初中数学北师大版八年级下册第一章第四节 角平分线 同步练习

初中数学北师大版八年级下册第一章第四节 角平分线 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·云阳期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，若 ，则点 到 边的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
2．（2021八上·咸宁期中）如图， 是 的平分线， 于点E， ，则 长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
3．（2021八上·长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（　　）
A．3 B．10 C．15 D．30
4．（2021八上·宽城期末）用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（　　）
A．46° B．52° C．56° D．62°
5．（2021八上·道里期末）如图，AD是的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．下列结论：①；②；③；④．其中命题一定成立的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021八上·临沭月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
7．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2021八上·沭阳月考）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为　 　cm2
9．（2020八上·成华期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于 FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是　 　．
10．（2021八上·浦东期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则　 　．
11．（2021八上·博兴期中）如图，AD平分∠BAC，DEAB，DF⊥AB．若AE＝8，∠BAC＝30°，则DF的长为　 　．
12．（2021八上·盐湖期中）如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是　 　．
13．（2021八上·乐陵期中）在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使 ，再分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为 ，则a的值为　 　．
14．（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是　 　．
三、作图题
15．（2019八上·肥城开学考）如图，已知点 和 ，求作一点 ，使 到点 的距离相等，且到 的两边距离相等
四、解答题
16．（2021八上·津南期中）如图， ，M是BC的中点，DM平分 ，求证：AM平分 ．
17．（2021八上·太和月考）太和中学校园内有一块直角三角形（Rt ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在 ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
18．（2021八上·泰州月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE＝10cm，AB＝6cm，求CE的长.
19．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
五、综合题
20．（2021八上·肇源期末）如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
21．（2021八上·温州期末）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一动点，连结AD.
（1）如图1所示，若BD = 2，DC = 4，求AD的长.
（2）如图2所示，以AD为边作∠ADE =∠ADF =60°，分别交AB，AC于点E，F.
①小明通过观察、实验，提出猜想:在点D运动的过程中，始终有AE =
AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法.
想法1:利用AD是∠EDF的平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证.
想法2:利用AD是∠EDF的平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE =AF（一种方法即可）.
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现:四边形AEDF的面积与AD的长存在一定的关系.若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是 的角平分线，
∴点D到AB边的距离等于CD=3.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出点D到AB边的距离等于CD长，即可选择.
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作 于点F，
∵ 是 中 的平分线，
，∴ ，
由图可知， ，
∴ ，解得 .
故答案为：A.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，由角平分线的性质可得DE=DF=2，由图得S△ABC=S△ABD+S△ACD，然后利用三角形的面积公式就可求出AC.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故答案为：C．
【分析】作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得GH=CG=3，再利用三角形的面积公式求解即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，
∴点到射线的距离相等，
∴是的角平分线，
∵∠BOP＝28°，
∴＝28°，
∵
∴＝28°
∴＝56°
故答案为：C
【分析】根据图形及角平分线的判定可得是的角平分线，可得＝28°，利用平行线的性质可得＝28°，利用即可求解.
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴AF=DF，故①符合题意；
∴∠ADF=∠DAF，
过点D分别作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，
∴DH=DG，∠BAD=∠CAD
∵，，
∴，故②符合题意；
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，
∴∠BAF=∠ACF，故③符合题意；
∵∠BAF不一定为90°，
∴∠ACF不一定为90°，
∴AF与BC不一定垂直，故④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质、三角形的知识点即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，作于点，作于点，
是的三条角平分线，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
8．【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 ，
∵CD是角平分线，DE⊥AC，
∴ ，
又∵BC＝6cm，
∴.
故答案为：6.
【分析】作DF⊥BC，由角平分线的性质可得DE=DF=2cm，然后根据三角形的面积公式进行计算.
9．【答案】125°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
由作图可知OB平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故答案为125°．
【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠ABC+∠ACB=110°，再根据角平分线的性质求出 ∠BOC的度数是 125°。
10．【答案】26°
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作三边的垂线段，
三角形的两个外角和的平分线交于点E
在的角平分线上，即是的角平分线
故答案为：26°
【分析】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM=EO=EN，结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论。
11．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DM⊥AC于M，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，∠BAC＝30°，
∴∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE＝AE，∠DEC＝30°，
∵AE＝8，
∴DE＝8，
∴DM＝ DE＝ 8＝4，
∴DF＝DM＝4，
故答案为：4．
【分析】过D作DM⊥AC于M，根据角平分线的性质求出DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得出∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，根据等腰三角形的判定得出DE＝AE，∠DEC＝30°，根据含30度角的直角三角形性质得出DM＝ DE＝ 8＝4，再求出DF即可。
12．【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵ 的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴
＝20，
故答案为：20
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质可得OE＝OF＝OD＝2，根据
即可求解.
