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初中数学北师大版八年级下册第四章第二节 提公因式法 同步练习
一、单选题
1．（2021七下·娄星期末）多项式 中，各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七下·怀化期末）同学们把多项式 提取公因式 后，则另一个因式应为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·招远期中）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by2﹣axy B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
4．（2021八下·薛城期末）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（ ）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
5．将﹣22013+（﹣2）2014因式分解后的结果是（ ）
A．22013 B．﹣2 C．﹣2 D．﹣1
6．（2021八下·武侯期末）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
7．（2021八上·泰安期中）计算-22021+(-2)2020所得的结果是（ ）
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
8．（2020八下·昆都仑期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（ ）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
二、填空题
9．（2021八上·昆明期末）分解因式 ．
10．（2021八下·清新期末）单项式8x2y3与4x3y4的公因式是 ．
11．（2021·攸县模拟）因式分解： .
12．（2021八上·平原月考）边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 的值为 ．
13．（2021七上·黄浦期中）分解因式：3a（x﹣y）＋2b（y﹣x）＝ ．
14．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
15．（2021八下·牡丹期末）化简： ．
16．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
三、解答题
17．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
18．用提公因式法分解因式:
（1）6m2n-15n2m+30m2n2;
（2）-4x3+16x2-26x;
（3）x(x+y)+y(x+y).
19．（2019八上·北京期中）因式分解； ．
20．若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值
21．已知（10x-31）（13x-17）-（13x-17）（3x-23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值
22．（2018七下·来宾期末）
（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（ ）+x（ ）=（ ）2
②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=
③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=
（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果： .
（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）= .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：由题意可得：
系数的公因式为4，字母a的公因式为 ，字母b的公因式为b， 字母c无公因式，
所以各项的公因式是 .
故答案为：C.
【分析】公因式的确定方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此解答.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】用多项式的各项分别除以2x，将剩下的商式写在一起即可求解.
3．【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：A、by2 axy＝ y（ax by），故两多项式的公因式为：ax by，故此选项不合题意；
B、3x 9xy＝3x（1 3y）和6y2 2y＝ 2y（1 3y），故两多项式的公因式为：1 3y，故此选项不合题意；
C、x2 y2＝（x y）（x＋y）和x y，故两多项式的公因式为：x y，故此选项不合题意；
D、a＋b和a2 2ab＋b2＝（a b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据公因式的定义逐项求解即可。
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）
＝2x（a﹣2）＋y（a﹣2）
＝（a﹣2）（2x+y）．
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
5．【答案】A
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】解：原式=﹣22013+22014=22013（﹣1+2）=22013．
故选：A．
【分析】原式变形后，提取公因式，计算即可得到结果．
6．【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，
∴n≥4.
又∵5＞4，
∴A符合题意，B、C、D不合题意.
故答案为：A.
【分析】公因式就是多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，据此求出可能的n的值.
7．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.
故答案为：A.
【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（-2+1），即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），
＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），
＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．
故答案为：B．
【分析】将（x-y）当作整体，利用提公因式求解即可。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用因式分解提取公因式即可。
10．【答案】4x2y3
【知识点】公因式
【解析】【解答】单项式8x2y3与4x3y4的公因式是4x2y3．
故答案为：4x2y3．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
11．【答案】x（x-6）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：x（x-6）.
【分析】根据平方差公式进行分解即可.
12．【答案】70
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，
则a+b=7
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；
故答案为：70
【分析】先求出2a+2b=14，ab=10，再计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】3a（x﹣y）＋2b（y﹣x）=
故答案为：
【分析】直接提取公因式即可分解.
14．【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
15．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
【分析】将（a+1）当作整体，不断的提取公因式（a+1）即可得到答案。
16．【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
17．【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
18．【答案】（1）原式=3mn(2m-5n+10mn);
（2）原式=-2x(2x2-8x+13);
（3）原式=(x+y)(x+y)=(x+y)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式，每一项都含有公因式3mn，因此提取公因式即可。
（2）观察此多项式，每一项都含有公因式-2x，因此提取公因式即可。
（3）观察此多项式，每一项都含有公因式（x+y），因此提取公因式即可。
19．【答案】解:原式=
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】提出公因式(a-b)即可
20．【答案】解答：∵a2+a=0，∴原式=2（a2+a）+2015=2015
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】原式前两项提取2，把已知等式代入计算即可求出值．
21．【答案】解答: 原式=（13x-17）（10x-31-3x+23）=（13x-17）（7x-8），=（ax+b）（7x+c），所以a=13，b=-17，c=-8，所以a+b+c=13-17-8=-12
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先将原式因式分解，进而得出a，b，c的值，即可得出答案
22．【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4
（2）（1+x）2018
（3）1-x4n
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；
（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）
=1-x4n.
