=2.
14．（2021八上·建华期末）如图，已知 中， ， ， ，作AC的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第一条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交AC于点 ，连接 ，得到第二条线段 ；作 的垂直平分线交AB于点 、交 于点 ，连接 ，得到第三条线段 ；……，如此作下去，则第n条线段 的长为 ．
【答案】 或
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 垂直平分AC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
，
可得第n条线段 的长为： 或 .
故答案为： 或 .
【分析】先求出 ，再求出，最后找出规律求解即可。
15．（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .
【答案】②③④
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，
设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，
分别是 的角平分线，
是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【分析】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
三、作图题
16．（2021八上·孝义期中）作图题：如图，已知 ABC，在BC上找一点D，使 ABD的周长等于AB＋BC．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点D即为所求作．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，做线段AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，求出三角形的周长即可。
四、解答题
17．如图，在△ABC中，ME和NF分别垂直平分AB和AC．
(1) 若BC = 10 cm，试求△AMN的周长．
(2) 在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100°，求∠MAN的度数．
(3) 在 (2) 中，若无AB = AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
【答案】解：(1) ∵ME垂直平分AB
∴MA = MB
∵NF垂直平分AC
∴NA = NC
∴cm
(2) ∵AB = AC，
∴
∵MA = MB
∴
∵NA = NC
∴
∴
(3) 能．理由如下：
∵MA = MB
∴∠MAB =∠B
∵NA = NB
∴∠NAC =∠C
∴
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）由线段垂直平分线求出AM=BM，AN=CN，可求解．
（2）利用线段垂直平分线的性质求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，易求解；
（3）利用线段垂直平分线的性质，即可求解.
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理.
18．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB，BC．
【答案】解：∵AB的垂直平分线交AC于点D，
∴AD=BD，即BD+CD=AC，
∵C△ABC=AB+AC+BC=60cm，C△DBC=BD+CD+BC=AC+BC=38cm，
∴AB=60﹣38=22cm，
∵AB=AC，
∴AC=22cm，
∴BC=38﹣22=16cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】 【分析】先根据AB的垂直平分线交AC于点D得出AD=BD，即BD+CD=AC，再根据△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm即可得出AB的长，再由AB=AC得出AC的长，故可得出BC的长．
19．（2021八上·灌云期中）已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.
【答案】证明：连接BD、CD，根据垂直平分线性质可得BD=CD，
∵D为∠BAC上面的点，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】连接BD、CD，根据垂直平分线的性质可得BD=CD，由角平分线的性质可得DE=DF，证明Rt△BDE≌Rt△CDF，据此可得结论.
五、综合题
20．（2021八上·阜阳期中）如图1所示，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 或 的延长线于点 ．
（1）如图1所示，若 ，求 的大小；
（2）如图2所示，如果将（1）中的 的度数改为 ，其余条件不变，再求 的大小；
（3）你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）同理（1）可得： ．
（3）猜想规律：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边或底边延长线的夹角等于顶角的一半，即 ．
理由：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出∠B=70°，最后计算求解即可；
（2）求出 即可作答；
（3）先求出 ，再求解即可。
21．（2021八上·肥城期中）如图，在 中， 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ， 与 相交于点 ，连结 ， ， ，若 的周长为 ， 的周长为 ．
（1）求线段 的长；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）解：∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AD=BD，AE=CE，
∴ 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC= ；
（2）∵ 边的垂直平分线 交 于点 ， 边的垂直平分线 交 于点 ，
∴AO=BO=CO，
∵ 的周长=BC+BO+CO= ，BC= ，
∴BO=CO=6cm，
∴OA=OB=6cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=CE，再利用的周长计算方法及等量代换可得 的周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8；
（2）根据垂直平分线的性质可得AO=BO=CO，再利用的周长为20，AB=8，可求出OB=OC=6，所以OA=6.
22．（2021八上·如皋期中）如图
（了解概念）如图1，已知 ， 为直线 同侧的两点，点 为直线 的一点，连接 ， ，若 ，则称点 为点 ， 关于直线 的“等角点”.