13．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：
由作法可知点P在 的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，
∵点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】由作法可知点P在 的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，可得，求出a的值即可。
14．【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
【分析】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再证得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③。
15．【答案】解：∵P点到点M、点N的距离相等，
∴P点一定在MN的垂直平分线上，
∵P点到 的两边距离相等，
∴P点一定在 的角平分线上．
即作MN的垂直平分线，再作 的角平分线，交点即为点P．
作图如下：
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质画图即可．
16．【答案】证明：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点M作ME⊥AD于F，根据角平分线的性质可得ME=MC，再根据点M是BC的中点可得MB=CM，所以BM=EM，再利用角平分线的判断即可得到AM平分∠DAB．
17．【答案】解：过点 分别作 ， 是垂足．
由 ，得 ， ，
是 的平分线，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】过点 分别作 ， 是垂足，由角平分线的性质可得DE=DF，根据，利用三角形的面积公式可求出DE、DF，从而求出△ABD、△ADC的面积.
18．【答案】解：如图，连接AP、CP，
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，
在△BPD和△BPE中，
，
∴△BPD≌△BPE（AAS），
∴BD＝BE，
又∵BE＝10cm，AB＝6cm，
∴AD＝BD﹣AB＝BE﹣AB＝4cm，
∵PQ垂直平分AC，
∴PA＝PC，
在Rt△PAD和Rt△PCE中，
，
∴Rt△PAD≌Rt△PCE（HL），
∴CE＝AD＝4cm.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】连接AP、CP，由角平分线的性质可得∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，用角角边可证△BPD≌△BPE，由全等三角形的对应边相等得BD=BE，由线段的构成AD=BD-AB=BE-AB可求得AD的值，由线段的垂直平分线的性质可得PA=PC，用HL定理得Rt△PAD≌Rt△PCE求解.
19．【答案】解：（Ⅰ）证明∵，
∴，即．
∵，，
∴≌．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得．
∵，∴．
∴．
（Ⅲ）证明：如图，过分别作，，垂足分别为点，．
∵≌，∴．∴．
∵，∴．
∴ 点在的平分线上．∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“SAS”证明≌，再利用全等的性质可得AC=BD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得，再利用角的运算及等量代换可得；
（Ⅲ）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积可得，即可得到，即可证明 点在的平分线上，即可得到。
20．【答案】（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB，EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG；
（2）解：在Rt△AFE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG＝AF，
∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 BE＝EC， 再求出 FE＝EG， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 Rt△AFE≌Rt△AGE， 再证明求解即可。
21．【答案】（1）解：如图，过点A作BC的垂线AG，交BC于点G，
∵BD=2，DC=4，
∴BC=6.
∵△ABC是等边三角形，AGBC，
∴AB=BC=6，BG=BC=3，
∴DG=BG-BD=3-2=1，
∴AG=，AD=.
（2）解：①想法1：如图，过A作AMDF于点M，作AHDE，交DE的延长线于点H，
∵AD平分∠EDF，AHDE，AMDF，
∴AH=AM.
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°.
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°，且∠AED+∠AEH=180°，
∴∠AEH=∠AFD且AH=AM，∠H=∠AMF=90°，
∴Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴AE=AF.
想法2：延长DE至N，使DN=DF.
∵DN=DF，AD=AD，∠ADE=∠ADF=60°，
∴△ADN≌△ADF，
∴AN=AF，∠AFD=∠N.
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°.
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°且∠AED+∠AEN=180°，
∴∠AEN=∠AFD，
∴∠AEN=∠N，
∴AN=AE=AF.
②
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）
（2）②如图，
由①中想法1可得Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴S△AHE=S△AMF，
∴S四边形AEDF=S四边形AHDM.
∵∠ADF=60°，AMDF，
∴DM=AD，AM=DM=AD，
∴S△ADM=DM×AM=AD2=x2.