【分析】①利用提公因式分别求出①②③的结果；②观察①的结果，利用规律直接写出结果即可.
③利用平方差公式进行计算即得结果.
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初中数学北师大版八年级下册第四章第二节 提公因式法 同步练习
一、单选题
1．（2021七下·娄星期末）多项式 中，各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：由题意可得：
系数的公因式为4，字母a的公因式为 ，字母b的公因式为b， 字母c无公因式，
所以各项的公因式是 .
故答案为：C.
【分析】公因式的确定方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此解答.
2．（2021七下·怀化期末）同学们把多项式 提取公因式 后，则另一个因式应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： .
故答案为：B.
【分析】用多项式的各项分别除以2x，将剩下的商式写在一起即可求解.
3．（2021八上·招远期中）下列各组多项式中，没有公因式的是（ ）
A．ax﹣by和by2﹣axy B．3x﹣9xy和6y2﹣2y
C．x2﹣y2和x﹣y D．a+b和a2﹣2ab+b2
【答案】D
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：A、by2 axy＝ y（ax by），故两多项式的公因式为：ax by，故此选项不合题意；
B、3x 9xy＝3x（1 3y）和6y2 2y＝ 2y（1 3y），故两多项式的公因式为：1 3y，故此选项不合题意；
C、x2 y2＝（x y）（x＋y）和x y，故两多项式的公因式为：x y，故此选项不合题意；
D、a＋b和a2 2ab＋b2＝（a b）2，故两多项式没有公因式，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据公因式的定义逐项求解即可。
4．（2021八下·薛城期末）把式子2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）分解因式，结果是（ ）
A．（a﹣2）（2x+y） B．（2﹣a）（2x+y）
C．（a﹣2）（2x﹣y） D．（2﹣a）（2x﹣y）
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】2x（a﹣2）﹣y（2﹣a）
＝2x（a﹣2）＋y（a﹣2）
＝（a﹣2）（2x+y）．
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
5．将﹣22013+（﹣2）2014因式分解后的结果是（ ）
A．22013 B．﹣2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【知识点】公因式；因式分解﹣提公因式法
【解析】解：原式=﹣22013+22014=22013（﹣1+2）=22013．
故选：A．
【分析】原式变形后，提取公因式，计算即可得到结果．
6．（2021八下·武侯期末）把多项式a3b4﹣abnc因式分解时，提取的公因式是ab4，则n的值可能为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：∵多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，
∴n≥4.
又∵5＞4，
∴A符合题意，B、C、D不合题意.
故答案为：A.
【分析】公因式就是多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约数与同底数幂的最低次幂的乘积，据此求出可能的n的值.
7．（2021八上·泰安期中）计算-22021+(-2)2020所得的结果是（ ）
A．-22020 B．-2 2021 C．22020 D．-2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；因式分解﹣提公因式法；有理数的乘方
【解析】【解答】解：-22021+（-2）2020=-2×22020+22020=22020×（-2+1）=-22020.
故答案为：A.
【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为-2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（-2+1），即可得出答案.
8．（2020八下·昆都仑期末）把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（ ）
A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c） B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）
C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c） D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），
＝a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），
＝（y﹣x）（a﹣b﹣c）．
故答案为：B．
【分析】将（x-y）当作整体，利用提公因式求解即可。
二、填空题
9．（2021八上·昆明期末）分解因式 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用因式分解提取公因式即可。
10．（2021八下·清新期末）单项式8x2y3与4x3y4的公因式是 ．
【答案】4x2y3
【知识点】公因式
【解析】【解答】单项式8x2y3与4x3y4的公因式是4x2y3．
故答案为：4x2y3．
【分析】根据公因式的定义求解即可。
11．（2021·攸县模拟）因式分解： .
【答案】x（x-6）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
故答案为：x（x-6）.
【分析】根据平方差公式进行分解即可.
12．（2021八上·平原月考）边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则 的值为 ．
【答案】70
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，
则a+b=7
∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；
故答案为：70
【分析】先求出2a+2b=14，ab=10，再计算求解即可。
13．（2021七上·黄浦期中）分解因式：3a（x﹣y）＋2b（y﹣x）＝ ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】3a（x﹣y）＋2b（y﹣x）=
故答案为：
【分析】直接提取公因式即可分解.