（1）（理解运用）
如图2，在 中， 为 上一点，且与点 关于直线 对称，连接 并延长至点 ，判断点 是否为点 ， 关于直线 的“等角点”，并说明理由；
（2）（拓展提升）
如图2，在（1）的条件下，若 ， ，点 是射线 上一点，且点 ， 关于直线 的“等角点”为点 ，请利用尺规在图2中确定点 的位置，并求出 的度数；
（3）如图3，在 中， ， 的平分线交于点 ，点 到 的距离为 ，直线 垂直平分边 ，点 为点 ， 关于直线 的“等角点”，连接 ， ，当 时， 的值为 .
【答案】（1）解：是，理由如下：
点 与点 关于直线 对称，
垂直平分 ，
.
，
，
点 为点 ， 关于直线 的“等角点”；
（2）解：先作点 关于直线 的对称点 ，再连接 ，并延长交 于点 即为所求，如图所示：
， ，
，
点 ， 关于直线 ， 的“等角点”分别为点 和点 ，
，
，
（3）2
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，设直线 分别交 于点 ，连接 ，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，
的平分线交于点 ，
平分 ，
，
，
在 中， ，
点 为点 关于直线 的“等角点”，
，
，
，
直线 垂直平分 ，
，
，
又 点 与点 都在 上，且都在点 的右侧，
点 与点 重合，
点 共线，
.
故答案为：2.
【分析】（1）易得AB垂直平分DE，则∠EBA=∠DBA，由对顶角的性质可得∠EBA=∠MBF，则∠DBA=∠MBF，据此判断；
（2）作点D关于直线AC的对称点D′，连接D′C，并延长交EF于点Q，则Q即为所求，由等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠ABC=∠ACB=55°，由题意可得∠MBQ=∠NCQ=55°，然后根据内角和定理就可求出∠CBQ、∠BQC的度数；
（3）设直线l分别交BC、AC于点M、N，连接CP、OC，延长OP交BC于点D，过点O作OE⊥AC于点 E，则OE=1，由角平分线的概念可得∠OCE=30°，则OC=2OE=2，由题意可得∠BPM=∠OPN，由对顶角的性质可得∠DPM=∠OPN，推出∠BPM=∠DPM，由垂直平分线的性质可得BP=CP，∠BPM=∠CPM，则∠CPM=∠DPM，易知点O、P、C共线，据此求解.
23．（2021八上·雨城期中）如图，直线AB：y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF.
（1）直接写出点A，B的坐标，并求出线段AB的长.
（2）猜想线段AF与BE之间的数量与位置关系，并证明；
（3）过点O作OM⊥EF垂足为D，OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE= ，求CF的长.
【答案】（1）A（4，0），B（0，-4），
在Rt△AOB中，
AB= ；
（2）解：猜想：AF=BE，AF⊥BE，
理由如下：∵OE⊥OF，OA⊥OB，
∴∠FOA=∠EOB，
∵点A（4，0），点B（0，-4），
∴OA=OB，
在△FOA和△EOB中，
，
∴△FOA≌△EOB（SAS）
∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，
∵∠EBO+∠OAB=90°，
∴∠FAO+∠OAB=90°，即∠FAB=90°，
∴AF⊥BE，
∴AF=BE，AF⊥BE；
（3）解：连接CE，
∵BE=3 ，AB=4 ，
∴AF=BE=3 ，AE= ，
∵OE=OF，OM⊥EF，
∴OM是线段EF的垂直平分线，
∴CF=CE，
设CF=x，则CE=x，AC=3 -x，
在Rt△ACE中，
CE2=AE2+AC2，即x2=（ ）2+（3 -x）2，
解得，x= ，即CF= .
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）y=x-4中，令x=0，则y=-4，
∴B（0，-4），
令y=0，则x=4，
∴A（4，0），
在Rt△AOB中，
AB= ；
【分析】（1） 零x=0与y=0分别代入y=x-4求出对应的y及x的值从而即可求出点A、B的坐标， 即得OA、OB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）猜想 AF=BE，AF⊥BE， 理由：证明△FOA≌△EOB（SAS），可得AF=BE，∠FAO=∠EBO，由∠EBO+∠OAB=90°，可得∠FAB=∠FAO+∠OAB=90°，即得结论；
（3）连接CE， 由线段垂直平分线的性质可得 CF=CE，设CF=x，则CE=x，AC=3 -x，在Rt△ACE中，由CE2=AE2+AC2建立方程，求出x值即可.
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