∵AD=AD，AH=AM，
∴Rt△ADH≌Rt△ADM，
∴S△ADH=S△ADM，
∴S四边形AEDF=S四边形AHDM=2S△ADM=x2.
【分析】（1）过点A作BC的垂线AG，交BC于点G，求出BC的值，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求出AG、AD的值；
（2）①想法1：过点A作AMDF于点M，交DE的延长线于点H，根据角平分线的性质可得AH=AM，然后求出∠H、∠AMF的度数，证明△AHE与△AMF全等即可；
想法2：延长DE至N，使DN=DF，证明△ADN与△ADF全等，然后求出∠EDF的度数，进而推出∠AEN=∠N即可；
②由想法①中的全等以及全等三角形的性质可得S四边形AEDF=S四边形AHDM，利用三角函数的知识得到DM=AD，AM=DM=AD，然后表示出S△ADM，最后根据全等三角形的性质进行解答即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第一章第四节 角平分线 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·云阳期末）如图，在 中， ， 是 的角平分线，若 ，则点 到 边的距离为（　　）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是 的角平分线，
∴点D到AB边的距离等于CD=3.
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出点D到AB边的距离等于CD长，即可选择.
2．（2021八上·咸宁期中）如图， 是 的平分线， 于点E， ，则 长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作 于点F，
∵ 是 中 的平分线，
，∴ ，
由图可知， ，
∴ ，解得 .
故答案为：A.
【分析】过点D作DF⊥AC于点F，由角平分线的性质可得DE=DF=2，由图得S△ABC=S△ABD+S△ACD，然后利用三角形的面积公式就可求出AC.
3．（2021八上·长春期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（　　）
A．3 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】作GH⊥AB于H，由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线．
∵∠C=90°，GH⊥AB，∴GH=CG=3，∴△ABG的面积AB×GH=15．
故答案为：C．
【分析】作GH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得GH=CG=3，再利用三角形的面积公式求解即可。
4．（2021八上·宽城期末）用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（　　）
A．46° B．52° C．56° D．62°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，
∴点到射线的距离相等，
∴是的角平分线，
∵∠BOP＝28°，
∴＝28°，
∵
∴＝28°
∴＝56°
故答案为：C
【分析】根据图形及角平分线的判定可得是的角平分线，可得＝28°，利用平行线的性质可得＝28°，利用即可求解.
5．（2021八上·道里期末）如图，AD是的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF．下列结论：①；②；③；④．其中命题一定成立的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴AF=DF，故①符合题意；
∴∠ADF=∠DAF，
过点D分别作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，
∴DH=DG，∠BAD=∠CAD
∵，，
∴，故②符合题意；
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，
∴∠BAF=∠ACF，故③符合题意；
∵∠BAF不一定为90°，
∴∠ACF不一定为90°，
∴AF与BC不一定垂直，故④不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质、三角形的知识点即可得出答案。
6．（2021八上·临沭月考）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，作于点，作于点，
是的三条角平分线，
，
，
故答案为：C．
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【分析】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
二、填空题
8．（2021八上·沭阳月考）如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E.若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为　 　cm2
【答案】6
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作 ，
∵CD是角平分线，DE⊥AC，
∴ ，
又∵BC＝6cm，
∴.
故答案为：6.
【分析】作DF⊥BC，由角平分线的性质可得DE=DF=2cm，然后根据三角形的面积公式进行计算.
9．（2020八上·成华期末）如图，在△ABC中，∠A＝70°．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC，CA，CB于点D，E，F，G；②分别以点D，E为圆心，大于 DE为半径画弧，两弧交于点M；③分别以点F，G为圆心，大于 FG为半径画弧，两弧交于点N；④作射线BM交射线CN于点O．则∠BOC的度数是　 　．
【答案】125°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
由作图可知OB平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ ∠ABC+ ∠ACB＝ （∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故答案为125°．
【分析】根据三角形的内角和等于180°，求出∠ABC+∠ACB=110°，再根据角平分线的性质求出 ∠BOC的度数是 125°。
10．（2021八上·浦东期末）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点E．则　 　．
【答案】26°
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作三边的垂线段，
三角形的两个外角和的平分线交于点E
在的角平分线上，即是的角平分线
故答案为：26°
【分析】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM=EO=EN，结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论。
11．（2021八上·博兴期中）如图，AD平分∠BAC，DEAB，DF⊥AB．若AE＝8，∠BAC＝30°，则DF的长为　 　．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过D作DM⊥AC于M，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AB，∠BAC＝30°，
∴∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE＝AE，∠DEC＝30°，
∵AE＝8，
∴DE＝8，
∴DM＝ DE＝ 8＝4，
∴DF＝DM＝4，
故答案为：4．
【分析】过D作DM⊥AC于M，根据角平分线的性质求出DF＝DM，∠DMA＝90°，∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得出∠DEC＝∠BAC＝30°，∠EDA＝∠BAD，根据等腰三角形的判定得出DE＝AE，∠DEC＝30°，根据含30度角的直角三角形性质得出DM＝ DE＝ 8＝4，再求出DF即可。
12．（2021八上·盐湖期中）如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是　 　．
【答案】20
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵ 的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，
∴
＝20，
故答案为：20
【分析】连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，由角平分线的性质可得OE＝OF＝OD＝2，根据
即可求解.