14．（2020八上·张掖期末）如果 可以因式分解为 （其中 ， 均为整数），则 的值是 ．
【答案】2或4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的定义
【解析】【解答】∵ 可以因式分解为 ，
∴ ，
∴x2+(a+3)x+3a-2=x2+(m+n)x+mn，
∴ ，
∴a=m+n-3，
∴ ，
整理得： ，
∵其中 ， 均为整数，
∴ 或 ，
当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，
当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，
当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，
当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，
∴ 的值是 或 ，
故答案为 或
【分析】将原式展开得：a+3=m+n、3a-2=mn，消去a得到mn=3m+3n-11，进一步整理得（m-3）（3-n）=2，进而求得m-3=±1，±2，据此可以分别求得m、n的值，然后可以求得a的值即可．
15．（2021八下·牡丹期末）化简： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
【分析】将（a+1）当作整体，不断的提取公因式（a+1）即可得到答案。
16．（2021七下·海曙月考）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值 ．
【答案】-2020
【知识点】因式分解﹣提公因式法；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【解答】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，
∴， ，，
∴，
∴，
∴，
∴m-n=0或m+n+1=0，
∴m=n或m+n=-1，
∵m≠n，
∴m+n=-1，
∵，，
∴原式=
=
=2020m+2020n
=2020（m+n）
=
=-2020.
故答案为：-2020.
【分析】根据m2＝n+2020，n2＝m+2020即可得出m+n=-1， ，，再将原式化为，代入数值，提取公因数，再代值计算即可求出答案.
三、解答题
17．指出下列各组式子的公因式:
（1）5a3,4a2b,12abc;
（2）3x2y3,6x3y2z5,-12x2yz2;
（3）2a(a+b)2,ab(a+b),5a(a+b);
（4）2xn+1,3xn-1,xn(n是大于1的整数).
【答案】（1）a
（2）3x2y
（3）a(a+b)
（4）xn-1
【知识点】公因式
【解析】【分析】此题考查的是因式分解的知识，即确定公因式的方法。
（1）易知公因式为a；
（2）可知各式的系数分别为3、6、12，则系数的最小公倍数为3，都含有x、y，且x的最低次幂是2次，y的最低次幂是1次，因此可得公因式为3x2y。
（3）观察各式都含有因式a和a+b，因此公因式是a(a+b)。
（4）可知各式都含有x，x的指数的最低次幂是n-1，因此可得公因式为xn-1。
18．用提公因式法分解因式:
（1）6m2n-15n2m+30m2n2;
（2）-4x3+16x2-26x;
（3）x(x+y)+y(x+y).
【答案】（1）原式=3mn(2m-5n+10mn);
（2）原式=-2x(2x2-8x+13);
（3）原式=(x+y)(x+y)=(x+y)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）观察此多项式，每一项都含有公因式3mn，因此提取公因式即可。
（2）观察此多项式，每一项都含有公因式-2x，因此提取公因式即可。
（3）观察此多项式，每一项都含有公因式（x+y），因此提取公因式即可。
19．（2019八上·北京期中）因式分解； ．
【答案】解:原式=
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】提出公因式(a-b)即可
20．若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值
【答案】解答：∵a2+a=0，∴原式=2（a2+a）+2015=2015
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】原式前两项提取2，把已知等式代入计算即可求出值．
21．已知（10x-31）（13x-17）-（13x-17）（3x-23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值
【答案】解答: 原式=（13x-17）（10x-31-3x+23）=（13x-17）（7x-8），=（ax+b）（7x+c），所以a=13，b=-17，c=-8，所以a+b+c=13-17-8=-12
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先将原式因式分解，进而得出a，b，c的值，即可得出答案
22．（2018七下·来宾期末）
（1）分解因式：①（1+x）+x（1+x）=（ ）+x（ ）=（ ）2
②（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=
③（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=
（2）根据（1）的规律，直接写出多项式：（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017分解因式的结果： .
（3）变式：（1﹣x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）= .
【答案】（1）1+x；1+x；1+x；（1+x）3；（1+x）4
（2）（1+x）2018
（3）1-x4n
【知识点】因式分解﹣提公因式法；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）①1+x+x（1+x）=（1+x）+x（1+x）=（1+x）2；
②1+x+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）3；③1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3=（1+x）4；看等号左右的变化，即都是先提公因式，或再运用提公因式，或依次提公因式分解所得；等号右边括号内的数据不变，2，3，4依次增大，故可推理出：
（ 2 ）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2017=（1+x）2018；
（ 3 ）（1-x）（1+x）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x2）（1+x2）（1+x4）…（1+x2n）
=（1-x4）（1+x4）…（1+x2n）
=1-x4n.
【分析】①利用提公因式分别求出①②③的结果；②观察①的结果，利用规律直接写出结果即可.
③利用平方差公式进行计算即得结果.
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