13．（2021八上·乐陵期中）在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使 ，再分别以点A，B为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为 ，则a的值为　 　．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：
由作法可知点P在 的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，
∵点P的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3．
【分析】由作法可知点P在 的平分线上，故横坐标与纵坐标相等，可得，求出a的值即可。
14．（2021八上·广州期中）如图，在 中， 和 的平分线 、 相交于点 ， 交 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，则下列三个结论：① ；②当 时， ；③若 ， ，则 ．其中正确的是　 　．
【答案】①②
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝ ∠CBA，∠OAB＝ ∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣ ∠CBA﹣ ∠CAB＝180°﹣ （180°﹣∠C）＝90°+ ∠C，①符合题意；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝ （∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中， ，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②符合题意；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝ ×AB×OM+ ×AC×OH+ ×BC×OD＝ （AB+AC+BC） a＝ab，③不符合题意．
故答案为：①②．
【分析】由角平分线的定义，结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO（SAS），得出∠HBO＝∠EBO，再证得△HBO≌△EBO（ASA），得出AF＝AH，进而判定②；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③。
三、作图题
15．（2019八上·肥城开学考）如图，已知点 和 ，求作一点 ，使 到点 的距离相等，且到 的两边距离相等
【答案】解：∵P点到点M、点N的距离相等，
∴P点一定在MN的垂直平分线上，
∵P点到 的两边距离相等，
∴P点一定在 的角平分线上．
即作MN的垂直平分线，再作 的角平分线，交点即为点P．
作图如下：
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质以及垂直平分线的性质画图即可．
四、解答题
16．（2021八上·津南期中）如图， ，M是BC的中点，DM平分 ，求证：AM平分 ．
【答案】证明：如图，过点M作ME⊥AD于F，
∵∠C=90°，DM平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴BM=EM，
又∵∠B=90°，
∴点M在∠BAD的平分线上，
∴AM平分∠DAB．
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】过点M作ME⊥AD于F，根据角平分线的性质可得ME=MC，再根据点M是BC的中点可得MB=CM，所以BM=EM，再利用角平分线的判断即可得到AM平分∠DAB．
17．（2021八上·太和月考）太和中学校园内有一块直角三角形（Rt ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在 ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
【答案】解：过点 分别作 ， 是垂足．
由 ，得 ， ，
是 的平分线，
．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】过点 分别作 ， 是垂足，由角平分线的性质可得DE=DF，根据，利用三角形的面积公式可求出DE、DF，从而求出△ABD、△ADC的面积.
18．（2021八上·泰州月考）已知：如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BP与AC边的垂直平分线PQ交于点P，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，若BE＝10cm，AB＝6cm，求CE的长.
【答案】解：如图，连接AP、CP，
∵BP平分∠ABC，PD⊥AB，PE⊥BC，
∴∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，
在△BPD和△BPE中，
，
∴△BPD≌△BPE（AAS），
∴BD＝BE，
又∵BE＝10cm，AB＝6cm，
∴AD＝BD﹣AB＝BE﹣AB＝4cm，
∵PQ垂直平分AC，
∴PA＝PC，
在Rt△PAD和Rt△PCE中，
，
∴Rt△PAD≌Rt△PCE（HL），
∴CE＝AD＝4cm.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】连接AP、CP，由角平分线的性质可得∠PBD＝∠PBE，∠PDB＝∠PEC＝90°，PD＝PE，用角角边可证△BPD≌△BPE，由全等三角形的对应边相等得BD=BE，由线段的构成AD=BD-AB=BE-AB可求得AD的值，由线段的垂直平分线的性质可得PA=PC，用HL定理得Rt△PAD≌Rt△PCE求解.
19．（2021八上·红桥期末）如图，在和中，，，， ．
连接，交于点，连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的大小；
（Ⅲ）求证：
【答案】解：（Ⅰ）证明∵，
∴，即．
∵，，
∴≌．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得．
∵，∴．
∴．
（Ⅲ）证明：如图，过分别作，，垂足分别为点，．
∵≌，∴．∴．
∵，∴．
∴ 点在的平分线上．∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）先利用“SAS”证明≌，再利用全等的性质可得AC=BD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得，再利用角的运算及等量代换可得；
（Ⅲ）根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积可得，即可得到，即可证明 点在的平分线上，即可得到。
五、综合题
20．（2021八上·肇源期末）如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：
（1）BF＝CG；
（2）AB+AC＝2AG．
【答案】（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB，EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG；
（2）解：在Rt△AFE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG＝AF，
∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）先求出 BE＝EC， 再求出 FE＝EG， 最后利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）先求出 Rt△AFE≌Rt△AGE， 再证明求解即可。
21．（2021八上·温州期末）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一动点，连结AD.
（1）如图1所示，若BD = 2，DC = 4，求AD的长.
（2）如图2所示，以AD为边作∠ADE =∠ADF =60°，分别交AB，AC于点E，F.
①小明通过观察、实验，提出猜想:在点D运动的过程中，始终有AE =
AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法.
想法1:利用AD是∠EDF的平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证.
想法2:利用AD是∠EDF的平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证
请你参考上面的想法，帮助小明证明AE =AF（一种方法即可）.
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现:四边形AEDF的面积与AD的长存在一定的关系.若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的函数表达式.
【答案】（1）解：如图，过点A作BC的垂线AG，交BC于点G，
∵BD=2，DC=4，
∴BC=6.
∵△ABC是等边三角形，AGBC，
∴AB=BC=6，BG=BC=3，
∴DG=BG-BD=3-2=1，
∴AG=，AD=.
（2）解：①想法1：如图，过A作AMDF于点M，作AHDE，交DE的延长线于点H，
∵AD平分∠EDF，AHDE，AMDF，
∴AH=AM.
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°.
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°，且∠AED+∠AEH=180°，
∴∠AEH=∠AFD且AH=AM，∠H=∠AMF=90°，
∴Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴AE=AF.
想法2：延长DE至N，使DN=DF.
∵DN=DF，AD=AD，∠ADE=∠ADF=60°，
∴△ADN≌△ADF，
∴AN=AF，∠AFD=∠N.
∵∠ADE=∠ADF=60°，
∴∠EDF=120°.
∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，
∴∠AED+∠AFD=180°且∠AED+∠AEN=180°，
∴∠AEN=∠AFD，
∴∠AEN=∠N，
∴AN=AE=AF.
②
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）
（2）②如图，
由①中想法1可得Rt△AHE≌Rt△AMF，
∴S△AHE=S△AMF，
∴S四边形AEDF=S四边形AHDM.
∵∠ADF=60°，AMDF，
∴DM=AD，AM=DM=AD，
∴S△ADM=DM×AM=AD2=x2.
∵AD=AD，AH=AM，
∴Rt△ADH≌Rt△ADM，
∴S△ADH=S△ADM，
∴S四边形AEDF=S四边形AHDM=2S△ADM=x2.
【分析】（1）过点A作BC的垂线AG，交BC于点G，求出BC的值，然后根据等边三角形的性质以及勾股定理求出AG、AD的值；
（2）①想法1：过点A作AMDF于点M，交DE的延长线于点H，根据角平分线的性质可得AH=AM，然后求出∠H、∠AMF的度数，证明△AHE与△AMF全等即可；
想法2：延长DE至N，使DN=DF，证明△ADN与△ADF全等，然后求出∠EDF的度数，进而推出∠AEN=∠N即可；
②由想法①中的全等以及全等三角形的性质可得S四边形AEDF=S四边形AHDM，利用三角函数的知识得到DM=AD，AM=DM=AD，然后表示出S△ADM，最后根据全等三角形的性质进行解答即可.
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